【數(shù)學(xué)】高考試題分類匯編：文科立體幾何答案版

1、全國高考數(shù)學(xué)試題匯編文科立體幾何（答案分析版）2015 安徽卷一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（D. 80（如圖所示）,A. 48B. 32 + 8/17C. 48+8/17C【解析】由三視圖可知本題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱所以該直四棱柱的表面積為S=2X2X（2 + 4）X4 + 4X4 + 2X4+2X y + 16 X 4 = 48 + 8/l7.2015 北京卷某四棱錐的三視圖如圖 1 1所示，該四棱錐的表面積是 （）A. 32由題意可知，該四棱錐是一個底面邊長為4,高為2的正四棱錐，所以其表面積為 4X4 + 4X； X 4 X2 ACD的中位線

2、, . EF = 2AC =25=啦.20i5 浙江卷若直線l不平行于平面 a,且l? a,則（）A. a內(nèi)的所有直線與l異面B . a內(nèi)不存在與l平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與l平行D . a內(nèi)的直線與l都相交B【解析】 在a內(nèi)存在直線與l相交，所以A不正確；若a內(nèi)存在直線與l平行，又l? a,則有l(wèi) / a,與題設(shè)相矛盾，B正確，C不正確；在a內(nèi)不過l與a交點(diǎn)的直線與l 異面，D不正確.2015 廣東卷正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有（）A. 20 B . 15 C. 12 D. 10D 【解析】 一個下底面5個

3、點(diǎn)，每個下底面的點(diǎn)對于5個上底面的點(diǎn)，滿足條件的對角線有2條，所以共有5X2 = 10條.2015 四川卷l1, l2, l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A .l 1 l2 ,l2 l3?l1 / l3B .l 1 _L 12 ,l 2 / l3 ?l1 _L l3C.l1 / l2 /l3? l1 ,l2, l3 共面D .l 1 , l2,l3 共點(diǎn)？ D l2,l3 共面B【解析】 對于A ,直線l1與l3可能異面；對于 C ,直線l1、l2、l3可能構(gòu)成三棱柱三條側(cè)棱所在直線而不共面；對于D ,直線l1、l2、l3相交于同一個點(diǎn)時不一定共面.所以選B.2015 湖北卷設(shè)

4、球的體積為 V1,它的內(nèi)接正方體的體積為 V2,下列說法中最合適的是（）A. V1比V2大約多一半B. V1比V2大約多兩倍半C. V1比V2大約多一倍D. V1比V2大約多一倍半4D【解析】 設(shè)球的半徑為 R,則V1 = ：tR3.設(shè)正萬體的邊長為 a,則V2= a3.又因?yàn)?R3=J3a,所以 Vi =3 % -2a 3 =Tta3, 5 5= -2- % -1 a3 1.7 a3.2015 遼寧卷已知球的直徑 SC=4, A、B是該球球面上的兩點(diǎn)， AB =2, / ASC = / BSC = 45 ,則棱錐S ABC的體積為（CZ DC. D.C【解析】 如圖16,由于SC是球的直徑，

5、所以/ SAC = Z SBC = 90 ,又/ ASC=/ BSC = 45 ,所以 SAC、 BSC為等腰直角三角形， 取SC中點(diǎn)D ,連接AD、BD .1由此得 SCXAD, SCXBD ,即 SCL平面 ABD .所以 Vs-abc = Vs-abd + Vc-abd =-$ 3ABD , SC .由于在等腰直角三角形4 SAC中/ASC=45 , SC = 4,所以AD =2.同理BD = 2.又AB =2,所以 ABD為正三角形，所以 Vsabc= Saabd SC = X-X 22 sin60 X4 = 也,所以選 C.33 232015 課標(biāo)全國卷已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓

6、錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一3個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的16,則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 .12- 【解析】 如圖，設(shè)球的半徑為 R,圓錐底面半徑為r,則球面面積為4 ttR ,圓錐底面 3面積為7,c 12 c3 3 c 1由題意 Tir2=- tR2,所以 r = *R,所以 OOi =，OA2-OiA2 = A /R2-4R2 =2R,所以 SOi=R+-R=3R,SiOi=R-R = -R,2222RS1O12 1所以 SO1 = 3R=3.22015 四川卷如圖13,半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時, 球的表面積與該圓柱的側(cè)

