2025年山東省高考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2025年山東省高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合4={刈％-1|V2},B={x\log±x>-1）,貝!）453=（）

2

A.{x|0<x<4}B.{x\-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|l<x<3}

->—TTT

2.（5分）已知向量a=（2,1）,b=（m,-1）,且a||（a—b）,則實數(shù)冽的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（5分）已知拋物線產(chǎn)=2.（p>0）的焦點在圓，+廿=4上，則該拋物線的焦點到準線的距離為（）

A.1B.2C.4D.8

1

4.（5分）右sin（a+P）=彳tana=5tanp,則sin（a-P）=（）

1172V2

A.-B.-C.-D.-----

6393

5.（5分）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（X+2）=-/（%）,當（0,1）時，/（x）=2\

則竽）=（）

A.-2V2B.2V2C.V2D.-V2

2345

6.（5分）若（1-3久）s=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x,則（20+02+04=（）

A.-496B.496C.-992D.992

7.（5分）已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5,母線長為4,N3為上底面圓的一條直徑，C是下底

面圓周上的一個動點，則△4BC面積的最大值為（）

A.3府B.6V3C.V37D.3用

8.（5分）已知直線/：y=fcc+后-1和曲線C：x2+j2-2x-2\y\=0有公共點，則實數(shù)后的取值范圍為（）

A.[2-V3,2+V3]B.[V3-2,1]C.[-1,2+V3]D.[-1,1]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）在復數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程/取/2=0的兩根為xi,X2,其中xi=l+i,

則（）

A.p=2B.X2=l-i

_%i

C.x?%2=-2iD.——=i

1-%2

第1頁（共16頁）

（多選）10.（6分）如圖，在棱長為1的正方體48CD向C1D1中，點P在線段/Di上運動，則下列

A.直線CP和平面4BC1G所成的角為定值

B.三棱錐。-APG的體積為定值

C.異面直線GP和C21所成的角為定值

D.直線CD和平面BPCi平行

n

（多選）11.（6分）已知數(shù)列｛斯｝中，冊=2?1+1,bn=2,貝U（）

A.｛如6“｝的前10項和為19X210+2

B.｛（-1）"斯｝的前100項和為100

C.｛友4｝的前〃項和T"Tn<j

D.a+善｝的最小項為16J

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）若“x=a”是“sinx+cosx>l”的一個充分條件，則a的一個可能值是.

7

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=cos",若方程/（x）=/在區(qū)間［0,仇石兀］上有且僅有兩個實數(shù)解XI，X2,則

實數(shù)t的取值范圍為.

pA—C59

14.（5分）已知△/BC內(nèi)角分別為4,B,C,且滿足cos?+2s譏—=0,則^+一二的最小值

nzsmAsinC

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（15分）在四邊形/3CD中，AB//CD.

（1）證明：AD-sinZBAD=BC'smZBCD；

（2）若/D=l,AB=3,BC=V3,ZBAD=2ZBCD,求△BCD外接圓的面積.

16.（15分）如圖，在四棱臺/BCD-48clDi中，底面4SC〃為平行四邊形，NBAD=120°,側(cè)棱441

工底面4BC。，M為棱CD上的點.40=〃/=2,A\B\^DM^\.

第2頁（共16頁）

(1)求證：AM-LAiB；

(2)若河為CD的中點，N為棱。Di上的點，且DN=字,求平面NuW與平面小8。所成角的余弦

值.

17.(15分)南水北調(diào)中線工程建成以來，通過生態(tài)補水和減少地下水開采，華北地下水位有了較大的回

升，水質(zhì)有了較大的改善，為了研究地下水位的回升情況，對2015年?2021年河北某平原地區(qū)地下水

埋深進行統(tǒng)計如下表：

年份2015201620172018201920202021

埋深(單25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36

位：米)

根據(jù)散點圖知，該地區(qū)地下水位埋深y與年份，(2015年作為第1年)可以用直線擬合.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求線性回歸方程7=仇+a,并利用該回歸方程預測2023年北京平原地區(qū)地下水位

埋深；

(2)從2016年至2021年這6年中任取3年，該地區(qū)這3年中每一年地下水位與該地區(qū)上一年地下水

位相比回升超過0.5米的年份數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

附相關(guān)表數(shù)據(jù)：%%=164.01,鼠1y由=631.26,

yiti-nyt

參考公式：y=bt+a,其中b=a=y—bt.

隹1(—)2

18.(15分)已知函數(shù)/(無)=x—(m+2)2nx———.

