圓的對(duì)稱性（二）

1、代寺鎮(zhèn)中初三數(shù)學(xué)備課組執(zhí)教人 李彬圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形. . 想一想想一想圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線圓心的直線, ,它有無(wú)數(shù)條對(duì)它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸稱軸. .O可利用可利用折疊的方法折疊的方法即可解決即可解決上述問(wèn)題上述問(wèn)題. .1. 1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對(duì)稱軸是什么它的對(duì)稱軸是什么? ?你能找到多少條對(duì)稱你能找到多少條對(duì)稱軸？軸？你是用什么方法解決上述問(wèn)題的你是用什么方法解決上述問(wèn)題的? ? 想一想想一想O2. 2.圓是中心對(duì)稱圖形嗎？圓是中心對(duì)稱圖形嗎？你又是用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題的你又是用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題的

2、? ?圓也是中心對(duì)稱圖形圓也是中心對(duì)稱圖形. .它的對(duì)稱中心就是圓心它的對(duì)稱中心就是圓心. .如果是如果是, ,它的對(duì)稱中心是什么它的對(duì)稱中心是什么? ?用用旋轉(zhuǎn)的方法旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個(gè)即可解決這個(gè)問(wèn)題問(wèn)題. .AM=BM,垂徑定理垂徑定理 如圖：如圖：AB是是 O的一條弦的一條弦.（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法伴說(shuō)說(shuō)你的想法. 探究活動(dòng)探究活動(dòng)1作直徑作直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.O（1）所作的圖是軸對(duì)稱圖形嗎）所作的圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸其對(duì)稱軸是什么是什么? 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)圖中有圖中有:ABCDM CD是直

3、徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC, AD=BD.操作探究垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。且平分弦所對(duì)的兩條弧。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論（1）過(guò)圓心）過(guò)圓心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧知二得三知二得三動(dòng)動(dòng)腦筋動(dòng)動(dòng)腦筋 已知：在已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CDAB，垂足為，垂足為E。求證：。求證：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD疊疊 合合 法法證明：連結(jié)證明：連結(jié)OA、OB，則，則OAOB。 垂直于弦

4、垂直于弦AB的直徑的直徑CD所在的直所在的直線既是等腰三角形線既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸又的對(duì)稱軸又是是 O的對(duì)稱軸。的對(duì)稱軸。 當(dāng)把圓沿著直徑當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)重點(diǎn)重合，合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分別分別和和BC、BD重合。重合。 AEBE，ACBC，ADBD垂徑定理垂徑定理三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧. 提示提示: 垂徑定理是圓垂徑定理是圓中一個(gè)重要的中一個(gè)重要的結(jié)論結(jié)論,三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化要相互轉(zhuǎn)化,形形成整體成

5、整體,才能運(yùn)才能運(yùn)用自如用自如. 記一記記一記 OABCDM如圖如圖 CD是直徑是直徑, CDAB。AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂徑定理的推論垂徑定理的推論 AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由你的想法和理由. 探究活動(dòng)探究活動(dòng)2過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直徑作直徑CD.O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么?發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)圖中有圖中有:CD CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC, AD=BD. MAB平分弦平分弦（不是直徑不是直徑）

6、的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦分弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧. 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相那么這兩條弦所夾的弧相等嗎等嗎? 提示提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況: 垂徑定理的推論垂徑定理的推論OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè) 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 練一練練一練駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1、判斷：、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條并且平分弦所對(duì)的兩條弧弧.

7、（ ）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧一條弧. （ ）經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧. （ ） 3.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。你認(rèn)為你認(rèn)為AC和和BD有什么關(guān)系？為什么？有什么關(guān)系？為什么？證明：相等。理由：證明：相等。理由： 過(guò)過(guò)

8、O作作OEAB，垂足為，垂足為E， AEBE，CEDE。 AECEBEDE ACBD.ACDBOE2.2.在半徑為在半徑為5 5的的OO中，弦中，弦AB=8AB=8，則則O O到到ABAB的距離的距離= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。 OABP0.83mm注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，過(guò)圓心作弦注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，過(guò)圓心作弦的垂線，是一種常用的輔助線添法的垂線，是一種常用的輔助線添法CDABE4. 4.已知：已知：AB作法：作法： 連結(jié)連結(jié)AB.作作AB的垂直平分線的垂直平分線 CD，交弧，交弧AB于點(diǎn)于點(diǎn)E.點(diǎn)點(diǎn)E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。求作：求作：AB的

9、中點(diǎn)的中點(diǎn)你能你能破鏡重破鏡重圓圓嗎？嗎？ABACmnO 1.作弦作弦ABABACAC及它們的垂直平分線及它們的垂直平分線mmn n，交于，交于OO點(diǎn)；點(diǎn)； 2.以以O(shè)O為圓心，為圓心，OAOA為半徑作圓。為半徑作圓。你能你能破鏡重破鏡重圓圓嗎？嗎？ABACmnO 1.作弦作弦ABABACAC及它們的垂直平分線及它們的垂直平分線mmn n，交于，交于OO點(diǎn)；點(diǎn)； 2.以以O(shè)O為圓心，為圓心，OAOA為半徑作圓。為半徑作圓。 1300多年前多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱的橋拱是圓弧形是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為為 37.

10、4 m,拱高拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半求橋拱的半徑徑(精確到精確到0.1m). 例題解析例題解析OABCRD7.237.4趙州石拱橋趙州石拱橋 趙州石拱橋趙州石拱橋解：由題設(shè)得解：由題設(shè)得, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.OABCRD37.47.2垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示截面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最，求油的最大深度大深度. 做一做做一做BAOED 600ED 反思自我反思自我 想一想想一想, ,你的收獲和困惑有你的收獲和困惑有哪些哪些? ? 回顧與思考回顧與思考請(qǐng)你可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎請(qǐng)你可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎?1. 1.垂徑定理