初三數(shù)學圓的綜合的專項培優(yōu)易錯難題練習題

1、初三數(shù)學圓的綜合的專項培優(yōu)易錯難題練習題一、圓的綜合1 .如圖，點A、B、C分別是。上的點，CD是。的直徑，P是CD延長線上的一點,AP=AC(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)若點B是弧CD的中點，AB交CD于點E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)證明見解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù)，求出 /P、/ACQ /OAC度數(shù)，求出/ OAP=90 ,根據(jù)切線判定 推出即可；(2)求出BD長，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.試題解析：連接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是

2、直徑,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 ； . AP=AC, OA=OC/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP, . OA為半徑， .AP是。O切線.(2)連接 AD, BD,.CD是直徑, / DBC=90 ；. CD=4, B為弧CD中點, 二二入" BD=BC=e ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ； 即 / BDE=/ DAB, / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD, BD AB.至工前.,.BE?AB=

3、BD?BD=V2 X 2G = 8考點：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質.2.如圖，OA過？OBCD的三頂點 O、D、C,邊OB與。A相切于點 O,邊BC與。相交于 點H,射線OA交邊CD于點E,交。A于點F,點P在射線OA上，且Z PCD=2Z DOF,以。為原點，OP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，點B的坐標為（0, - 2）.（1）若/ BOH=30 ,求點H的坐標；（2）求證：直線PC是。A的切線；（3）若OD二斤，求。A的半徑. 環(huán)5【答案】（1） （ 1 ,-石）；（2）詳見解析；（3）3【解析】【分析】（1）先判斷出OH=OB=2,利用三角函數(shù)求出 MH, OM,即

4、可得出結論;(2)先判斷出/PCD=/ DAE,進而判斷出/PCD=/ CAE,即可得出結論;(3)先求出O3,進而用勾股定理建立方程，r2-(3-r) 2=1,即可得出結論.【詳解】(1)解：如圖，過點 H作HM，y軸，垂足為 M.四邊形OBCD是平行四邊形，/ B=/ODC 四邊形OHCD是圓內接四邊形/ OHB=Z ODC/ OHB=Z B .OH=OB=2 在 RtAOMH 中，/ BOH=30 ,°MH= 1 OH=1, OM=舊 MH=底， 點H的坐標為(1,-石)，(2)連接AC. .OA=AD,/ DOF=Z ADO/ DAE=2/ DOF / PCD=2Z DOF,

5、 / PCD土 DAE OB與。相切于點A OBXOF1. OB/ CDCDXAFZ DAE=Z CAE / PCD土 CAE/ PCA=Z PCD+/ACE之 CAE+Z ACE=90直線PC是。A的切線；(3)解：OO的半徑為r.，一，11在 RtOED 中，DE=- CD=- OB=1, OD=Ji022.OE 3 . OA=AD=r, AE=3- r.在RtA DEA中，根據(jù)勾股定理得，r2- (3-r)2=13【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，圓內接四邊形的性質，勾股定理，切 線的性質和判定，構造直角三角形是解本題的關鍵.3.在平面直角坐標中，邊長為 2的正方形O

6、ABC的兩頂點a、C分別在y軸、x軸的正 半軸上，點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞。點順時針旋轉，當 A點一次落在直線 y x上 時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y x于點m , BC邊交x軸于點N (如圖).(1)求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時，求正方形 OABC旋轉的度數(shù)；(3)設 MBN的周長為p ,在旋轉正方形 OABC的過程中，p值是否有變化？請證明 你的結論.【答案】(1) nt2 (2) 22.5。(3)周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)解決本題需利用全等，根

7、據(jù)正方形一個內角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子.試題解析：(1) ; A點第一次落在直線 y=x上時停止旋轉，直線 y=x與y軸的夾角是 45°,，OA 旋轉了 45 °.一 4522.OA在旋轉過程中所才3過的面積為45 3602(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.X / BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN. ./AOM=/CON=1 (/AOC-/ MO

8、N) =1 (90 -45°) =22.5 . 22，旋轉過程中，當 MN和AC平行時，正方形 OABC旋轉的度數(shù)為45 -22.5 =22.5 . (3)在旋轉正方形 OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN. .OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=

