不等式的證明策略

1、2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專(zhuān)題輔導(dǎo)十八難點(diǎn)18不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著 重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知 a> 0， b>0，且a+b=1.求證：（3+丄）（13+丄） 25.ab 4案例探究例1證明不等式11 143丄2篇（n N）命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生 觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬級(jí)題目知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù) n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用

2、數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤:這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從 n二k到n=k+1的過(guò)渡采用了放縮法;證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào) 性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.證法一：（1）當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;假設(shè)n二k（k 1）時(shí)，不等式成立，即1 +丄 丄 丄 2你 V2 J3Vk當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n N時(shí)，都有1+丄丄yP2 yf3另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法:證法二：

3、對(duì)任意k N，都有:證法三：設(shè)f(n)=2寸£ (1丄丄V2力那么對(duì)任意k N *都有： f (k+1) > f (k)因此，對(duì)任意 n N都有 f(n) >f(n 1) >> f (1)=1 >0,二1 i書(shū)韋2用例2求使仮<aJx y (x>0，y>0)恒成立的a的最小值.命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力, 屬于級(jí)題目.知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來(lái)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式

4、等求得最值錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將X、y 與 cos 0、sin 0 來(lái)對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令 丘=cos 0， Jy =sin 0 (0 v 0 v )，2這樣也得a> sin 0 +COS 0，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是：(1)縮小了 X、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“X、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù) a 滿足不等關(guān)系，a> f (X)，貝yamin二f(X)max；若 a< f (X)，貝yamaFf(X)min，利.還有三用這一基本

5、事實(shí)，可以較輕松地解決這一類(lèi)不等式中所含參數(shù)的值域問(wèn)題 角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得:2 2x+y+2 何 < a(x+y)，即 2 何 < (a1)( x+y), x, y>0,. x+y> 2何,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，中有等號(hào)成立.比較、得a的最小值滿足a2 1=1, a =2, a2 (因 a>0),二 a 的最小值是 JN解法二：設(shè)ux y 2何(1迥.y x y Y x y x yJx y x>0, y >0,A x+y>2莉(當(dāng) x=y 時(shí)“二”成立)，更< 1,更的

6、最大值是1.x yx y從而可知，u的最大值為/n 42 ,又由已知，得a>u,.a的最小值為42 .解法三： y> 0,原不等式可化為卜+1冬a , y V y設(shè) 4 二tan 0 ,0 (0 ,).Vy2 tan 0 +1 < a Jtan21 ；即tan 0 +K asec 0 a> sin 0 +cos 0=J2sin(B+；),4又 sin( 0 + )的最大值為4由式可知a的最小值為42.1(此時(shí) 0=).4錦囊妙計(jì)1. 不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形

7、的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一 個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，幵擴(kuò)視野2. 不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、 判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法 時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要 有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查 .有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚,可以考慮反證法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他

8、否定詞的命題，適宜用反證證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)1.( )已知 x、2.( )設(shè)正數(shù) a、殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練、填空題y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且空勺=1, x+y的最小x y值為b、c、d 滿足 a+d二b+c，且 | a- d| < |b c|，貝U ad 與be的大小關(guān)系是3.( )若 m< n， p<q，且(pm)( pn) <0，(q m)( q n) <0，貝U m、 n、P、q的大小順序是、解答題4.( )已知 a, b, c 為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1.

9、求證：a2+b2心(2) d3F2寸3F2 < 65.( )已知 X, y, z R 且 x+y+z=1, x2+y2+z2=-，證明：x, y, z 0,3:6.（ ）證明下列不等式:(1)若 x, y, z R, a, b, c 氏，則山x2 ac a 2 y-bz2> 2(xy+yz+zx)c若 X, y, z R,且 x+y+z二xyz,則 a > 2(x y zx7.( )已知 i , m1 1）y zn是正整數(shù)，且1V i < mr< n.(1)證明：n'Am V rfiAn ；證明：(1 + n)n>(1 + n)m338.( )若 a

10、>0, b>0, a +b =2，求證：a+b<2, ab< 1.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)證法一：（分析綜合法）2 2 2 2欲證原式，即證 4( ab) +4(a +b) 25ab+4> 0,即證 4( ab) 33(ab)+8 >0,即證abw 或ab8.4/ a> 0, b>0, a+b=1,A ab>8 不可能成立/ 1=a+b> 2臨,A ab<丄，從而得證. 4證法二：（均值代換法）設(shè) a=1 +t 1, b=1+t2.22a+b=1, a> 0, b> 0,a 11 +t 2=0 ,|t1| < 1 ,

11、|t2| 2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0,即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立.2證法三：（比較法） a+b=1, a>0, b> 0,a a+b>ab , a ab<證法四：（綜合法）/ a+b=1, a>0, b> 0,二 a+b>2 Jab , a ab<證法五:（三角代換法） a> 0,22b>0, a+b=1，故令 a=sin a , b=cos a ,a (0 , i)(a 1)(basin4si n221,4 2 si n2211sin2 24即得(a 1)(b a1 、/ 212-)(sin )(cos bsin422cos 2sin co

