初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)題

1、初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)題一、圓的綜合1 .如圖，點(diǎn)A、B、C分別是。上的點(diǎn)，CD是。的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AP=AC(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù)，求出 /P、/ACQ /OAC度數(shù)，求出/ OAP=90 ,根據(jù)切線判定 推出即可；(2)求出BD長(zhǎng)，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.試題解析：連接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是

2、直徑,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 ； . AP=AC, OA=OC/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP, . OA為半徑， .AP是。O切線.(2)連接 AD, BD,.CD是直徑, / DBC=90 ；. CD=4, B為弧CD中點(diǎn), 二二入" BD=BC=e ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ； 即 / BDE=/ DAB, / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD, BD AB.至工前.,.BE?AB=

3、BD?BD=V2 X 2G = 8考點(diǎn)：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì).2.如圖，OA過(guò)？OBCD的三頂點(diǎn) O、D、C,邊OB與。A相切于點(diǎn) O,邊BC與。相交于 點(diǎn)H,射線OA交邊CD于點(diǎn)E,交。A于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線OA上，且Z PCD=2Z DOF,以。為原點(diǎn)，OP所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0, - 2）.（1）若/ BOH=30 ,求點(diǎn)H的坐標(biāo)；（2）求證：直線PC是。A的切線；（3）若OD二斤，求。A的半徑. 環(huán)5【答案】（1） （ 1 ,-石）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）3【解析】【分析】（1）先判斷出OH=OB=2,利用三角函數(shù)求出 MH, OM,即

4、可得出結(jié)論;(2)先判斷出/PCD=/ DAE,進(jìn)而判斷出/PCD=/ CAE,即可得出結(jié)論;(3)先求出O3,進(jìn)而用勾股定理建立方程，r2-(3-r) 2=1,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn) H作HM，y軸，垂足為 M.四邊形OBCD是平行四邊形，/ B=/ODC 四邊形OHCD是圓內(nèi)接四邊形/ OHB=Z ODC/ OHB=Z B .OH=OB=2 在 RtAOMH 中，/ BOH=30 ,°MH= 1 OH=1, OM=舊 MH=底， 點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,-石)，(2)連接AC. .OA=AD,/ DOF=Z ADO/ DAE=2/ DOF / PCD=2Z DOF,

5、 / PCD土 DAE OB與。相切于點(diǎn)A OBXOF1. OB/ CDCDXAFZ DAE=Z CAE / PCD土 CAE/ PCA=Z PCD+/ACE之 CAE+Z ACE=90直線PC是。A的切線；(3)解：OO的半徑為r.，一，11在 RtOED 中，DE=- CD=- OB=1, OD=Ji022.OE 3 . OA=AD=r, AE=3- r.在RtA DEA中，根據(jù)勾股定理得，r2- (3-r)2=13【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，切 線的性質(zhì)和判定，構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.3.在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為 2的正方形O

6、ABC的兩頂點(diǎn)a、C分別在y軸、x軸的正 半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)一次落在直線 y x上 時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y x于點(diǎn)m , BC邊交x軸于點(diǎn)N (如圖).(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，求正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè) MBN的周長(zhǎng)為p ,在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明 你的結(jié)論.【答案】(1) nt2 (2) 22.5。(3)周長(zhǎng)不會(huì)變化，證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)解決本題需利用全等，根

7、據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.試題解析：(1) ; A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線 y=x與y軸的夾角是 45°,，OA 旋轉(zhuǎn)了 45 °.一 4522.OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所才3過(guò)的面積為45 3602(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.X / BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN. ./AOM=/CON=1 (/AOC-/ MO

8、N) =1 (90 -45°) =22.5 . 22，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45 -22.5 =22.5 . (3)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN. .OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=

9、AM+CN , p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).4.如圖，AB為。O的直徑，點(diǎn) D為AB下方。O上一點(diǎn)，點(diǎn) C為弧ABD的中點(diǎn)，連接 CD, CA.(1)求證：/ABD=2/BDC;(2)過(guò)點(diǎn)C作CHI± AB于H,交AD于E,求證：EA=EC；(3)在(2)的條件下，若 OH=5, AD=24,求線段DE的長(zhǎng)度.卸卸EJ9【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) DE 9.2【解析】【分析】(1)連接AD,如圖1,設(shè)/BDO% /ADC=3,根據(jù)圓周角定理得到 /CAB=/BDC=%