9、AM+CN , p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉正方形 OABC的過程中，p值無變化.考點：旋轉的性質.4.如圖，AB為。O的直徑，點 D為AB下方。O上一點，點 C為弧ABD的中點，連接 CD, CA.(1)求證：/ABD=2/BDC;(2)過點C作CHI± AB于H,交AD于E,求證：EA=EC；(3)在(2)的條件下，若 OH=5, AD=24,求線段DE的長度.卸卸EJ9【答案】(1)證明見解析；(2)見解析；(3) DE 9.2【解析】【分析】(1)連接AD,如圖1,設/BDO% /ADC=3,根據(jù)圓周角定理得到 /CAB=/BDC=%

10、由AB為。O直徑，得到Z ADB=90 °,根據(jù)余角的性質即可得到結論；(2)根據(jù)已知條件得到 /AC&/ADC,等量代換得到 /ACE=/CAE,于是得到結論；(3)如圖2,連接OC,根據(jù)圓周角定理得到 /CO&2/CAB,等量代換得到ZCOB=ZABD,根據(jù)相似三角形的性質得到OH=5,根據(jù)勾股定理得到AB= . AD 2BD2 =26,由相似三角形的性質即可得到結論.【詳解】(1)連接 AD.如圖 1,設/BDO% Z ADC= 3,貝叱 CAB=Z BDC=a,點C為弧ABD中點，Ac =Cd ,/ ADC=Z DAC= 3,DAB= r a,. AB 為。O

11、 直徑，/ADB=90； a + 3 =p0.° 3 =90-° a, / ABD=90 二 / DAB=90 ,(3- a) ,ZABD=2a,/ABD=2/BDC;圖1圖？(2) CH，AB,Z ACE+Z CAB=Z ADC+Z BDC=90°, Z CAB=Z CDB,Z ACE=Z ADC, / CAE=Z ADC,/ ACE=Z CAE, . A&CE；(3)如圖 2,連接 OC,ZCOB=2ZCAB, Z ABD=2Z BDC, Z BDC=Z CAB, . / COB=/ABD,。"c"OH OC 1 Z OHC=Z A

12、DB=90 ；AOCHAABD, ，BD AB 2,. OH=5,BD=10, . AB= JaD2_BD 2 =26,，AO=13,，AH=18,人ah. AHEAADB, ADAE18 AE,即=AB24 26AE=39 ,DE=-.22【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出 輔助線是解題的關鍵.5.如圖，在 4ABP中,C是BP邊上一點，/PAO/PBA。是4ABC的外接圓，AD是。的 直徑，且交BP于點E.（1）求證：PA是。的切線；（2）過點C作C。AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AG?AB=12,求AC的長.【答案】（1）證

13、明見解析（2） 2 J3【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出 /ACD=90以及利用/PAC=/ PBA得出/ CAD+Z PAC=90進而得出答案；（2）首先得出CA84BAC,進而得出 ACAGAB,求出AC即可.試題解析：（1）連接CD,如圖，.AD是。O的直徑，/ ACD=90 ; / CAD+Z D=90 ； / PAG / PBA, / D=Z PBA, / CAD+Z PAC=90 ；即 / PAD=90°, PAX AD, .PA是。O的切線；6.如圖，四邊形 ABCD內接于。O,對角線AC為。的直徑，過點 C作AC的垂線交AD 的延長線于點E,點F為CE的中點

14、，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5應，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長.【答案】(1)見解析；(2) 5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=900,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進 而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 °.點 F 為 CE的中點，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . /

15、 FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB,AB = ?C，BC=AB=5& 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設 DE為 x,由 AD： DE=4： 1, .AD=4x, AE=5x,.1-100=4x?5x,，x=n, .DE=V5.ac2=ad?ae 是點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形

16、的判定與性質，正確得出解題的關鍵.7.如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點 M的坐標為（3, - 1）,點A的坐 標為（-2, J3）,點B的坐標為（-3, 0）,點C在x軸上，且點 D在點A的左側.（1）求菱形ABCD的周長；（2）若。M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，同時菱形 ABCD沿x軸向右以每 秒3個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為 t （秒），當。M與BC相切，且切點為 BC的中點時，連接BD,求：t的值；ZMBD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，當點 M與BD所在的直線的距離為 1時，求t的值.【答案】(1)8； ( 2)7 ;1050 ; ( 3)t=6