12、s 24sin2 24 sin2 2-)cos(4 sin2 )2164sin2 216251b)25T4 13.(4 sin2 24sin2 2254殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練、1.解析：令a 2 c b - 一二COS 0 ,-二Sinx2x=asec2 20 , y=bcsc 0 , a x+y=asec0 +bcsc2 0 =a+b+atan2 0 +bcot2 0 >a+b+2Jatan2答案：a+b+ab2.解析：由 0 冬 |a d| < I b c|(a d) 2< (b c)2 (a+b)24adv (b+c)24bc/ a+d=b+c ,a 4ad< 4bc，故

13、ad> bc.答案：ad> bc3. 解析：把P、q看成變量，則 m< pvn, rkqv n.答案：mv pv qv n二、4.(1)證法一：a2+b2+c2 1=1(3 a2+3b2+3c2 1)33=13=13=133a2+3b2+3c2 (a+b+c)2 3a +3b +3c a b c 2ab 2ac 2bcC (a b) +(b c) +(c a)0 a +b +c3證法二： (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc< a2+b2 +c2+a2+b2+a2+c2+b2+c21（2.2 T I 廠證法三：'<+、使3以 a2+

14、b2+c2> a b c3 3(a2+b2+c2) > (a+b+c) 2=1 二 a2+b2+c2> 12 , 2 2 1 a+b +c > -3C= - + Y .3證法四：設(shè) a= - + a , b=- + 3 ,33/ a+b+c=1a + 3 + Y =0.2122,12,1c2,-a +b +c =( - + a ) +( + 3 ) +( 33=+z( a + 3+Y)+ a +3331 22 2、 = + a + 3 + y 32 , 2 2 1 a+b +c > -3原不等式成立.嚴(yán) 2） （3b 2） （3C 2） J3a 2 J3b 2 7

15、3c 2 < 3j3 V 6原不等式成立.5.證法一：由 x+y+z=1, x2+y2+z2=-,得 x2+y2+(1 x y) 2=-，整理成關(guān)于 y 的2 2元二次方程得:2y2 2(1 x)y+2x2 2x+l=0 , v y R,故02 4(1 X)2 4X2(2 X2 2x+-) >0,得 0x< - , /. x 232:3y=1 +yX ,乙二丄+乙，貝y x， +yX33)2+(" )23+yX +zX )同理可得y, z 0,證法二：設(shè)X= 1 +X X ,3d+x' r+c+yX3c2+y X于是-=2= -+x'3= -+x&#

16、39;3故X 2+y2< -9證法三：設(shè)32+z' 2+2(xX32 / 2、 1 / 2 +z > - +x32-3 ,- :, X 33z三數(shù)中若有負(fù)數(shù),X、y、0,+z'=0,+ (y z)2=i+jX-320, 2 :,同理 y,30,不妨設(shè) X<0,貝y x2>0,2 :31 2 2 2-=X +y +z >2(1 X)22z三數(shù)中若有最大者大于-,不妨設(shè)X > -,則-=x2+y2+z2 >332X23 2 -X2X > 2，矛盾.24 = 3x2-x+12 2 2 2 = -X(X 2)+! > 1 ；矛盾.2

17、322故 X、y、z 0, 2 3上式顯然成立，.原不等式得證x2+(y z)2=x +7.證明:(1)對(duì)于 1< i < m 且 Am=m (m- i+1),Ammm' m由于m< n對(duì)于整數(shù)k=1, 2,，i -1,Am，即 mnmn'Am(2)由二項(xiàng)式定理有:(1+m n=i+ci m+cn m+cn m,(1 + n) =1+C1m n+cmn 2+cm nm,Jq+？、qBC+q、e£>e+(q+e)qee 入 g (q+e)qee 入 9 憾毆卄V V c c(q+e)qeH(qeqe 2)(CH-e)入(qe Jq+F )(q+e

18、)Jq+FH2"Jq+F (ocq yce E -川坦35LMqe &監(jiān)gm監(jiān)(u寸代七-Ta寸1圧ECg04+壬m監(jiān)£ s 0E2 2-0A (z日)寸芝啞V護(hù)KIWkzE2 2J i elrn seej(q+e)(q+e )H(qiee )(q+e)Hq+eH3 G G G G B Bu寸代寸0Ac寸M -0Ac -oae m監(jiān)ocq -OAroqe uq e E 匡宦脛SOHU-KE Jx隼幘只q &怒-u坦肖dwq+ew 粵3 HE dwq+e rn監(jiān)ocq+e by(q+e二皿0 y (qe )(q+e)e H 二q+F)(q+e)qe£> 口(q+e)qe£>9 Jqee+qt£>8 Jqe?qte+“q+FHd J (q+e)整 E(u + L)AUW + L)gu 0+ +ZEQ+U V-y + +七 v+-.(u >JJ V VP 一UAUP七(a+b)3，所以 a+bw2,(下略)證法四：因?yàn)樨蜤 (乞上)32 22 2 2 2 2(a b)4a2 4b2 4ab a2 b2 2ab 3(a b)(a b)2q8 8 “ ,3.3.