初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題及問題詳解經(jīng)典題型

1、標(biāo)準(zhǔn)文案論：拋物線y拋物線y拋物線y拋物線y拋物線y1 2 ,，一x2 1是由拋物線y212 口 -(x 1)是由拋物線y12(x 1)2 1是由拋物線212(x 1)2 1是由拋物線21 , 八2(x 1)2 1是由拋物線2228、已知一次函數(shù) y= ax+c與二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aw0),它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是圖中的()二次函數(shù)試題1 2 x2怎樣移動得到的？21 2 一x2怎樣移動得到的？21 21， j , r ,y -x 1怎樣移動得到的？21 2y (x 1)2怎樣移動得到的?21 2 ,y -x怎樣移動得到的？2選擇題：1、y=(m-2)x m2- m是關(guān)于x

2、的二次函數(shù)，則 m=()A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在2、下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w 0)模型的是()A 在一定距離內(nèi)，汽車行駛的速度與行駛的時間的關(guān)系B我國人中自然增長率為 1%這樣我國總?cè)丝跀?shù)隨年份變化的關(guān)系C矩形周長一定時，矩形面積和矩形邊長之間的關(guān)系D圓的周長與半徑之間的關(guān)系4、將一拋物線向下向右各平移2個單位得到的拋物線是y=-x2,則拋物線的解析式是()A y=( x-2 ) 2+2B y= ( x+2 )2+2C y= ( x+2 ) 2+2D y= ( x-2 )2213、無論m為任何實數(shù)，總在拋物線y=x2+2mx+ m上的點

3、的坐標(biāo)是 。16、若拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的對稱軸為直線 x= 2 ,最小值為2 ,則關(guān)于方程ax2+bx+c= 2的根為 一17、拋物線y= (k+1) x2+k2-9開口向下，且經(jīng)過原點，則k=解答題：(二次函數(shù)與三角形)1、已知：二次函數(shù) y=F2+bx+c，其圖象對稱軸為直線 x=1,且經(jīng)過點(2,-三).(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)設(shè)該圖象與x軸交于B、C兩點(B點在C點的左側(cè))，請在此二次函數(shù) x軸下方的圖象上確定一點 E,使4EBC的面積最大, 并求出最大面積.(第2題圖)2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸、一，

4、一一 9交于點C (0 , 4),頂點為(1 , 2).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點D,試在對稱軸上找出點 P,使CDM等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點 P的坐標(biāo).(3)若點E是線段AB上的一個動點(與 A B不重合)，分別連接AC BC過點E作EF/AC交線段BC于點F,連接CE記CEF的面積為S, S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時 E點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.4 ,3、如圖，一次函數(shù)y=- 4x- 4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=x +bx +c的圖象經(jīng)過 A C兩點，且與x軸交于點B.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

5、(2)設(shè)拋物線的頂點為 D求四邊形ABDC勺面積；(3)作直線MNF行于x軸，分別交線段 AC BC點M N.問在x軸上是否存在點P,使得 PMN1等腰直角三角形？如果存在,求出所有滿足條件的P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.(第3題圖)1 c7(二次函數(shù)與四邊形)4、已知拋物線y x2 mx 2m .22(1)試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與 x軸總有兩個不同的交點； 如圖，當(dāng)該拋物線的對稱軸為直線 x=3時，拋物線的頂點為點 C,直線y=x1與拋物線交于 A B兩點，并與它的對稱軸交于 點D.拋物線上是否存在一點 P使得四邊形ACPD1正方形？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，說明理

6、由；平移直線CD交直線AB于點M交拋物線于點 N,通過怎樣的平移能使得 C、D M N為頂點的四邊形是平行四邊形.5、如圖，拋物線y= mx11m葉24m(m 0)與x軸交于B C兩點(點B在點C的左側(cè))，拋物線另有一點 A在第一象限內(nèi)，且/ BAC= 90 .(1)填空：OB=, OC=;(2)連接OA將 OAC& x軸翻折后得 ODC當(dāng)四邊形OACDI菱形時，求此時拋物線的解析式；(3)如圖2,設(shè)垂直于x軸的直線l ： x= n與(2)中所求的拋物線交于點 M,與C成于點N,若直線l沿x軸方向左右平移，且 交點M始終位于拋物線上 A、C兩點之間時，試探究：當(dāng) n為何值時，四邊形 AMCNJ