10、由AB為。O直徑，得到Z ADB=90 °,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件得到 /AC&/ADC,等量代換得到 /ACE=/CAE,于是得到結(jié)論；(3)如圖2,連接OC,根據(jù)圓周角定理得到 /CO&2/CAB,等量代換得到ZCOB=ZABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OH=5,根據(jù)勾股定理得到AB= . AD 2BD2 =26,由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】(1)連接 AD.如圖 1,設(shè)/BDO% Z ADC= 3,貝叱 CAB=Z BDC=a,點(diǎn)C為弧ABD中點(diǎn)，Ac =Cd ,/ ADC=Z DAC= 3,DAB= r a,. AB 為。O

11、 直徑，/ADB=90； a + 3 =p0.° 3 =90-° a, / ABD=90 二 / DAB=90 ,(3- a) ,ZABD=2a,/ABD=2/BDC;圖1圖？(2) CH，AB,Z ACE+Z CAB=Z ADC+Z BDC=90°, Z CAB=Z CDB,Z ACE=Z ADC, / CAE=Z ADC,/ ACE=Z CAE, . A&CE；(3)如圖 2,連接 OC,ZCOB=2ZCAB, Z ABD=2Z BDC, Z BDC=Z CAB, . / COB=/ABD,。"c"OH OC 1 Z OHC=Z A

12、DB=90 ；AOCHAABD, ，BD AB 2,. OH=5,BD=10, . AB= JaD2_BD 2 =26,，AO=13,，AH=18,人ah. AHEAADB, ADAE18 AE,即=AB24 26AE=39 ,DE=-.22【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出 輔助線是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在 4ABP中,C是BP邊上一點(diǎn)，/PAO/PBA。是4ABC的外接圓，AD是。的 直徑，且交BP于點(diǎn)E.（1）求證：PA是。的切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作C。AD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng).【答案】（1）證

13、明見(jiàn)解析（2） 2 J3【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出 /ACD=90以及利用/PAC=/ PBA得出/ CAD+Z PAC=90進(jìn)而得出答案；（2）首先得出CA84BAC,進(jìn)而得出 ACAGAB,求出AC即可.試題解析：（1）連接CD,如圖，.AD是。O的直徑，/ ACD=90 ; / CAD+Z D=90 ； / PAG / PBA, / D=Z PBA, / CAD+Z PAC=90 ；即 / PAD=90°, PAX AD, .PA是。O的切線；6.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對(duì)角線AC為。的直徑，過(guò)點(diǎn) C作AC的垂線交AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)

14、，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5應(yīng)，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=900,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長(zhǎng)，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進(jìn) 而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 °.點(diǎn) F 為 CE的中點(diǎn)，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . /

15、 FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB,AB = ?C，BC=AB=5& 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD： DE=4： 1, .AD=4x, AE=5x,.1-100=4x?5x,，x=n, .DE=V5.ac2=ad?ae 是點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形

16、的判定與性質(zhì)，正確得出解題的關(guān)鍵.7.如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M的坐標(biāo)為（3, - 1）,點(diǎn)A的坐 標(biāo)為（-2, J3）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3, 0）,點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn) D在點(diǎn)A的左側(cè).（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；（2）若。M沿x軸向右以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，同時(shí)菱形 ABCD沿x軸向右以每 秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)菱形移動(dòng)的時(shí)間為 t （秒），當(dāng)。M與BC相切，且切點(diǎn)為 BC的中點(diǎn)時(shí)，連接BD,求：t的值；ZMBD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn) M與BD所在的直線的距離為 1時(shí)，求t的值.【答案】(1)8； ( 2)7 ;1050 ; ( 3)t=6

