巧求最值問題八種方法

1、巧求最值問題八種方法如何求“最值 問題求最大值與最小值是中學數(shù)學常見的一種題型，在數(shù)學競賽中作為一個靚點大量存在，解這類題有一定的難度和技巧，所以不少同學為之感嘆，這里向大家介紹一些求最值問題的方法與技巧。一、 利用配方求最值例 1 ：若 X,y 是實數(shù)，則x2 xy y2 3x 3y 1999 的最 小值是分析 ： 由于是二次多項式，難以直接用完全平方公式，所以用配方法來解更為簡捷。原八式=1(x2 2xy y2)1(x2 6x 9)1 (y26y 9)1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990顯然有 (x-y) 2 0, (x-3)2 0, (y-3)2 0,所以 當 x

2、-y=0,x-3=0,y-3=0 時 ， 得 x=y=3 時 , 代數(shù)式的值最小，最小是1990 ;例2,設x為實數(shù)，求y=x2x_L 3的最小值。 x分析：由于此函數(shù)只有一個未知數(shù)，容易想到配方法，但要注意只有一個完全平方式完不成，因 此要考慮用兩個平方完全平方式，并使兩個完個平方式中的x取值相同。由于y=x2 2x i x - 2 i= （x i） 2 （依斗）2 i,要求 y 的最小 xJx值，必須有X-仁0,且眉士 0,解得x=1,Vx于是當x=1時，y=x2x - 3的最小值是-1。 x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代數(shù)式 二的最小值x 4y分析：已知兩數(shù)積為定值，

3、求兩數(shù)平方和的最小值，可考慮用不等式的性質來解此題，4 414=（3） （27）-r-=1x 4y x 2（xy所以：4角的最小值是1 2 x 4y三、構造方程求最值例 4:已知實數(shù) a、b、c 滿足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值.分析：此例字母較多，由已知可聯(lián)想到用根與系數(shù)的關系，構造方程來解。解：設c為最大者，由已知可知，c0,得：a+b=2-c, ab= 4,則 a、b 可以看作 x2（2 c） x 4 0 的兩cc根，因為a、b是實數(shù)，所以(2 c) 24人0,即c 7c3 4c2 4c 16 0 , (c 2)( c 2)(c 4) 0，得 c 2 或

4、 c 4,因為 C 是 最大者，所以 C 的最小值是4.四、構造圖形求最值例5：使X2 4 (8-x) 2-16取最小值的實數(shù)X的值 為分析：用一般方法很難求出代數(shù)式的最值，由于 X24(8 XL16二心一 0廠(02)28廠(0 4) 2，于是可構造圖形，轉化為：在x軸上求一點c (x,0),使它到 兩點A (0, 2)和B (8, 4)的距離*和CA+CB最小，利用對稱可求出C點坐標，這樣，通過構造圖形使問1/題迎刃而解。S /_ 1 JL L11- zg解：x24. (8 x) L16卜，2 2 - 2 2=(x 0)(0 2) (x 8)(0 4).于是構造如圖所示。作 A (0, 2

5、)關于x軸的對稱點A(0,-2),令直線A B的解析式為y=kx+b,0k b8k b82解得k8所以y 3x 2,令y=0,得X 3即C點的坐標是(8,0),所以當x 8時，一4寸(8 x)2l6有最小值，3 3 五、利用判別式求最值2 _例6:求y=3X*的最小值 5x x 1解：去分母可以整理出關于x的一元二次方程，(y 6)x2 (2y i2)x (2y 10)0，因為 X 為實數(shù)，所以 0得:4 x 6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例7:已知a、b、c為整數(shù)，且 a+b=2006, c- a=2005 , ab,貝 V a+b+c 的最大值為 一-(2006 年全國初中數(shù)

6、學競賽試題)分析由題：由于是求三個未知數(shù)的最大值，設 法將 其轉化成一個未知數(shù)的形式，由題設可得b=2006-a,c=2005+a,將其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=2006,a、 b 均為整數(shù)，ab,所以 a 1002, 所以當a=1002時，a+b+c的最大值是4011+1002=5013.七、利用數(shù)的整除性求最值例&已知a、 b 為正整數(shù)，關于X 的方程X2 2ax b 0的兩個實數(shù)根X、X2,關于y的方程y2 2ay b 0兩個實數(shù)根為y?Y2, 且滿足X1 y X2 y22008,求 b 的最小值。(數(shù)學周報杯2008 年全國初中數(shù)學

7、競試題)分析與解：因為方程x2 2ax b 0 與y2 2ay b 0 有實根，所以有:(2a) 2 4b 0,即a2 b,由根與系數(shù)的關系，得：x1 x22a, x/ 2b ;y1 y2 2a,y y2 2a (x X 2) ( xj ( X 2) ym ( xj( X 2)解得 ：y1人或 y1X2y2X2y2人把yy的值分別代入，也x2 y22008X1( Xj X2( X2) 2008，或X1( 即(x1)2008 (不成立)x22x；2008 ，(X2 Xj(X2 X1)2008x1 x2 2a 0,x 1x2 b 0所以 X1 0,于是有2a -4a 2 4b 2008 即 a 一

8、 a2 b 1 502 2 251a,b 都是正整數(shù)，所以a 14 a 505 a 2a 25122或 2或 22或 2a2 b 5022a2 b 1 a2 b 251 2 a2 b 4分別解彳a 502a 2 a 2512或502 b502251 b251經(jīng)檢驗只有：a 502 a 251符合題意.2 , 2b 5021 b 2514所以b的最小值為： b 最小值 2512 4=62997八、利用函數(shù)的增減性求最值例9 :設右、乂 2是萬程2x2 4mx 2m2 3m 2 0的兩個實 根,當m為何值時，X： X22有最小值，并求這個最小值。解：因為方程2x2 4mx 2m 2 3m 2 0有實根，所以 =(4m)2 82m2 3m 2) 0，角軍彳得 m 24m2(2m2 3m 2) =2(m由根與系數(shù)的關系得 于x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2x-i x22m, X”|X22m2 3