定積分的換元積分法與分部積分法

1、定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：掌握定積分換元積分法與分部積分法難點(diǎn)：定積分換元條件的掌握重 點(diǎn)：換元積分法與分部積分法由牛頓-萊布尼茨公式可知，定積分的計(jì)算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù).在 上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因 此，換元積分法與分部積分法對于定積分的計(jì)算也是非常重要的.1.定積分換元法定理假設(shè)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù);函數(shù)X =®(t)在區(qū)間比卩上有連續(xù)且不變號的導(dǎo)數(shù);當(dāng)t在a, P變化時(shí)，xN(t)的值在a,b上變化，且W(a)=a,®(p)=b ,則有i f(x)dx=f (t)恥(t)dt.(1)本定理

2、證明從略.在應(yīng)用時(shí)必須注意變換x=®(t)應(yīng)滿足定理的條件，在改 變積分變量的同時(shí)相應(yīng)改變積分限，然后對新變量積分.例1計(jì)算12寧dx .解 令 Jx 1 =t，貝u X =1 +t2,dx =2tdt .當(dāng) X=1 時(shí)，t=0 ;當(dāng) x = 2 時(shí),t =1 .于是2 vx -1dx= f如心仏-x01+t2叫切一 arcta)n0=21w例 2 計(jì)算 £ Ja2 -x2dx (a0).解 令X = asint，貝U dx = acosd .當(dāng) x = 0時(shí)，t = 0 ;當(dāng) x = a 時(shí)，t =上.故20 Ja2 x2 dx =a cost a costdt2 02

3、(1 + cos2t)dtt Jsi t2t2 L 2JII?0圖5- 8舊2顯然，這個(gè)定積分的值就是圓x2 + y2 = a2在第一象限那部分的面積例 3 計(jì)算cos5 xsinxdx.解法令 t =cosx，貝U dt=sinxdx.當(dāng) x=0 W, t=1 ；當(dāng) r 時(shí),t =0，于是505cos x sin xdx = -1 t dt變.解法也可以不明顯地寫出新變量t ,這樣定積分的上、下限也不要改c o sxsi nx dx c o5sxd coxJIr 1 x2 = _0- 01 6丿11 6=一一 cos66此例看出：定積分換元公式主要適用于第二類換元法，利用湊微分法換元 不需要

4、變換上、下限.雹 計(jì)算1-sin xdx .dx 注去絕對值時(shí)注意符號.=f (cos- -sin -)dx + 保in - - cos-) dx2 2 2 2 2= 2(sin - +COS-)2 27 -2(cosx-sin 為2 2=4(72-1).計(jì)算 f sinx dx .J3 +sin2 X解 設(shè)t =COSX，則當(dāng)X = 0時(shí)，t =1 ；當(dāng)X =兀時(shí)，t = 一1 .0兀 f sin x =dx 二 rdt = /dt0 也+sin2xJ4 -t24 J4 -t2=a r cs例6設(shè)f(x)在-a, a上連續(xù)，證明:a(1)若f (x)為奇函數(shù)，貝U Lf(x)dx = 0 ;

5、aa若 f(x)為偶函數(shù)，貝 U Lf(x)dx=2.0 f(x)dx . 由于a0aL f(x)dx = Jjf (x)dx 中.0 f (x)dx,對上式右端第一個(gè)積分作變換x = -1，有00aaf f(x)dx=-f(t)dt= ff(t)dt= ff(x)dx.一aa9Paaf (x)dx = 0 f (X)+ f(x)dx .當(dāng)f (x)為奇函數(shù)時(shí)，f(-x)=-f(x)，故aaJ f(x)dx= 0 Odx=O .當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(-x) = f(x)，故aaaJjf(x)dx= O 2f(x)dx=2 0 f(x)dx .利用例6的結(jié)論能很方便地求出一些定積分的值.例如

6、兀 6f x sin xdx = 0 .(x + J4 -x2 )2 dx = J(4 + 2x>/4 - X2 )dx = 4 L dx + 0 = 8 .2.定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)均在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則 d(uv) =udv +vdu，可得udv =d(uv) vdu .等式兩邊同時(shí)在區(qū)間a,b上積分，有bf udv =(uv)ab b-J vdua a公式(2)稱為定積分的分部積分公式， 其中a與b是自變量x的下限與上限.e例7計(jì)算f In xdx .dx解 令 u =1 nx,dv=dx，貝U du =,v=x.故 xeT In xdx =x

7、 In xe redx1-( X 1x= (e-0) -(e-1) =1 .計(jì)算 r xcos3xdx .兀1 ITxcos3xdx =一 f xd sin 3x03ix s i r3x3 I兀r兀 q 0-0 SI d x=1(|0 +lcos3x3 113計(jì)算右一xdx'b 1 +cos2xdx= 0xy-1 +co sx 0 2cos xdx1 2=4 xd tan x2 b例101=? (xtan X 4兀 1 一一In 2 .84匹-tan xdx)+ In cosx 4 )計(jì)算 /sec xdx .'0s e cxdx =sex s e cxdx =s e xd t

8、 a rx-f tan< sextan<dx=J2 -(secx-1)sexdx=72 f4s ecxd x 4sexdx=s e cx d x I n ( s x c t a rx)=2 - f4s eCxd XI n住 +1).'0即2S eCxdxV2 + In(2+1)注移項(xiàng)得.11計(jì)算0e"xdx/2 104seCxdx-+2In©+1).先用換元法，令Jx =t，則x=t2,dx=2tdt .當(dāng)X =0時(shí)，t =0 ;當(dāng)x=1時(shí)，t =1 . 于是 ' tetdt .再用分部積分法，得1 -I e5x=2Jotdet= 2(te1 1 to Jo edt)= 2e-(e-1) =2 .小結(jié):1.定積分換元積分定理:假設(shè)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù);則有函數(shù)X =®(t)在區(qū)間2, P上有連續(xù)且不變號的導(dǎo)數(shù);當(dāng)t在0, P變化時(shí)，x=®