17、- J3 或 6+【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理求菱形的邊長(zhǎng)為2,（2）如圖2,先根據(jù)坐標(biāo)求 EF的長(zhǎng)，由所以可得周長(zhǎng)為EE FE=EF=7,8；列式得：3t-2 t=7,可得t的值； 先求/EBA=60：則/FBA=120：再得ZMBF=45 °,相加可得：/ MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;（3）分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖 5由距離為1可知：BD為。M的切線，由BC是。M的切線，得/MBE=30。，列式為3t+J3=2t+6,解出即可；第二種情況：如圖 6,同理可得t的值.詳解：（1）如圖1 ,過(guò)A作AE± B

18、C于E.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-2, J3）,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（-3, 0） , ，AE=J3, BE=3-2=1,-AB= Tae'_Be7 = 7（ V3）2 12 =2 .四邊形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周長(zhǎng)=2 X 4=8(2) 如圖2, OM與x軸的切點(diǎn)為F, BC的中點(diǎn)為E. M (3, - 1) ,F (3, 0). BC=2,且 E為 BC的中點(diǎn)，E ( - 4, 0) , . EF=7,即 EEFE=EF, ，3t2t=7, t=7；由(1)可知：BE=1 , AE=J3,AE 3，一tanZ EBA=火=百，/. Z EBA=6

19、0 ,如圖 4, . / FBA=120 .BE 1.四邊形 ABCD是菱形， . / FBD=1 / FBA=工 120 =60 °. 22 BC是 O M 的切線，MF ± BC. F是BC的中點(diǎn)，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;(3)連接BM,過(guò)M作MNXBD,垂足為N,作MELBC于E,分兩種情況: 第一種情況：如圖5.四邊形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/CBD=60：，/NBE=60°. 點(diǎn)M與BD所在的直線白距離為 1,MN

20、=1,BD為。M的切線.BC是 O M 的切線，/ MBE=30 °. . ME=1,EB=3,3t+73=2t+6, t=6一百；第二種情況：如圖 6./DBC=60 °,Z NBE=120 °. .MN=1,，BD 為。M 的切線. 四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °, 點(diǎn)M與BD所在的直線白距離為 1, BC是 O M 的切線，/ MBE=60 °. ME=MN=1,. .RBEM 中,MEtan60 =,BE13Eb=)tan 603，3t=2t+6+G3t=6+_i ；3M與BD所在的直線的距離為綜上所述：當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是四邊

21、形和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和判定、特殊的 三角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，此類問(wèn)題比較復(fù)雜，弄清動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 方向、速度、時(shí)間和路程的關(guān)系，并與方程相結(jié)合，找等量關(guān)系，求出時(shí)間t的值.8.如圖，。是4ABC的內(nèi)心，BO的延長(zhǎng)線和 4ABC的外接圓相交于 D,連結(jié)DC DAOA OC,四邊形OADC為平行四邊形.(1)求證：BOeCDA.(2)若AB=2,求陰影部分的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)43.39【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)得 /1 = /2, Z3=Z4,則AD=CD,于是可判斷四邊形 OADC為菱形，則BD垂直平分 AC, /4=/5=

22、/6,易得 OA=OC /2=/3,所以O(shè)B=OC,可判斷點(diǎn) O 為4ABC的外心，則可判斷 4ABC為等邊三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0 ,BC=AC再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OB則根據(jù) “SA院明BOXACDA；(2)作OH, AB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到， 。一一1/ BOH=30 根據(jù)垂徑定理得到 BH=AH=-AB=1,再利用含30度的直角二角形二邊的關(guān)系2得到OH=eBH=Y3, OB=2OH=2/3,然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用333S陰影部

23、分=S扇形AOB-S AOB進(jìn)行計(jì)算即可.詳解：(1)證明：:。是4ABC的內(nèi)心，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CQ/ 4=/ 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AG/3=/4=/6, / ABC=/ACB .AB=AC .ABC是等邊三角形 .O是4ABC的內(nèi)心也是外心 .OA=OB=OC設(shè)E為BD與AC的交點(diǎn)，BE垂直平分 AC在 RtOCE中，CE=-AC=-AB=1, Z OCE=30°,22OA=OB=OC=2.3 / AOC=120 ,°SK 影=Sjg aobSVAOB1