(1)若/(x)在(1,/(D)處的切線/垂直于直線x-2/+1=0,求/的方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

/y2

19.(17分)設橢圓”+金=1過M(2,企)、N(V6,1)兩點，。為坐標原點.

(I)求橢圓￡的方程;

第3頁(共16頁)

OT—＞

（II）若直線＞=而+4（左＞0）與圓f+y2=w相切，并且與橢圓￡1相交于兩點4、B,求證：0ZJ_0B.

第4頁（共16頁）

2025年山東省高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)已知集合4={刈x-1|<2},B={x\log±x>-1},貝！()

2

A.{x|0<x<4}B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|l<x<3}

【解答】解：集合/={刈工-l|V2}={x|-2Vx-1<2}={可-1<XV3},

B={x\logix>-1}={x|0<x<2},

2

則/n5={x|0<x<2}.

故選：c.

->TTTT

2.(5分)已知向量a=(2,1),b=(m,-1),且a||(a—b),則實數(shù)冽的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

TT

【解答】解：；a=(2,1),b=(m,-1),

7T

ci—b=(2,1)—(jrif-1)=(2—m,2),

TTT

由all(a—b),得2X2-IX(2-m)=0,解得加=-2.

故選：D.

3.(5分)已知拋物線廿=20xS>O)的焦點在圓x2+f=4上，則該拋物線的焦點到準線的距離為()

A.1B.2C.4D.8

【解答】解：由于拋物線，=20x(p>0)的焦點為x軸正半軸上，

f+f=4與x軸正半軸的交點為(2,0),

故拋物線的焦點為(2,0),所以］=2np=4,

因此拋物線的焦點到準線的距離為p=4.

故選：C.

4.(5分)若sin(a+p)=.tana=5tan0,則sin(a-p)=()

1172a

A.-B.-C.-D.-----

6393

i

【解答】解：因為sin(a+P)=sinacosP+sinPcosa=

第5頁(共16頁)

又tana=5tanp,

sinaSsin0

所以----=-----,即sinacosB=5sinBcosa,

cosacosp

51

所以sinacosP=行，sinpcosa=誦，

貝！Jsin(a-p)=sinacos0-sin0cosa=亍

故選：B.

5.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(X+2)=-/(%),當xE(0,1)時，/(x)=2',

則竽)=()

A.-2V2B.2V2C.V2D.-V2

【解答】解：定義在R上的奇函數(shù)/(x),由/(x+2)=-/(x),得/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

則函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又當花(0,1)時，/(%)=2工，

所以"竽)=/(253x4-|)=/(-|)=-V2.

故選：D.

2345

6.(5分)若(1-3x)5=劭+atx+a2x+a3x+a4x+a5x,則ao+a2+a4=()

A.-496B.496C.-992D.992

5

【解答】解：令苫=-1可得，a0-ar+a2-a3+a4-a5-4-1024①，

令x=1可得，+a1+a2++。4+&5=(-2>=—32(2),

由②+①可得2(ao+a2+a4)=1024-32=992,則。0+。2+。4=496.

故選：B.

7.(5分)已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5,母線長為4,43為上底面圓的一條直徑，C是下底

面圓周上的一個動點，則△4BC面積的最大值為()

A.3V37B.6V3C.V37D.3V3

【解答】解：當C在與平行的下底直徑所對的弧的中點時，

點C到直線AB的距離的最大，且最大值為h=,42-(5-3)2+52=V37,

所以(SzMBc)max=2ABxh=之x6XV37=3V37.

故選：A.

8.(5分)已知直線/：y=fcc+左-1和曲線C：x2+y2-2x-2\y\=0有公共點，則實數(shù)后的取值范圍為()

A.[2-V3,2+V3]B.[V3-2,1]C.[-1,2+V3]D.[-1,1]

【解答】解：因為尸h+h1=左(x+1)-1,所以直線/恒過定點P(-1,-1),

第6頁(共16頁)

曲線。=?；喖催?叱制,如圖所示:

由圖可知，若直線/與曲線C有交點，則直線介于71與/2之間即可，

由圓心（1,1）到直線kx-y+k-1=0的距離等于半徑得d==V2,

Vfc2+1

整理得：F-4左+1=0,解得k=2+百或k=2-百（舍），

同理，由圓心（1,-1）到直線船-產(chǎn)h1=0的距離等于半徑得4=在崇R=

Vfc2+1

整理得廬=1,解得k=\（舍）或后=-1,所以k6[—1,2+V3].

