專題一：等腰三角形的存在性問題

1、專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問題專題攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB=AC,BA= BC,CA = CB三種情況。已知腰長(兩定一動)：分別以兩腰的頂點為圓心，腰長為半徑畫圓；已知底邊(兩定一動：)畫底邊的垂直平分線。解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合， 可以使得解題又好又快。幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算。代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗。針對訓(xùn)練1、如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知點D在坐標為(3, 4),點P是x軸正半軸上的一個動點，如果 DOP是等腰三角形，求點 P的坐標。14 / 122、如圖，直線y=3x

2、+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C (3,0).(1)、求A B的坐標； (2)、求拋物線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.3、如圖，在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8,動點P以2個單位/秒的速度從點 A出發(fā)，沿AC向點C移 動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點 C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點 時則停止運動。在 P、Q兩點移動過程中，當 PQC為等腰三角形時，求 t的值。4、如圖，直線y=2x+ 2與x軸交于點A,與y軸交于點B,點P是

3、x軸正半軸上的一個動點，直線 PQ 與直線AB垂直，交y軸于點Q,如果 APQ是等腰三角形，求點 P的坐標.7、如圖，點A在x軸上，OA=4,將線段(1)求點B的坐標；(2)求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點 求點P的坐標；若不存在，請說明理由.OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,5、如圖所示，矩形 ABCD中，AB=4 , BC=4 J3 ,點E是折線段重合)，點P是點A關(guān)于BE的對稱點.在點 E運動的過程中，使 PCB為等腰三角形的點 E的位置共有()個。A、2 B、3 C、4

4、D、56、如圖，在 ABC中，AB=AC=10, BC=16, DE = 4.動線段 DE (端點D從點B開始)沿BC以每秒1個單位長度的速度向點 C運動，當端點E到達點C時運動停止.過點E作EF/AC交AB于點F (當點E 與點C重合時，EF與CA重合)，聯(lián)結(jié)DF ,設(shè)運動的時間為t秒(t>0).(1)直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；(2)在這個運動過程中， DEF能否為等腰三角形？若能，請求出 t的值；若不能，請說明理由；(3)設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積.5. （11湖州24）如圖1,已知正方形 OABC的邊長為2,頂點A、C分

5、別在x、y軸的正半軸上，M是BC 的中點.P（0,m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點 D.（1）求點D的坐標（用含 m的代數(shù)式表示）；（2）當 APD是等腰三角形時，求 m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與 x軸正半軸交于點 巳過點O作直線ME的垂線，垂足為H （如圖2）.當 點P從。向C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點 H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）.圖1圖26. (10南通27)如圖，在矩形 ABCD中，AB=m ( m是大于0的常數(shù))，BC=8, E為線段BC上的動點(不與B、C重合).連結(jié)DE,作EFXDE, EF與射線BA交于點F,設(shè)CE=x,

6、 BF=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若m=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？12(3)右y 一，要使 DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少?兩年模擬7. (2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題)如圖，在 ABC中，AB = AC=10, BC=16, DE = 4.動線段 DE (端點D從點B開始)沿 BC以每秒1 個單位長度的速度向點 C運動，當端點E到達點C時運動停止.過點 E作EF/AC交AB于點F (當點E 與點C重合時，EF與CA重合)，聯(lián)結(jié)DF ,設(shè)運動的時間為t秒(t>0).(1)直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；(2)在這個運動過程

7、中， DEF能否為等腰三角形？若能，請求出 t的值；若不能，請說明理由；(3)設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積.析式；線交y軸于點使 EFG為等8. (寧波七中2012屆保送生推薦考試第 26題)如圖，在平面直角坐標系 xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB = 3, BC= 2/3 ,直線y =、，3x 2<3經(jīng)過點C,交y軸于點G.(1)點C、D的坐標分別是C (), D ()；(2)求頂點在直線 y=J3x 2、6上且經(jīng)過點C、D的拋物線的解(3)將(2)中的拋物線沿直線 y=J3x 2V3平移，平移后的拋物F,頂點為點E (頂點在y軸右側(cè)