24、20,2.3,21c3=()-2360323=4389點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，： 角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心 就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計(jì)9.如圖，A是以BC為直徑的。上一點(diǎn)，AD± BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作。的切線，與 CA 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E, G是AD的中點(diǎn)，連結(jié) CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AF與CB的 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P.(1)求證：BF=EF：(2)求證：PA是。的切線；(3)若FG=BF,且。O的半徑長(zhǎng)為3 J2

25、,求BD的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） 2J2【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到對(duì)應(yīng)線段成比例，再結(jié)合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，得到/FA8/EBO結(jié)合BE是圓的切線，得到 PA! OA,從而得到PA是圓O的切線；（3）點(diǎn)F作FHI± AD于點(diǎn)H,根據(jù)前兩問(wèn)的結(jié)論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出BD的長(zhǎng)度.詳解：證明：（1）.BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，EBXBC；又 ; AD± BC,.AD/ BE.BFCDGC AFECAGAC,BF

26、 CFEF CF,=DG CGAG CGBF EF-=，DG AG.G是AD的中點(diǎn)，DG=AG,BF=EF；（2）連接 AO, AB.,. BC是圓O的直徑，/ BAC=90 ；由(1)得：在RtBAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點(diǎn), .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BAO,. BE是圓O的切線，/ EBO=90 ； / FBA+ZABO=90 ； / FABZ BAO=90 ；即 / FAO=90°, PAX OA, .PA是圓O的切線；(3)過(guò)點(diǎn)F作FH,AD于點(diǎn)H,E1 . BDXAD, FHXAD,2 .FH/ BC,由(2),知/FB

27、A=/BAF, BF=AF.3 BF=FG,4 .AF=FG,5 .AFG是等腰三角形6 .FHXAD,.AH=GH,7 DG=AG, DG=2HG.即照1DG 2. FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四邊形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.,.HFGADCG,FH HG 1CD DG 2BDCD2.32.15,O的半徑長(zhǎng)為3J2，BC=6 2 ，,BD=1bC =2 版.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì).結(jié)合已 知條件準(zhǔn)確對(duì)圖形進(jìn)行分析并應(yīng)用相應(yīng)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10.如圖，在R9ABC中，c 90 , AD平分/B

28、AC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,。經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BC是。的切線;兀和根號(hào))(2)若OO的半徑是2cm, E是弧AD的中點(diǎn)，求陰影部分的面積(結(jié)果保留2【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) J33(1)連接OD,只要證明OD/AC即可解決問(wèn)題；(2)連接OE, OE交AD于K.只要證明4AOE是等邊三角形即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)連接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, . . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD

29、于K.AE DE , OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE 是等邊三角形， ZAOE=60°, .SwS 扇形 oae- Sa aoe 602- 22 V3 .360 本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.11.在直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A坐標(biāo)為(2, 0),以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作 等邊AOAB, C為x軸正半軸上的一個(gè)

30、動(dòng)點(diǎn)(OC>2),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi) 作等邊 BCD),直線DA交y軸于E點(diǎn).(1)求證：OB8 4ABD(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變,請(qǐng)求出直 線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn) F,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線 EF/直線BO;這時(shí) O F和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說(shuō)明.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y展x273 ;(3) C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(4,0)處時(shí)，直線EF/直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由見(jiàn)解析. 【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB, BC=B

31、D, / OBA=/ DBC,等號(hào)兩邊都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據(jù)“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,°由等邊 ABCD,得至U / BAO=60 ,°根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到 /OAE=60 在直角三角形 OAE中，由OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan60的定義求出OE的長(zhǎng)，確定出 點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線 AE的方程，把點(diǎn) A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到 A

32、為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可 求出C的坐標(biāo)；相切理由是由 F為等邊三角形 BC邊的中點(diǎn)，根據(jù) 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形， .OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=60 ,° / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即/ OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB AB OBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=/ BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/