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）在復數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程/個/2=0的兩根為xi，m，其中xi=l+3

貝IJ（）

A.p=2B.X2=1-i

C.Xi-%2=-2iD.——=i

【解答】解：在復數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于X的實系數(shù)一元二次方程，9+2=0的兩根為XI,X2,其中xi=l+3

則％2=1-3故5正確;

1+z+l-z=2=-p,解得,=-2,故4錯誤,

,耘=(1+0(1+。=23故。錯誤;

1+L(1+產(chǎn)

故。正確.

X21-i(1-0(1+0

故選：BD.

（多選）10.（6分）如圖，在棱長為1的正方體48co向CLDI中，點P在線段/Di上運動，則下列

命題正確的有（）

第7頁（共16頁）

A.直線CP和平面NBCiDi所成的角為定值

B.三棱錐。-APCi的體積為定值

C.異面直線GP和CBi所成的角為定值

D.直線CD和平面BPCi平行

【解答】解：如圖所示：

對于力,由線面所成角的定義，令3。與3c的交點為。，可得/CP。即為直線CP和平面/3C1D1所

成的角，當P移動時/CP。是變化的，故N錯誤.

對于8,三棱錐。-AP。的體積等于三棱錐尸-03。的體積，而△D8C1大小一定，

'：PeADi,而4D1〃平面8DC1,

...點A到平面DBCi的距離即為點P到該平面的距離，

三棱錐D-BPC1的體積為定值，故3正確；

對于C,：在棱長為1的正方體/BCD-NiBCbDi中，點尸在線段/D1上運動，

C31_L平面ABC\D\,'：CiPu平面ABC\D\,

ACSilCiP,故這兩個異面直線所成的角為定值90°,故C正確；

對于D,直線CD和平面ABC\D\平行，

直線CD和平面BPCx平行，故D正確.

n

（多選）11.（6分）已知數(shù)列｛斯｝中，冊=2幾+1,bn-2,則（）

A.｛斯加｝的前10項和為19X210+2

第8頁（共16頁）

B.｛(-1)〃斯｝的前100項和為100

11

C.｛友4｝的前〃項和T"Tn<j

unun_|_|o

?4—1

D.｛a+殍｝的最小項為16之

nan/

【解答】解：對于4易知期時=(271+1)2%

則Tio=。g1+公歷+...+aiobio=3?2i+5?22+7?23+...+21?2i°,

則2rio=3-22+5?23+7-24+...+21-211,

兩式相減得一7io=3?2I+23+24+25+…+2口一21?2%

=6+23+24+25+...+210-20?2u

=6+23^1^9)-20-211

=-19-211-2,

則7\o=19?2口+2,

故N錯誤；

對于2.易知(―1尸冊=(―1)以2元+1),

則其前100項和為Sioo=-3+5-7+9-…-(2X99+1)+(2X100+1)=50X2=100,

故2正確；

11111

對于C.---------=---------------------=—(-----------------)，

anan+l(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

人」Tn—岳5+57+,,,+2n+l2n+3^-2^32n+3-62(2n+3)

故C正確；

6464

對于。.易知％i+—=2n+1+y-,1?

令￡=2〃+l23,

則y=t+第N2卜呼=16,當且僅當「二竿，即￡=8,相=(時，等號成立，

=

而T/GN，當n3時，的---=16亍，當〃=4時，眼.-1------=16Q-,

所以｛冊+g｝的最小項為165，

故。錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

第9頁（共16頁）

7T

12.（5分）若“x=a”是“siiu+c。次>1”的一個充分條件，則a的一個可能值是-

6

【解答】解：因為sinx+cosx=譏（％+則sin（x+/）>容,

所以2kn+*<x+/V2/C7T+解得2kli<xV2/CTT+5，kWZ,

又因為“x=a"是"siiu+cosx>r?的一個充分條件，

71

貝Ua的一個可能值為二.

6

TC

故答案為：7.

6

7

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=cosF,若方程/（%）=，在區(qū)間［0,仇石兀］上有且僅有兩個實數(shù)解XI，X2，則

實數(shù)/的取值范圍為1,-空］—.

【解答】解：令左=眇，ke［l,誓］,因為左="在口，普］單調(diào)遞增，

所以方程/Xx）=/在區(qū)間xe［0,"誓］上有且僅有兩個實數(shù)解，

轉(zhuǎn)化為g（左）=cos笈=f在區(qū)間ke［1,誓］上有且僅有兩個實數(shù)解，

777

即g（左）=cos左與>=/在々e［1,上有兩個交點，

g（左）=COS左在［1,司單調(diào)遞減，在（7T,普］單調(diào)遞增，

7萬

結(jié)合圖像知，cosn<t<cos不，

即實數(shù)f的取值范圍為（-1,-孚］.