7、面積之差是 .圖1 3大綱文數(shù)15.G832兀 【解析】 本題主要考查球的性質(zhì)、球與圓柱的組合體、均值不等式的應(yīng)用.如圖1h o o4為軸截面，令圓柱的高為 h,底面半徑為r,側(cè)面積為S,球半徑R=4,則-2+ r2 =R2,即 h = 2#2 r2.因?yàn)?S = 2 fh = 4 fR2-r2 = 4 疝二 R2 r2/ r2+R2-r2 22 haDx 上一LQ-x、,蛆 廠-0 4 N 2 2= 2 tR2,取等號時，內(nèi)接圓枉底面半徑為1-R,圖為U2R,，S球S 圓柱=4 R2 2 R2 = 2 tR2= 32 兀.2015 全國卷已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E為CiDi

8、的中點(diǎn)，則異面直線 AE與 BC所成角的余弦值為 .2- 【解析】 取AiBi的中點(diǎn)F,連EF ,則EF / BC, / AEF是異面直線 AE與BC所成33_5的角，設(shè)正萬體的棱長為 a,可得AE=2a, AF =/a,在 AEF中，運(yùn)用余弦定理得 cos /AEF =2,即異面直線 AE與BC所成角的余弦值為 2.3320i5 安徽卷如圖i4, ABEDFC 為多面體，平面 ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn) O在線段 AD 上，OA=i , OD=2, OAB , OAC , ODE , ODF 都是正三角形.(i)證明直線BC/EF;(2)求棱錐F-OBED的體積.圖1 4【解答】(1)證

9、明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn)，由于 OAB與 ODE都是正三1角形，OA=1, OD=2,所以 OB 觸2DE, OG=OD = 2.1同理，設(shè)G是線段DA與FC延長線的交點(diǎn)，有 OC觸2DF, OG = OD = 2 ,又由于G和G都在線段 DA的延長線上，所以 G與G重合.在 GED和4GFD中，由OB統(tǒng)；DE和OC觸；DF ,可知B和C分別是 GE和GF的中點(diǎn).所以BC是4GEF的中位線，故 BC / EF.3(2)由 OB = 1 , OE = 2, / EOB = 60 ,知 Sa eob = ?而4OED是邊長為2的正三角形，故 Saoed = 3.所以SOBED =S A

10、EOB + S AOED =過點(diǎn)F作FQXDG ,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED，平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=、/3,所以Vf-OBED = 3FQ S 四邊形OBED =2015 北京卷圖1 4如圖14,在四面體 PABC中，PCXAB, PALBC,點(diǎn)D, E, F, G分別是棱 AP, AC,BC, PB的中點(diǎn).(1)求證：DE /平面BCP;(2)求證：四邊形 DEFG為矩形；是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.課標(biāo)文數(shù)17.G4 2015 北京卷【解答】(1)證明：因?yàn)镈, E分別為AP, AC的中點(diǎn),圖1 5所以 DE / PC

11、.又因?yàn)镈E?平面BCP, PC?平面BCP ,所以DE /平面BCP.(2)因?yàn)镈、E、F、G分別為AP、AC、BC、PB的中點(diǎn)，所以 DE / PC / FG ,DG / AB / EF ,所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)镻CXAB,所以DE XDG ,所以平行四邊形 DEFG為矩形.存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF , EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).1由(2)知，DFAEG = Q,且 QD = QE = QF = QG =2EG.分別取PC、AB的中點(diǎn) M, N,連接 ME、EN、NG、MG、MN.與(2)同理，可證四邊形 MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為 EG的中點(diǎn)Q,且 QM =

12、QN = EG.2所以Q為滿足條件的點(diǎn).2015 江蘇卷如圖1 2 ,在四B隹P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB =AD ,Z BAD = 60 , E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).圖1 2求證：（1）直線EF/平面PCD；（2）平面BEF，平面PAD .課標(biāo)數(shù)學(xué)16.G4 , G52015 江蘇卷本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系, 考查空間想象能力和推理論證能力.【解答】 證明：（1）在4PAD中，因?yàn)镋, F分別為AP, AD的中點(diǎn)，所以 EF/PD.又因?yàn)镋F?平面PCD , PD?平面PCD,圖1 3所以直線EF /平面PCD .(2)連ZBD ,因?yàn)锳B =