17、- J3 或 6+【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理求菱形的邊長為2,（2）如圖2,先根據(jù)坐標求 EF的長，由所以可得周長為EE FE=EF=7,8；列式得：3t-2 t=7,可得t的值； 先求/EBA=60：則/FBA=120：再得ZMBF=45 °,相加可得：/ MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;（3）分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖 5由距離為1可知：BD為。M的切線，由BC是。M的切線，得/MBE=30。，列式為3t+J3=2t+6,解出即可；第二種情況：如圖 6,同理可得t的值.詳解：（1）如圖1 ,過A作AE± B

18、C于E.點 A 的坐標為（-2, J3）,點 B 的坐標為（-3, 0） , ，AE=J3, BE=3-2=1,-AB= Tae'_Be7 = 7（ V3）2 12 =2 .四邊形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周長=2 X 4=8(2) 如圖2, OM與x軸的切點為F, BC的中點為E. M (3, - 1) ,F (3, 0). BC=2,且 E為 BC的中點，E ( - 4, 0) , . EF=7,即 EEFE=EF, ，3t2t=7, t=7；由(1)可知：BE=1 , AE=J3,AE 3，一tanZ EBA=火=百，/. Z EBA=6

19、0 ,如圖 4, . / FBA=120 .BE 1.四邊形 ABCD是菱形， . / FBD=1 / FBA=工 120 =60 °. 22 BC是 O M 的切線，MF ± BC. F是BC的中點，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;(3)連接BM,過M作MNXBD,垂足為N,作MELBC于E,分兩種情況: 第一種情況：如圖5.四邊形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/CBD=60：，/NBE=60°. 點M與BD所在的直線白距離為 1,MN

20、=1,BD為。M的切線.BC是 O M 的切線，/ MBE=30 °. . ME=1,EB=3,3t+73=2t+6, t=6一百；第二種情況：如圖 6./DBC=60 °,Z NBE=120 °. .MN=1,，BD 為。M 的切線. 四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °, 點M與BD所在的直線白距離為 1, BC是 O M 的切線，/ MBE=60 °. ME=MN=1,. .RBEM 中,MEtan60 =,BE13Eb=)tan 603，3t=2t+6+G3t=6+_i ；3M與BD所在的直線的距離為綜上所述：當點點睛：本題是四邊

21、形和圓的綜合題，考查了菱形的性質、圓的切線的性質和判定、特殊的 三角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質、動點運動問題，此類問題比較復雜，弄清動點運動 方向、速度、時間和路程的關系，并與方程相結合，找等量關系，求出時間t的值.8.如圖，。是4ABC的內心，BO的延長線和 4ABC的外接圓相交于 D,連結DC DAOA OC,四邊形OADC為平行四邊形.(1)求證：BOeCDA.(2)若AB=2,求陰影部分的面積.【答案】(1)證明見解析；(2)43.39【解析】分析：(1)根據(jù)內心性質得 /1 = /2, Z3=Z4,則AD=CD,于是可判斷四邊形 OADC為菱形，則BD垂直平分 AC, /4=/5=

22、/6,易得 OA=OC /2=/3,所以OB=OC,可判斷點 O 為4ABC的外心，則可判斷 4ABC為等邊三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0 ,BC=AC再根據(jù)平行四邊形的性質得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OB則根據(jù) “SA院明BOXACDA；(2)作OH, AB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到， 。一一1/ BOH=30 根據(jù)垂徑定理得到 BH=AH=-AB=1,再利用含30度的直角二角形二邊的關系2得到OH=eBH=Y3, OB=2OH=2/3,然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用333S陰影部

23、分=S扇形AOB-S AOB進行計算即可.詳解：(1)證明：:。是4ABC的內心，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CQ/ 4=/ 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AG/3=/4=/6, / ABC=/ACB .AB=AC .ABC是等邊三角形 .O是4ABC的內心也是外心 .OA=OB=OC設E為BD與AC的交點，BE垂直平分 AC在 RtOCE中，CE=-AC=-AB=1, Z OCE=30°,22OA=OB=OC=2.3 / AOC=120 ,°SK 影=Sjg aobSVAOB1