故答案為：（—1,—孚］?

14.（5分）已知△/8C內(nèi)角分別為N,8,C,且滿足cos§+2s出寫=0,則J的最小值為16

乙乙sinAsinC

【解答】解：三角形中，B=n-（N+C）,

第10頁（共16頁）

+日用*77r用/兀4+Cx.A—C_.A+C.A—C_

由ZES居、口」T^1：C0S(*y-----)+2Q,SITI--=sin-—F2QSITI-—=0n,

乙乙乙乙乙

所以s譏及cos苧+cos?s譏1+2(sin,cos苧_cos分譏苧)0,

4c4cAen

所以3sin2cos2=coszsi/ia，5,-G(0/5),

4C

即3汝幾2=tan>0,

.2tan42tan￡

又si/iA---------T,sixtC-------彳，

1+tan2^1+tan2^

222

595(l+tan4)9(l+tan^-)4+16tan44Ar4A

則—+—=------4+------金二------六----j+16tan->2I----j?16tan-=

sin^sinC2tan—2tan-tan—tany2qtan-2

16,

44/1

當且僅當---j=16tan-=tan-=一時取等號.

tan-222

59

所以七丁十的最小值為16.

sinAsinC

故答案為：16.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（15分）在四邊形中，AB//CD.

(1)證明：AD?sinZBAD=BC-sinZBCD；

(2)若ZQ=1,AB=3,BC=V3,ZBAD=2ZBCD,求△BCD外接圓的面積.

【解答】解：(1)證明：???45〃C。，

工/ABD=NBDC,

ADBD

在△45。中，由正弦定理得

sinZ.ABDsin乙BAD'

BCBD

在△5CZ）中，由正弦定理得

sinZ-BDCsin乙BCD'

：.AD?sinZBAD=BD-sinZABD,BC?sinZBCD=BD-sinNBDC,

故AD?sin/B/D=BC?sin/BCZ)；

(2)解：由(1)得4D?sin/B4D=BC?sin/BCD,

設/BAD=2/BCD=2ct,

又2D=1,BC—V3,則s譏2a=Vasina,2sinacosa=Vasina,

cosa=微解得a=p

在△48。中，由余弦定理得cosN24D=%措馥空=巳，解得BD=有,

第11頁（共16頁）

在△BCD中，由正弦定理得2R=0Em，

SITLZ-DC.U

：.R=V7,

：.ABCD的外接圓的面積為S=TTR2=71R.

16.(15分)如圖，在四棱臺ABCD-N/iCbDi中，底面4BCD為平行四邊形，NR4D=120°,側(cè)棱441

_L底面48c。，M為棱CD上的點.AD=AiA=2,A\B\=DM=\.

(1)求證：AM^AxBi

(2)若河為CD的中點，N為棱。Di上的點，且DN=咚,求平面/uW與平面48。所成角的余弦

值.

【解答】解：(1)證明：在平行四邊形48CD中，ZBAD=120°,：.ZADM=60°,

在△ADM中，AD=2,DM=1,

所以4M=V71D2+DM2-7.-AD-DM-cos^ADM=J22+l2-2?2?1?1=V3,

可得AD2=AM2+DM2,

所以4W_LCD,

又CDHAB,所以

又側(cè)棱441_L底面/BCD,/Mu平面/BCD,

所以NM_L44i,

又A8A/4=N,AB,/4u平面N/1518,

所以/M_L平面44bBi2,

又/LSu平面441318,

所以

(2)因為M為CD的中點，DM=1,

所以CD=2,所以平行四邊形NBC。為菱形，

則四邊形NbBCbDi也為菱形，則四邊形4/。。為直角梯形，則。A=02+(2—1)2=V5,

第12頁(共16頁)

由（1）知：AB,AM,44i兩兩垂直，分別以48,AM,441所在直線為x軸，y軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系4-xyz,

則點4式0,0,2),B(2,0,0),￡>(-1,V3,0),(一義，孚，2),M(0,V3,0),

靛》=(-3,V3,0),力;B=(2,0,-2),MD^Q-1,0,0),

設平面/15D的一個法向量為%=y〉zi),

則B?,即卜「嗎=0,所以『30+何i=0,

、江1ArB島?=0(2/-2zi=。

令％1=1,得11=(LV3,1).