7、面積取得最大值，并求出這個最大值.大全6、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABC亮直角梯形，BC AD, / BAD=90 , BC與y軸相交于點M,且M是BC的中點，A B、D三點的坐標(biāo)分別是 A ( 1 , 0), B ( 1 , 2), D (3, 0).連接DM并把線段DM沿DA方向平移到ON若拋物線y ax2 bx C經(jīng)過點D、MN.(1)求拋物線的解析式.(2)拋物線上是否存在點 P,使得PA=PC若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由.(3)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為E,點Q是拋物線的對稱軸上的一個動 點，當(dāng)點Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值.7

8、、已知拋物線y ax2 2aX 3a (a 0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)過點D作DHL y軸于點H,若DH=HC求a的值和直線CD的解析式；(3)在第(2)小題的條件下，直線CM x軸交于點E,過線段OB的中點N作NFx軸，并交直線CD于點F,則直線NF上是否存在點M,使得點M到直線CD的距離等于點 M到原點。的距離？若存在，求出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c (a，0)的圖象經(jīng)過 M (1, 0)和N (3, 0)兩點，且與 y軸交于D (0, 3)

9、,直線l是拋物線的對稱軸.1)求該拋物線的解析式.2)若過點A( - 1, 0)的直線AB與拋物線的對稱軸和 x軸圍成的三角形面積為 6,求此直線的解析式.3)點P在拋物線的對稱軸上，O P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標(biāo).9、如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=- (x+m) (x-3他 圖象的頂點為 M圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點.以AB為直徑作圓，圓心為C.定點E的坐標(biāo)為(-3, 0),連接ED (m0)(1)寫出A、B、D三點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關(guān)系；(3)當(dāng)m變化時，用m表示 AED的面積S,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出S關(guān)于m的

10、函數(shù)圖象的示意圖。2.10、已知拋物線y ax bx c的對稱軸為直線x 2 ,且與x軸交于A、B兩點.與y軸交于點C.其 中 AI(1 , 0), 0(0,3).(1) (3分)求拋物線的解析式；(2)若點P在拋物線上運動(點 P異于點A).(4分)如圖l .當(dāng) PBC面積與 ABC面積相等時.求點P的坐標(biāo)；(5分)如圖2.當(dāng)/ PCB=/ BCA寸，求直線 CP 的解析式。答案:1、解：(1)由已知條件得2M4, (2分)|x 2設(shè) E 點坐標(biāo)為(x, 0),則 EB= 4-x, MF=- (4 -x) + 2b + c= -2-解得b= w，c=一工，此一次函數(shù)的解析式為y=：x7x一4

11、；（1分）一、 2 王 口（2） . xx x- 3=0, - xi= - 1, X2=3, .B （T, 0）, C （3, 0）,BC=4, （1 分） E點在x軸下方，且 EBC面積最大，E點是拋物線的頂點，其坐標(biāo)為（1, - 3), (1 分) 1 , .EBC的面積X 4X3=6. (1 分)92、（1） ,拋物線的頂點為（1,萬）.拋物線與y軸交于點C（0 , 4）,所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y =，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y = a ( x 1)2 +|一 .291- a (01) + 2= 4 斛得 a= 22( x 1) 2+9（2）解：R （1 ,即），P2 （1 ,匹），P3

12、 （1-.129-(3)解：令一2( x -1) +2=0,解得 x1=- 2,刀=4，拋物線y= 2（ x 1）2+9與x軸的交點為過點F作FML OB于點M-、一、MF EBEF/ AC BEHABAC .一在又OC ABA ( 2, 0) C (4 , 0). OC= 4, AB= 6,EB2.MFx O及-EBAB3-111 _ S= Six BCE- Sa bef= 2 EB- OG- 2 EB- MF= 2 E目 OG- MF=1 (4-x)4 2(4 x) =- 1x2+ 2x+8- = 1(x 1) 2 + 32333331. a=-/3x+ b.DE交x軸于（一1, 0）代入

13、解析式得 b=-73，把 x= 1 代入得 y= 0D3 （ - 1, 0）,在RtDHB中，由勾股定理得 DH= 5可求交點坐標(biāo) D （ 1,，而十43） , D2（1, 2、/2）1 1y=- /3x - y3過B做BH/ x軸，貝U BH= 1/. d(1, yii+y3)同理可求其它點的坐標(biāo)。D3 ( 1, 0), D4 ( -1, 11-3) D5 (1, - 2/2)4、2_m 2 0,=m 2 2 30,無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點.（2）拋物線的對稱軸為直線x=3, m 3,拋物線的解析式為1 2 _5 1_ 2_x 3x =x 32,頂點 C坐標(biāo)為(3,一