8、).平移后是否存在這樣的拋物線， 腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.自編原創(chuàng)9. 如圖，已知 ABC中，AB=AC=6, BC= 8,點D是BC邊上的一個動點，點 E在AC邊上，/ ADE =/ B.設(shè)BD的長為x, CE的長為y.(1)當D為BC的中點時，求CE的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍;(3)如果 ADE為等腰三角形，求 x的值.備用圖參考答案：1.因為 D (3, 4),所以 OD = 5, COS DOP如圖1,當PD=PO時，作PELOD于E.OE 3 5 一 “ 在 RtOPE 中，cos DOP - OE ,所以 OO

9、OP 52此時點P的坐標為(25 0) . 6如圖2,當OP=OD=5時，點P的坐標為(5, 0).25"6P的坐標為(6, 0).如圖3,當DO=DP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點在 APQC 中，CQ=t, CP=10-2t.如圖1,當CP CQ時，t 10 2t,解得t1 一 _如圖2,當QP QC時，過點Q作QMLAC于M,則CM= PC 5 t 2在 RHQMC 中，cos QCM 4 CM "t,解得 t 25(秒).5 CQ t91 一 1 如圖3,當PQ PC時，過點P作PNBC于N,則CN= -QC t .221t在 RtPNC 中，cos PCN

10、2，解得 t 80(秒).5 CP 10 2t21綜上所述，當t為10秒、25秒、80秒時，APQC為等腰三角形.39213.由 y=2x+ 2 得，A(1, 0), B(0, 2),所以 OA=1, OB=2. 如圖，由 AOBAQOP 得，OP : OQ = OB : OA=2 ： 1 .設(shè)點Q的坐標為(0, m),那么點P的坐標為(2m, 0).4 , 一.所以符合條件的點 P不存3因此 AP2=(2m+1)2, AQ2=m2+1, PQ2= m2+(2m)2= 5m2.當 AP = AQ 時，AP2 = AQ2,解方程(2m+ 1)2=m2+1,得 m 0或 m在.2 非.所以 P(4

11、 245,0)當 pa= PQ 時，PA2=pq2,解方程(2m + 1)2=5m2,得 m1當 QA=QP 時，QA2=QP2,解萬程 m2+1=5m2,得 m 5 .所以 P(1,0) .4. (12 臨沂 26)(1)如圖，過點 B作BCy軸，垂足為C.在 RtOBC 中，/ BOC=30° , OB = 4,所以 BC=2, OC 2書.所以點B的坐標為(2, 2畫.(2)因為拋物線與x軸交于0、A(4, 0),設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-4),代入點B( 2, 2雜),2屈 2a ( 6).解得a .6所以拋物線的解析式為 y 75x(X 4) 旦x a3x. 663(

12、3)拋物線的對稱軸是直線 x=2,設(shè)點P的坐標為(2, y).當 OP=OB=4時，OP2=16.所以 4+y2=16.解得 y2J3 .當P在(2, 2，3)時，B、0、P三點共線.當 BP=B0=4 時，BP2=16.所以42(y273)216 .解得y1y22百.當 PB=PO 時，PB2=PO2.所以 42 (y 273)2 22 y2 .解得 y 2石.綜合、，點 P的坐標為(2, 2百).第4題圖5. (11 湖州 24) (1)因為 PC/DB,所以 CP EM MC 1 .因此 PM = DM, CP=BD=2 m.所以 AD BD DM MB=4m.于是彳#到點 D的坐標為(

13、2, 4-m).(2)在 AAPD 中，AD2(4m)2,AP2m24, PD 2 (2PM)24 4(2 m)2 .當AP = AD時，(4 m)2 m2 4,解得m 3 (如圖1).2當 PA= PD 時，m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4 (如圖2)或m 4 (不合題意，舍去).3當 DA=DP 時，(4 m)2 4 4(2 m)2.解得m 2 (如圖3)或m 2 (不合題意，舍去).3綜上所述，當 APD為等腰三角形時，m的值為3, f或2.233第5題圖1第5題圖2第5題圖3另解第(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖1,當AP=AD時，AM垂直平

