計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式

1、百度文庫10二計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式控制測量的主要目的是通過測量和計算求出控制點的坐標(biāo)，控制點的坐標(biāo)是根據(jù)邊長及方位角計算出來的。下面介紹計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式，這些公式是礦山測量工中最基本最常用的公式。一、坐標(biāo)正算和坐標(biāo)反算公式1.坐標(biāo)正算根據(jù)已知點的坐標(biāo)和已知點到待定點的坐標(biāo)方位角、邊長計算待定點的坐標(biāo)， 這種計算Na, A到B的邊長和坐標(biāo)方位角分別為Sab和在測量中稱為坐標(biāo)正算。如圖55所示，已知A點的坐標(biāo)為xAab ,則待定點B的坐標(biāo)為Xab(51)Xb XaNabyB Na式中 xAB、yAB坐標(biāo)增量。Sab COSSab sin由圖55可知ab(52)xABAByA

2、B式中Sab 水平邊長；AB 坐標(biāo)方位角。將式（5-2 ）代入式（5-1 ）,則有Sab COSSab sinAB(53)Xb XaABNbNa當(dāng)A點的坐標(biāo)Xa、Na和邊長Sab及其坐標(biāo)方位角ab為已知時，就可以用上述公式計算出待定點B的坐標(biāo)。式（52）是計算坐標(biāo)增量的基本公式，式（53）是計算坐標(biāo)的基本公式，稱為坐標(biāo)正算公式。從圖5-5可以看出 Xab是邊長Sab在x軸上的投影長度，Nab是邊長Sab在y軸上的投影長度，邊長是有向線段，是在實地由A量到B得到的正值。而公式中的坐標(biāo)方位角可以從0°到360。變化，根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標(biāo)方位角的正弦值和余弦值就有正負兩種情況，其正負符號

3、取決于坐標(biāo)方位角所在的象限，如圖 5 6所示。從式（5-2）知，由于三角函數(shù)值的正負決定了坐標(biāo)增量的正負，其符號歸納成表53。圖55坐標(biāo)計算圖56 坐標(biāo)增量符號表53坐標(biāo)增量符號表坐標(biāo)方位角(0 )所在象限坐標(biāo)增量的正負號/x/y090I十十 90180n一十180270m一一270360w十一例1已知A點坐標(biāo)xA =, yA=；邊長SAB =100mi方位角 AB=330°。求B點的坐標(biāo)xB、yB °解：根據(jù)公式（53）有/xB xA sAB cos AB100 100 cos330 186.1myByA sAB sin AB300.1 100 sin330 2496m2

4、、坐標(biāo)反算由兩個已知點的坐標(biāo)計算出這兩個點連線的坐標(biāo)方位角和邊長，這種計算稱為坐標(biāo)反由式（51）有xAB xB xAAB B A （5 4）yAByB Va該式說明坐標(biāo)增量就是兩點的坐標(biāo)之差。在圖55中xAB表示由A點到達B點的縱坐標(biāo)之差稱縱坐標(biāo)增量；Vab表示由A點到B點的橫坐標(biāo)之差稱橫坐標(biāo)增量。坐標(biāo)增量也有正負兩種情況，它們決定于起點和終點坐標(biāo)值的大小。在圖55中如果A點到B點的坐標(biāo)已知，需要計算AB邊的坐標(biāo)方位角AB和邊長時則有yyB yAyABtan ab xBxAxABxAByABSAB1（55）cos AB Sin AB22SAB xAByAB公式（55）稱為坐標(biāo)反算公式。應(yīng)當(dāng)指出

5、，使用公式（55）中第一式計算的角是象限角R,應(yīng)根據(jù)x、y的正負號，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式（5-5）中的第一式還可表示為：/VbVay ab/Rab arctan- arctanxBxAxAB例 2 .已知 xA =300m, yA =500m, xB =500m, yB =300m,求 A、B二點連線的坐標(biāo)方位角AB和邊長SAB。解：由公式（5-5）有yB yA.300 500Rab arctan - arctanarctan( 1)xB xA500 300因為Xab為正、yAB為負，直線AB位于第四象限。所以 Rab NW 45當(dāng)直線AB位于第一象限時為ab = R

6、ab,當(dāng)位 于第二象限是ab=180 - Rab'當(dāng)直線AB位于第三象限時ab = 180+Rab,當(dāng) 直線AB位于第四象限時ab=360 -Rab,當(dāng)Xab=0 且 yAB>0 時貝U ab=90 ,當(dāng) Xab=0 且 yAB<0 時貝。AB = 270根據(jù)第四象限的坐標(biāo)方位角與象限角的關(guān)系得：AB 36045315AB邊長為：工：2222Sab(Xb Xa) (yB a)(500 300) (300 500)2828m坐標(biāo)正算公式和坐標(biāo)反算公式都是礦山測量中最基本的公式，應(yīng)用十分廣泛。在測量計算時，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測量規(guī)范對數(shù)字取位及計算成果作了規(guī)定。例如圖

7、根控制點要求邊長計算取至毫米；角度計算取至秒；坐標(biāo)計算取至厘米。二、坐標(biāo)方位角的推算公式由公式(5-2)知，計算坐標(biāo)增量需要邊長和該邊的坐標(biāo)方位角兩個要素，其中邊長是 在野外直接測量或通過三角學(xué)的公式計算得到的，坐標(biāo)方位角則是根據(jù)已知坐標(biāo)方位角和水平角推算出來的。下面介紹坐標(biāo)方位角的推算公式。如圖5-7所示，箭頭所指的方向為“前進”方向，位于前進方向左側(cè)的觀測角稱為左觀 測角，簡稱左角；位于前進方向右側(cè)的角稱為右觀測角，簡稱右角。1.觀測左角時的坐標(biāo)方位角計算公式在圖57與58中，已知AB邊的方位角為Ab,左為左觀測角，需要求得 BC邊的方位角 bc。左是外業(yè)觀測得到的水平角從圖上可以看出已知

8、方位角AB與左觀測角左之和有兩種情況：即大于180°或小于180°。圖57中為大于180°的情況，圖5-8中為小于180°的情況。圖57坐標(biāo)方位角推算圖58坐標(biāo)方位角推算從圖57可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為BC AB 左 180從圖58可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為BC AB 左 180綜上所述兩式則有前 后 左180( 5 6)2.觀測右角時的坐標(biāo)方位角計算公式從圖5-7 或圖5-8可以看出式（5-6）是按照邊的前進方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計算前一條邊方位角的基 本公式。公式說明：導(dǎo)線前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角加上左觀測角, 其和大于

9、180°時應(yīng)減去180° ,小于180°時應(yīng)加上180°。左360 右將該式代入式（5- 6）,得前（后 右180 ） 360當(dāng)方位角大于360。時，應(yīng)減去360。，方向不變。所以上式變?yōu)榍?后 右180（57）上式說明：導(dǎo)線中，前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角減去右觀測角，其差大于180°時應(yīng)減去180° ,小于180°時應(yīng)加上180°。使用式（5-6）與（5-7）時，還應(yīng)注意相應(yīng)兩條邊的前進方向必須一致，計算結(jié)果大于360°時，則應(yīng)減去 360° ,方向不變。測角 左=108 ° 32' ,M點的右觀測角右=751 %R圖59