14、 2),22 2解方程組1,Xi3xy11x2 7或，所以A的坐標(biāo)為（1,0）、B的坐標(biāo)為（7, 6）,0y2 62.1- 72 .一 22m 4 2m =m 4m 7 = m 4m 4 3= m 23, .不管 m為何實數(shù)，總有22x 3時 y=x1=3 1=2,，D的坐標(biāo)為CDNML平行四邊形.3, 2）,設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸的交.點為E,則E的坐標(biāo)為（3,0）,所以 AE=BE=3, DE=CE=2, 假設(shè)拋物線上存在一點 P使得四邊形 ACP虛正方形，則AP CM相垂 直*分且相等，于是 P與點B重合，但APi, CD4, AP CD故拋物 線上不存在一點 P使得四邊形 ACPDI

15、正方形.（I ）設(shè)直線CD向右平移n個單位（n 0）可使得 C D M N為頂點 的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3 n,直線CD與直線y=x1交于點M （3 n , 2 n）,又D的坐標(biāo)為（3, 2）, C坐標(biāo)為 （3, 2） , D通過向下平移4個單位得到C. C D M N為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDM睡平行四邊形或四邊形（i）當(dāng)四邊形 CDMN1平行四邊形，M向下平移4個單位得N, N坐標(biāo)為（3 n, n 2）,1 c 5125又 N 在拋物線 y x 3x上，n2 3n 3 3 n ,2222解得n10 （不合題意，舍去），n2 2,（ii）當(dāng)四邊形 CDNM

16、1平行四邊形,M向上平移4個單位得N,N坐標(biāo)為（3 n , n 6）,1 c 5125又 N 在拋物線 y x3x 上，n6 3 n 3 3 n ,2222解得n1 1 后（不合題意，舍去），1 717,（n）設(shè)直線CD向左平移n個單位（n0）可使得 G D M N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線 CD 的解析式為x=3 n ,直線CD直線y=x1交于點M（3 n, 2 n）,又; D的坐標(biāo)為（3, 2）, C坐標(biāo)為（3, 2），.二D通過向下平移4個單位得到 C. C D M N為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDM睡平行四邊形或四邊形 CDNMb平行四邊形.（i）當(dāng)四邊形 CDMN1平

17、行四邊形，M向下平移4個單位得N,N坐標(biāo)為（3 n, 2 n）,1 25125又 N 在拋物線 y -x 3x 上，2n 3n 3 3 n -, 2222解得ni 0 （不合題意，舍去），i 2 （不合題意，舍去），（ii）當(dāng)四邊形 CDNME平行四邊形， M向上平移4個單位得N,一. N坐標(biāo)為（3 n, 6 n）,1 o 5125又 N 在拋物線 y -x 3x 上，6n 3n 3 3 n -,2 222解得n11 717, n21后（不合題意，舍去），綜上所述，直線 CD向右平移2或（1府）個單位或向左平移1 J17）個單位，可使得 C DN為頂點的四邊形是平行四邊形.5、解：（1） OB

18、= 3, OC= 8（2）連接OD交O。點E四邊形 OACDI菱形 ，ADL OC1 一.OE= EC= - X8=4BE= 4-3= 1又BAC= 90 ,AE CE .AC摩 BAE BE= AE .A=BE- CE= 1X4. AE= 2.點A的坐標(biāo)為(4 , 2)把點A的坐標(biāo)(4 , 2)代入拋物線 r1得m= -2拋物線的解析式為2y = mx 11m肝 24m,1 211 x +x 1222（3）二.直線x=n與拋物線交于點 M1 2 11，點M的坐標(biāo)為（n, 2n+2-n 12)由（2）知，點D的坐標(biāo)為（4, 2）,則C D兩點的坐標(biāo)求直線 CD勺解析式為1.y=2x-41，點N

19、的坐標(biāo)為(n, 2n4)111 22 S四邊形AMCN=及am葉 Sacmn= 2MNCE= 2( 2n +5n-8) x 4= (n 5) + 9 . MN= (- -n2+ n22-1當(dāng)n= 5時 , S四邊形AMCN= 96、解：(1) BC/ AD B (-1 , 2), M是 BC與 x軸的交點，M (0,2),9aDIM/ ON D (3, 0), N (-3 , 2),貝U c3b9a3b1913 y（2）連接 AC交 y 軸與 GM是 BC的中點，AO=BM=MCAB=BC=2AG=GC 即 G (0,1),/ABC=90，.二BGL AC,即BG是AC的垂直平分線，要使 PA