24、20,2.3,21c3=()-2360323=4389點睛：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，： 角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心 就是三角形三個內角角平分線的交點.也考查了等邊三角形的判定與性質和扇形面積的計9.如圖，A是以BC為直徑的。上一點，AD± BC于點D,過點B作。的切線，與 CA 的延長線相交于點 E, G是AD的中點，連結 CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的 延長線相交于點 P.(1)求證：BF=EF：(2)求證：PA是。的切線；(3)若FG=BF,且。O的半徑長為3 J2

25、,求BD的長度.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） 2J2【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到/FA8/EBO結合BE是圓的切線，得到 PA! OA,從而得到PA是圓O的切線；（3）點F作FHI± AD于點H,根據(jù)前兩問的結論，利用三角形的相似性質即可以求出BD的長度.詳解：證明：（1）.BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，EBXBC；又 ; AD± BC,.AD/ BE.BFCDGC AFECAGAC,BF

26、 CFEF CF,=DG CGAG CGBF EF-=，DG AG.G是AD的中點，DG=AG,BF=EF；（2）連接 AO, AB.,. BC是圓O的直徑，/ BAC=90 ；由(1)得：在RtBAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點, .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BAO,. BE是圓O的切線，/ EBO=90 ； / FBA+ZABO=90 ； / FABZ BAO=90 ；即 / FAO=90°, PAX OA, .PA是圓O的切線；(3)過點F作FH,AD于點H,E1 . BDXAD, FHXAD,2 .FH/ BC,由(2),知/FB

27、A=/BAF, BF=AF.3 BF=FG,4 .AF=FG,5 .AFG是等腰三角形6 .FHXAD,.AH=GH,7 DG=AG, DG=2HG.即照1DG 2. FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四邊形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.,.HFGADCG,FH HG 1CD DG 2BDCD2.32.15,O的半徑長為3J2，BC=6 2 ，,BD=1bC =2 版.點睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質.結合已 知條件準確對圖形進行分析并應用相應的圖形性質是解題的關鍵10.如圖，在R9ABC中，c 90 , AD平分/B

28、AC,交BC于點D,點O在AB上,。經過A、D兩點，交AC于點E,交AB于點F.(1)求證：BC是。的切線;兀和根號)(2)若OO的半徑是2cm, E是弧AD的中點，求陰影部分的面積(結果保留2【答案】(1)證明見解析 (2) J33(1)連接OD,只要證明OD/AC即可解決問題；(2)連接OE, OE交AD于K.只要證明4AOE是等邊三角形即可解決問題.【詳解】(1)連接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, . . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD

29、于K.AE DE , OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE 是等邊三角形， ZAOE=60°, .SwS 扇形 oae- Sa aoe 602- 22 V3 .360 本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質、平行線的判定和性質、 全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識 解決問題，屬于中考常考題型.11.在直角坐標系中，。為坐標原點，點 A坐標為(2, 0),以OA為邊在第一象限內作 等邊AOAB, C為x軸正半軸上的一個

30、動點(OC>2),連接BC,以BC為邊在第一象限內 作等邊 BCD),直線DA交y軸于E點.(1)求證：OB8 4ABD(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變,請求出直 線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作圓，圓心為點 F,當C點運動到何處時，直線 EF/直線BO;這時 O F和直線BO的位置關系如何？請給予說明.【答案】(1)見解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y展x273 ;(3) C點運動到(4,0)處時，直線EF/直線BO；此時直線BO與。F相切，理由見解析. 【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質可得到OB=AB, BC=B

31、D, / OBA=/ DBC,等號兩邊都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據(jù)“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,°由等邊 ABCD,得至U / BAO=60 ,°根據(jù)平角定義及對頂角相等得到 /OAE=60 在直角三角形 OAE中，由OA的長，根據(jù)tan60的定義求出OE的長，確定出 點E的坐標，設出直線 AE的方程，把點 A和E的坐標代入即可確定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根據(jù)過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又F為BC的中點，得到 A