因為。DN=所以DN==(,,—/1),

—TTQrsT

則MN=MD+DN=(一擠，一牛，1),&M=(0,遮,-2),

設平面的一個法向量為九2二(%2，丫2，Z2),

則把1即心?”=(),所以卜%_￡+Z2=0,

Vn21ArM(n2-AXM=0(V3y2-2z2=0

令X2=2,得12=(2，2?3),

由原圖可知平面與平面AiBD所成角為銳角，

所以平面與平面/1AD所成角的余弦值為愛2

17.（15分）南水北調(diào)中線工程建成以來，通過生態(tài)補水和減少地下水開采，華北地下水位有了較大的回

升，水質(zhì)有了較大的改善，為了研究地下水位的回升情況，對2015年?2021年河北某平原地區(qū)地下水

埋深進行統(tǒng)計如下表：

第13頁（共16頁）

年份2015201620172018201920202021

埋深（單25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36

位：米）

根據(jù)散點圖知，該地區(qū)地下水位埋深y與年份/（2015年作為第1年）可以用直線y=4+a擬合.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求線性回歸方程＞=仇+a,并利用該回歸方程預測2023年北京平原地區(qū)地下水位

埋深；

（2）從2016年至2021年這6年中任取3年，該地區(qū)這3年中每一年地下水位與該地區(qū)上一年地下水

位相比回升超過0.5米的年份數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

附相關(guān)表數(shù)據(jù)：￡二1%=164.01,631.26,

參考公式：其中b二a=y—bt.

蔻=1(tj-t)2

【解答】解：⑴由題知，t=(1+2+3+4+5+6+7)=4,歹=卜%=164.01x；=23.43,

%色-喬=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,

),■,yiti-nyt63126-7x4x2343"

b=＞尸,~=_0385,a=y-bt=23.43+0.885X4=26.97,

所以線性回歸方程為y=—0.885什26.97,

2023年為t=9,貝Uy=-0.885X9+26.97=19.005,

所以2023年北京平原地區(qū)地下水位埋深19.005米.

（2）由題知，在2016年至2021年6年中，

2016年、2018年、2020年、2021年共4年該地的地下水位上升超過0.5米,

所以X的取值可能為0,1,2,

P（X=0）=裳=9P（X=l）=券=得，P（X=2）=1|=|，

C613C613C63

所以X的分布列為：

X012

P182

15155

1Q24

所以E(X)=Ox+1x+2x耳=亍

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18.（15分）已知函數(shù)/'（x）=%一（m+2）bix———.

（1）若/（x）在（1,/（1））處的切線/垂直于直線x-2y+l=0,求/的方程;

（2）討論/（x）的單調(diào)性.

【解答】解：（1）因為f（久）=久一（a+2））久一孚,

m+22m%2—(m+2)x+2m

所以外嗎=

1—―x+不二

因為/（x）在x=1處的切線I垂直于直線x-2y+l=0,

所以，(1)=-2,即1-(m+2)+2m=-2,解得m--1；

又因為/（I）=3,

所以/的方程為y-3=-2G-1),即2x+y-5=0；

（2）由題知，/（x）的定義域為（0,+8）,

由(1)得，f，3=%2-S+Y+2-=(%-2)§一叫

所以當mWO時，令/G）>0得x>2,令，（x）<0得0<x<2,

所以/（x）在（2,+8）上單調(diào)遞增，在（0,2）上單調(diào)遞減;

當0c機<2時，令，(x)>0得0<x<〃z或x>2,令/(x)<0得

所以/（x）在（0,m）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在（加，2）上單調(diào)遞減；

當機=2時，f（x）20在（0,+8）上恒成立，

所以/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當加>2時，令，（x）>0得0<x<2或x>加，令/G）<0得2Vxe機，

所以/（x）在（0,2）和（〃?，+8）上單調(diào)遞增，在（2,m）上單調(diào)遞減.

綜上，當mWO時，f（x）在（2,+8）上單調(diào)遞增，在（0,2）上單調(diào)遞減；

當0<加<2時，f（x）在（0,m）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在（m,2）上單調(diào)遞減；

當機=2時，f（x）在（0,+°°）上單調(diào)遞增；

當加>2時，/（%）在（0,2）和（加，+8）上單調(diào)遞增，在（2,加）上單調(diào)遞減.

/y2

19.（17分）設橢圓靛+6=1（a>6>0）,過M（2,企）、N（限1）兩點，。為坐標原點.

（I）求橢圓E的方程；

OT—>

（II）若直線>=而+4（左>0）與圓，+產(chǎn)=3相切，并且與橢圓E相交于兩點4、B,求證：

/y2

【解答】（I）解：因為橢圓益+言=1（。>6>0）,過M（2,a）、N（V6,1）兩點，

第15頁（共16頁）

4

2

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涼+板

=1

所以2

8

a=

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