33、OAE=60 ,° 又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 °=OE, OA則OE=2有，點(diǎn) E坐標(biāo)為(0, -2 J3),設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得:0 2kb2石b '解得,k 、,3b 2也'直線AE的解析式為：y芯x 273.（3） C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（4,0）處時(shí)，直線EF/直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，又F為BC中點(diǎn)， .A 為 OC 中點(diǎn)，又 AO=2,貝U OC=4, 當(dāng)C的坐標(biāo)為（4

34、, 0）時(shí)，EF/ OB,這時(shí)直線BO與。F相切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，.-.DF± BC,又 EF/ OB, FBI OB, 直線BO與OF相切，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān) 系.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵 .12.如圖1,等腰直角 ABC中，/ACB=90°, AC=BC 過(guò)點(diǎn)A, C的圓交 AB于點(diǎn)D,交BC 于點(diǎn)E,連結(jié)DE(1)若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長(zhǎng)(2)如圖2,連結(jié)CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD(3)如圖3,在圓上取點(diǎn)

35、P使得/PCD=Z BCD (點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合)，連結(jié) PD,且點(diǎn)D是4CPF的內(nèi)心請(qǐng)你畫出CPF說(shuō)明畫圖過(guò)程并求 /CDF的度數(shù) 設(shè) PC=a, PF=b), PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF 的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).Bl02圖 31【答案】(1)DE=1,CE=3&；(2)tan/BCD=； (3) 135。；2.4【解析】【分析】(1)由A、G E、D四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)為突破口求解；(2)找/ BDF與/ ODA為對(duì)頂角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形，從而得到/EDC+Z ODA=45,即可證明/CDF=135；(3)過(guò)點(diǎn)D

36、做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過(guò)點(diǎn) P做e D切線PF 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,結(jié)合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形 三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，得出 /CPF=90,然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出八八1-1八口 一Ar ，DCF CFD PCF PFC 45 ,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求22解；證明/DCF+/ CFD=45 ,從而證明/CPF是直角，再求證四邊形 PKDN是正方形，最后出c值，即求出4CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為 絲 c.【詳解】(1)由圖可知:以4PCF面積不變性建立等量關(guān)系，結(jié)合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字

37、母a, b求設(shè)BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得:ac在 4DCB 中過(guò)點(diǎn) D 作 DMLBE,設(shè) BE=y,則 DM=-y,又.咨3BC=3+y,Sa acB=SAcd+Sdcb,+bc2=ab2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, x2+x2=82,解得：x=4 2 O O內(nèi)接四邊形，/ ACD=90 ,°/ ADE=90 ；/ EDB=90 ,° / B=45 ； .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又 DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BECE=4后近3無(wú)(2)如圖所示：1 -14.24,210-32 2解得：y=2或y=-11 （舍去

38、）.EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MOD,tanZ BCD=tanZ MOD,在 RtDCM 中，tanZ MOD= DM =1OM 41 . tan Z BCD=.4(3)如下圖所示：過(guò)點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過(guò)點(diǎn) P做eD切線PF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. Z CAD=45 ; / CPD土 CAD=45 ,°又.點(diǎn)D是 CPF的內(nèi)心,.PD、CD DF都是角平分線,/ FPD=Z CPD =45 ,/ PCD=Z DCF, / PFD=Z CFD/ CPF=90 °11PCF PFC 4522 / PC% PFC=9

39、0DCF CFD/ CDF=180-Z DCF-/ CFD F=90+45 = 135 ； 即/CDF的度數(shù)為135。.如下圖所示過(guò)點(diǎn)D分別作 DK，PC, DMCF, DNPF于直線PC, CF和PF于點(diǎn)K, M , N三點(diǎn), 設(shè)APCF內(nèi)切圓的半徑為 m,則DN=m, 點(diǎn)D是4PCF的內(nèi)心,.DM=DN=DK,又. / DCF-+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCF+Z CFD=45 ,°又 DC, DF分別是/ PCF和/ PFC的角平分線,/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, °/ CP

40、F=90. °在四邊形 PKDN 中，Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四邊形PKDN是矩形,又 KD=ND,四邊形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 , / BDM= / KDP,/ KDP=45 .° . PC=a, PF=b, PD=c,pn=pk=：Ic2NF=b 近c(diǎn), CK=a2又,. CK=CM, FM=FN, CF=CM+FM, CF=a b 72c，又 S PCF=S PDF-S PDC-Skx DCF,1,121 .21 , 不、2ab _a c b c (a b V2 c) xc, 2222222化簡(jiǎn)彳導(dǎo):ab=V2 a b