32、為OC中點，由A的坐標即可 求出C的坐標；相切理由是由 F為等邊三角形 BC邊的中點，根據(jù) 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形， .OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=60 ,° / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即/ OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB AB OBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=/ BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/

33、OAE=60 ,° 又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 °=OE, OA則OE=2有，點 E坐標為(0, -2 J3),設直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標代入得:0 2kb2石b '解得,k 、,3b 2也'直線AE的解析式為：y芯x 273.（3） C點運動到（4,0）處時，直線EF/直線BO；此時直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點F為DE與BC的交點，又F為BC中點， .A 為 OC 中點，又 AO=2,貝U OC=4, 當C的坐標為（4

34、, 0）時，EF/ OB,這時直線BO與。F相切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，.-.DF± BC,又 EF/ OB, FBI OB, 直線BO與OF相切，【點睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質；等邊三角形的性質和直線與圓的位置關 系.熟練掌握相關性質定理是解題關鍵 .12.如圖1,等腰直角 ABC中，/ACB=90°, AC=BC 過點A, C的圓交 AB于點D,交BC 于點E,連結DE(1)若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長(2)如圖2,連結CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD(3)如圖3,在圓上取點

35、P使得/PCD=Z BCD (點P與點E不重合)，連結 PD,且點D是4CPF的內心請你畫出CPF說明畫圖過程并求 /CDF的度數(shù) 設 PC=a, PF=b), PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF 的內切圓半徑長.Bl02圖 31【答案】(1)DE=1,CE=3&；(2)tan/BCD=； (3) 135。；2.4【解析】【分析】(1)由A、G E、D四點共圓對角互補為突破口求解；(2)找/ BDF與/ ODA為對頂角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形，從而得到/EDC+Z ODA=45,即可證明/CDF=135；(3)過點D

36、做DH CB于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點 P做e D切線PF 交CB的延長線于點F,結合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內心是三角形 三個內角角平分線的交點，得出 /CPF=90,然后根據(jù)角平分線性質得出八八1-1八口 一Ar ，DCF CFD PCF PFC 45 ,最后再根據(jù)三角形內角和定理即可求22解；證明/DCF+/ CFD=45 ,從而證明/CPF是直角，再求證四邊形 PKDN是正方形，最后出c值，即求出4CPF的內切圓半徑長為 絲 c.【詳解】(1)由圖可知:以4PCF面積不變性建立等量關系，結合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字

37、母a, b求設BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得:ac在 4DCB 中過點 D 作 DMLBE,設 BE=y,則 DM=-y,又.咨3BC=3+y,Sa acB=SAcd+Sdcb,+bc2=ab2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, x2+x2=82,解得：x=4 2 O O內接四邊形，/ ACD=90 ,°/ ADE=90 ；/ EDB=90 ,° / B=45 ； .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又 DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BECE=4后近3無(2)如圖所示：1 -14.24,210-32 2解得：y=2或y=-11 （舍去

38、）.EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MOD,tanZ BCD=tanZ MOD,在 RtDCM 中，tanZ MOD= DM =1OM 41 . tan Z BCD=.4(3)如下圖所示：過點D做DH CB于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點 P做eD切線PF交CB的延長線于點F. Z CAD=45 ; / CPD土 CAD=45 ,°又.點D是 CPF的內心,.PD、CD DF都是角平分線,/ FPD=Z CPD =45 ,/ PCD=Z DCF, / PFD=Z CFD/ CPF=90 °11PCF PFC 4522 / PC% PFC=9

39、0DCF CFD/ CDF=180-Z DCF-/ CFD F=90+45 = 135 ； 即/CDF的度數(shù)為135。.如下圖所示過點D分別作 DK，PC, DMCF, DNPF于直線PC, CF和PF于點K, M , N三點, 設APCF內切圓的半徑為 m,則DN=m, 點D是4PCF的內心,.DM=DN=DK,又. / DCF-+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCF+Z CFD=45 ,°又 DC, DF分別是/ PCF和/ PFC的角平分線,/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, °/ CP