14、分 PD,那么 PCMsMBA.所以 FC MB 1,因此 pc 1, m 3.CMBA 222如圖2,當PA=PD時，P在AD的垂直平分線上.所以DA = 2PO.因此4 m 2m .解得m 3(3)點H所經(jīng)過的路徑長為 直 .思路是這樣的：4如圖4,在RtAOHM中，斜邊OM為定值，因此以 OM為直徑的。G經(jīng)過點H,也就是說點 H在圓弧上 運動.運動過的圓心角怎么確定呢？如圖 5, P與。重合時，是點H運動的起點，/ COH = 45° , / CGH = 90° .第5題圖4第5題圖6. （10 南通 27）（1）因為/ EDC與/ FEB都是/ DEC的余角，所以/

15、 EDC = / FEB.又因為/ C=/B=90° ,所以 DCEsebf.EB 口. m 8 x一，即-BF x y 1c 8整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y X2 x.m m1 212(2)如圖 1,當 m=8 時，y -x x -(x 4)88因此當x=4時，y取得最大值為2.若y 12,那么x2 8x .整理，得x2 m m m m解得x= 2或x= 6.要使 DEF為等腰三角形，只存在 ED = EF的情況.因為 DCEs EBF,所以 CE=BF,即 x = y.2.8x12 0.將x = y = 2代入y12 m 122）；將x = y = 6代入ym=6 （如圖得57

16、. (1) BE t 4, EF 5(t 4) .8(2) ADEF 中，/ DEF=/C 是確定的.如圖1 ,當 DE=DF時,AB BC105(t 4)8解得t1615625如圖2,當 ED=EF時,54 -(t 4) -8解得125如圖FE ACDE BC5(t,即 844)10解得t163,當 FD = FE時,(3) 如圖第7題圖1MN > FDE4,運動結(jié)束，0 ,即D與B重合.第7題圖3的中位線，MN/DE, MN = 2, MN掃過的形狀是平行四邊形.N在AC的中點，N到BC的距離為3;如圖5,運動開始,D與B重合，M到BC的距離為所以平行四邊形的高為3 - 9,面積為9

17、 2 9.4 442,328. (1) C(4,2$3), D(1,273).(2)頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為5，代入直線y= J3x 2<3 ,得y2設(shè)拋物線的解析式為y a(x 5)2也，代入點C(4,2 73),可得a 2邑. 223所以物線的解析式為y 2_3（x 5）2 _3. 322（3）由頂點E在直線y= 3Xx 273上，可知點G的坐標為（0, 2e），直線與y軸正半軸的夾角為 30° ,即/ EGF = 30° .設(shè)點E的坐標為（m,J3m 2向，那么EG=2m,平移后的拋物線為 y 考（x m）2 J3m 2/3 .所以點F的坐標為（0,

18、短m2擲m 2我. 3如圖 1,當 GE=GF 時，yF-yG=GE=2m,所以"3m2 J3m 2m. 3解得m=0或石 3. m = 0時頂點E在y軸上，不符合題意. 2此時拋物線的解析式為 y 22 （x而3）2 3 7E. 322如圖2,當EF=EG時，F(xiàn)G = 2Oxe,所以至3m2 J3m 2J3m.解得m= 0或2 . 32此時拋物線的解析式為 y 2,2（x 3）2史. 322當頂點E在y軸右側(cè)時，/ FEG為鈍角，因此不存在 FE=FG的情況.第8題圖1第8題圖289. (1)當 D 為 BC 的中點時，ADXBC, DEXAC, CE 一 .3(2)如圖 1 ,由于/ ADC =/ ADE + / 1, / A