20、=PC即點P在AC的垂直平分線上，故 P在直線標(biāo)準(zhǔn)文案BG上,，點P為直線BG與拋物線的交點,設(shè)直線BG的解析式為ykx b2，二 y(3) yx 11 2-x91,解得x 2 y3y13 322 3.2x2 3 32y 2 3/22 3衣)或 P ( 3-372 ,2 3戶),-x 21 ,3、29一(x) ,.對稱軸x9240,解得 x13, x26, . E ( 6,0),故E、D關(guān)于直線x3.對稱，. .2QE=QD . . |QE-QC|=|QD-QC| ,要使|QE-QC|最大，則延長DC與x3相交于點Q,即點Q為直線23DC與直線x的交點,2由于M為BC的中點，C (1, 2),

21、設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b ,皿3k b 0 k 1八則，解得， y x 3,k b 2 b 33.3. 9.39 .一.一時，y 3 ,故當(dāng)Q在( 一，一)的位置時，|QE-QC|取大,22222過點 C作 C。x 軸，垂足為 F,則 CD=VcfDFJ22 22 2J2.7、解：(1)由 y=0 得，ax2-2ax-3a=0 ,aw0, /. x2-2x-3=0 , 解得x-1, x2=3,.點 A 的坐標(biāo)(-1, 0),點B的坐標(biāo)(3, 0);(2)由y=ax2-2ax-3a ,令 x=0,得 y=-3a ,1- C (0,-3a),又 y=ax2-2ax-3a=a (x-1 )2

22、-4a ,得D (1, -4a), .DH=1, CH=-4a- (-3a)=-a,. .-a=1 ,. . a=-1,. C (0,3), D(1,4),r& = 3=3設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,把C、D兩點的坐標(biāo)代入得，= 4 ,解得 k = l ,直線CD的解析式為y=x+3;(3)存在.由(2)得，E (-3 , 0), N (-F (作MQ CDT Q設(shè)存在滿足條件的點3-29-29V22 , MQ=OM由題意得：RtAFQMh RtAFNEERN =整理得 4m2+36m-63=0,m2+9m=不,mf+9m+=葉 m標(biāo)準(zhǔn)文案，點M的坐標(biāo)為M (田)，M ( 2 -尋).8

23、、解：(1)二.拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的圖象經(jīng)過 M (1, 0)和NI (3, 0)兩點，且與 y軸交于D (0, 3), ，假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a (x-1) (x-3),將 D (0, 3),代入 y=a (x 1) (x 3),得：3=3a,a=1,，拋物線的解析式為：y= (x-1) (x-3) =x2-4x+3;(2)二過點A( - 1, 0)的直線AB與拋物線的對稱軸和 x軸圍成的三角形面積為 6, .-.|aCX BC=6,拋物線y=ax+bx+c (aw 0)的圖象經(jīng)過 M (1, 0)和N (3, 0)兩點，二次函數(shù)對稱軸為 x=2,，AC=3,BC=

24、4,B點坐標(biāo)為：(2, 4), 一次函數(shù)解析式為； y=kx+b ,4 = 2k + b0= -k+b(3)二.當(dāng)點P在拋物線的對稱軸上 .MO AB, AM=AC PM=PC4_3 4-3-4 ,4 y=3x+3;P與直線AB和x軸都相切,. AC=1+2=3 BC=4,，AB=5, AM=3 . . BM=2 / MBPh ABC / BMPh ACBA -c 人SM PM. . AB6 cbm . 2 _ P _,一.孑丁，PC=1.5, P 點坐標(biāo)為：(2, 1.5).9、解：(1) A (- m, 0), B (3m, 0), D (0,嚴(yán)4).(2)設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b ,將E ( - 3, 0), D (0, 用m)代入得：r3“十一解得，k=m, b=3m，直線ED的解析式為y=-mx+3 mJb = 3m將 y=-(x+m) (x-3m)化為頂 點式： y=-j (x+mi) 2pnn，頂點M的坐標(biāo)為m, m). 代入 y=y_mx+, 3 m 得:2 m=mm0,，m=1.所以，當(dāng) m=1時，M點在直線 DE上.連接 CD C為AB中點，C點坐標(biāo)為