40、F=90. °在四邊形 PKDN 中，Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四邊形PKDN是矩形,又 KD=ND,四邊形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 , / BDM= / KDP,/ KDP=45 .° . PC=a, PF=b, PD=c,pn=pk=：Ic2NF=b 近c, CK=a2又,. CK=CM, FM=FN, CF=CM+FM, CF=a b 72c，又 S PCF=S PDF-S PDC-Skx DCF,1,121 .21 , 不、2ab _a c b c (a b V2 c) xc, 2222222化簡彳導:ab=V2 a b

41、c c2 ( i ),又,若(a- 、2 c) ( b-、2 c) =8化簡彳導:ab 72c a b2c2 8 ( n ),將（i ）代入（n ）得：c2=8,解得：c 2J2,或c272 （舍去），m=c 2V2 2, 22即 CPF的內切圓半徑長為 2.【點睛】本題考查圓的內接四邊形性質，圓的內心，圓心角、圓周角，同弧（或等?。┲g的相互關系，同時也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函數(shù)值相等和三角形的面積公式，正方形，對頂角和整式的運算等知識點；難點是作輔助線和利用等式求4CPF的內切圓半徑長.13.如圖，點 A, B, C, D, E在。上，AB± CB于點 B,

42、tanD=3, BC=2, H 為 CE延長線 上一點，且 AH=J10, CH 572 .（1）求證：AH是。的切線；（2）若點D是弧CE的中點，且 AD交CE于點F,求證：HF=HA;（3）在（2）的條件下，求EF的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3） J10 J2【解析】【分析】（1）連接AC,由AB± CB可知AC是。的直徑，由圓周角定理可得 / C=/ D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得：A= 40,從而可得AC2+AH2=CH2,根據(jù)勾股定理的逆定理可得AC± AH,問題得證；（2）連接DE BE,由弦切角

43、定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中點，可得/CED=/ EBD,再由圓周角定理可得 /ABE=/ ADE,結合三角形的外角即可證明/HAF=/ AFH,從而可證得 AH=HF;（3）由切割線定理可得 EH=J2，由（2）可知AF=FH=VT0 ,從而可得 EF=FHF EH=J10-,2 -【詳解】（1）如圖1所示：連接AC. .ABXCB, .AC是。O的直徑， / C=Z D,tanC=3, .AB=3BC=3 X 2=6 在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC?=40, 又.力112=10, CH2=50,.-.ac2+ah2=ch2, .ACH為直角三角形， A

44、CXAH, .AH是圓O的切線；(2)如圖2所示：連接DE、BE,.AH是圓O的切線，/ ABD=Z HAD,:口是CE的中點，Cd ?d，/ CED=Z EBD,又 Z ABE=Z ADE, / ABE+Z EBD=Z ADE+Z CED,/ ABD=Z AFE,/ HAF=Z AFH, .AH=HF;（3）由切割線定理可知：AH2=EH?CH,即（而）2=5，2eH,解得：EH= , 2 , 由（2）可知 AF=FH=A0 ,.EF=FH- EH=710-& .【點睛】本題主要考查圓的綜合應用，解答主要應用了切線的判定定理、弦切角定理、切 割線定理、圓周角定理、勾股定理、勾股定理的

45、逆定理、三角形的外角的性質等，正確添加輔助線是解題的關鍵14.如圖，已知Rt ABC中，ACB 90°，AC 8 , AB 10,點D是AC邊上一點(不與C重合)，以AD為直徑作eO,過C作CE切eO于E,交AB于F.(1)若e O的半徑為2,求線段ACE的長;(2)若AF BF ,求e O的半徑；(3)如圖，若CE CB，點B關于AC的對稱點為點 G ,試求G、E兩點之間的距 離.【答案】(1)CE 4J2； (2)eO的半徑為3； (3)G、E兩點之間的距離為9.6.【解析】【分析】(1)根據(jù)切線的性質得出 /OEC=90,然后根據(jù)勾股定理即可求得;(2)由勾股定理求得 BC,然后通過證得 OE84BCA,得到OE =OC ,即!=8-r ,解BC BA 6 10得即可；(3)證得D和M重合，E和F重合后，通過證得 GBEABC, GB 型 即AB AC12 GE 一 一，解得即可.108(1)如圖，連結OE .CE切e