41、c c2 ( i ),又,若(a- 、2 c) ( b-、2 c) =8化簡(jiǎn)彳導(dǎo):ab 72c a b2c2 8 ( n ),將（i ）代入（n ）得：c2=8,解得：c 2J2,或c272 （舍去），m=c 2V2 2, 22即 CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為 2.【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓的內(nèi)心，圓心角、圓周角，同?。ɑ虻然。┲g的相互關(guān)系，同時(shí)也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函數(shù)值相等和三角形的面積公式，正方形，對(duì)頂角和整式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)；難點(diǎn)是作輔助線和利用等式求4CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).13.如圖，點(diǎn) A, B, C, D, E在。上，AB± CB于點(diǎn) B,

42、tanD=3, BC=2, H 為 CE延長(zhǎng)線 上一點(diǎn)，且 AH=J10, CH 572 .（1）求證：AH是。的切線；（2）若點(diǎn)D是弧CE的中點(diǎn)，且 AD交CE于點(diǎn)F,求證：HF=HA;（3）在（2）的條件下，求EF的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3） J10 J2【解析】【分析】（1）連接AC,由AB± CB可知AC是。的直徑，由圓周角定理可得 / C=/ D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得：A= 40,從而可得AC2+AH2=CH2,根據(jù)勾股定理的逆定理可得AC± AH,問(wèn)題得證；（2）連接DE BE,由弦切角

43、定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中點(diǎn)，可得/CED=/ EBD,再由圓周角定理可得 /ABE=/ ADE,結(jié)合三角形的外角即可證明/HAF=/ AFH,從而可證得 AH=HF;（3）由切割線定理可得 EH=J2，由（2）可知AF=FH=VT0 ,從而可得 EF=FHF EH=J10-,2 -【詳解】（1）如圖1所示：連接AC. .ABXCB, .AC是。O的直徑， / C=Z D,tanC=3, .AB=3BC=3 X 2=6 在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC?=40, 又.力112=10, CH2=50,.-.ac2+ah2=ch2, .ACH為直角三角形， A

44、CXAH, .AH是圓O的切線；(2)如圖2所示：連接DE、BE,.AH是圓O的切線，/ ABD=Z HAD,:口是CE的中點(diǎn)，Cd ?d，/ CED=Z EBD,又 Z ABE=Z ADE, / ABE+Z EBD=Z ADE+Z CED,/ ABD=Z AFE,/ HAF=Z AFH, .AH=HF;（3）由切割線定理可知：AH2=EH?CH,即（而）2=5，2eH,解得：EH= , 2 , 由（2）可知 AF=FH=A0 ,.EF=FH- EH=710-& .【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，解答主要應(yīng)用了切線的判定定理、弦切角定理、切 割線定理、圓周角定理、勾股定理、勾股定理的

45、逆定理、三角形的外角的性質(zhì)等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵14.如圖，已知Rt ABC中，ACB 90°，AC 8 , AB 10,點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)(不與C重合)，以AD為直徑作eO,過(guò)C作CE切eO于E,交AB于F.(1)若e O的半徑為2,求線段ACE的長(zhǎng);(2)若AF BF ,求e O的半徑；(3)如圖，若CE CB，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) G ,試求G、E兩點(diǎn)之間的距 離.【答案】(1)CE 4J2； (2)eO的半徑為3； (3)G、E兩點(diǎn)之間的距離為9.6.【解析】【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出 /OEC=90,然后根據(jù)勾股定理即可求得;(2)由勾股定理求得 BC,然后通過(guò)證得 OE84BCA,得到OE =OC ,即!=8-r ,解BC BA 6 10得即可；(3)證得D和M重合，E和F重合后，通過(guò)證得 GBEABC, GB 型 即AB AC12 GE 一 一，解得即可.108(1)如圖，連結(jié)OE .CE切e