13、 AD, Z BAD = 60 ,所以 ABD為正三角形，因?yàn)?F是AD的 中點(diǎn)，所以BF AD.因?yàn)槠矫鍼AD，平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BF，平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF ,所以平面 BEF，平面PAD.圖1 #1 2015 課標(biāo)全國卷如圖18,四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，/DAB = 60 , AB =2AD , PD 上底面 ABCD .證明：PAXBD ;(2)設(shè)PD=AD = 1,求棱錐D-PBC的高.課標(biāo)文數(shù)18.G5 , G11 2015 課標(biāo)全國卷【解答】(1)證明：因?yàn)? DAB =60 ,

14、 AB= 2AD,由余弦定理得 BD=、/3AD,從而 BD2 + AD2= AB2,故 BD AD.又PD，底面 ABCD ,可得BD PD,所以BD，平面PAD ,故PAXBD .(2)如圖，作 DEXPB,垂足為E.已知PD,底面 ABCD ,貝U PD BC.由知 BD AD ,又 BC / AD ,所以 BC BD.故 BC，平面 PBD , BC DE.則DE，平面PBC .由題設(shè)知 PD = 1,貝U BD = J3, PB = 2.根據(jù) DE - PB=PD - BD 得 DE即棱錐D PBC的高為坐2015 陜西卷如圖 1 8 ,在 ABC 中，/ ABC = 45 , /

15、BAC = 90 , AD 是 BC上的高，沿 AD把4ABD折起，使/ BDC = 90 (1)證明：平面 ADB，平面BDC ;(2)若BD = 1 ,求三棱錐 D ABC的表面積.圖1 8課標(biāo)文數(shù)16.G5 2015 陜西卷【解答】(1)二,折起前AD是BC邊上的高,. 當(dāng) 4ABD 折起后，AD DC , AD DB .又 DB ADC = D.AD，平面 BDC .AD 平面ABD ,，平面ABD，平面BDC .(2)由(1)知，DAXDB , DB DC , DC DA ,DB = DA = DC = 1. AB = BC = CA = D從而 Sa dab = Sa dbc =

16、Sa dca = _X 1 X 1 =.22SAABC = 2xSx 啦x sin60 =23.1，表面積S = 2X3 +2015 江蘇卷如圖1 2,在四棱錐 PABCD中，平面PAD，平面 ABCD , AB=AD,Z BAD = 60 , E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).求證：（1）直線EF/平面PCD;（2）平面BEF，平面PAD .課標(biāo)數(shù)學(xué)16.G4 , G52015 江蘇卷本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系, 考查空間想象能力和推理論證能力.【解答】 證明：（1）在4PAD中，因?yàn)镋, F分別為AP, AD的中點(diǎn)，所以 EF/PD.又因?yàn)镋F?平面PCD , PD?平面PC

17、D,圖1 3所以直線EF /平面PCD .F是AD的(2)連ZBD ,因?yàn)锳B = AD, / BAD = 60 ,所以 ABD為正三角形，因?yàn)?中點(diǎn)，所以BF XAD.因?yàn)槠矫鍼AD，平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BF，平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF ,所以平面 BEF，平面PAD.2015 遼寧卷如圖18,四邊形 ABCD為正方形，QA，平面 ABCD , PD/QA, QA = AB = 1PD.2證明：PQ，平面 DCQ;(2)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐 P-DCQ的體積的比值.課標(biāo)文數(shù)18.G7 2015 遼寧卷【解答】(

18、1)由條件知PDAQ為直角梯形.因?yàn)镼A，平面ABCD ,所以平面 PDAQ，平面ABCD ,交線為 AD .又四邊形 ABCD為正方形,DC AD ,所以DC，平面PDAQ ,可得PQ DC.2在直角梯形 PDAQ中可得DQ=PQ=j-PD,則PQXQD.所以PQL平面DCQ .(2)設(shè) AB = a.1 3由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐 Q-ABCD的體積Vi=a3.3由(1)知PQ為棱錐P-DCQ的高，而PQ =、/2a, DCQ的面積為乎a2,1 。所以棱錐P-DCQ的體積V2 = 1a3.3故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐 P-DCQ的體積的比值為1.1 2015 湖南卷

19、如圖15,在圓錐 PO中，已知PO=2, OO的直徑AB = 2,點(diǎn)C 在AB上，且/ CAB = 30 , D為AC的中點(diǎn).(1)證明：AC，平面POD;(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.圖1 5課標(biāo)文數(shù)19.G5 , G11 2015 湖南卷【解答】(1)因?yàn)镺A = OC , D是AC的中點(diǎn)，所以 ACXOD.又PO,底面。O, AC?底面。O,所以ACXPO.而OD , PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC，平面POD.(2)由(1)知，AC，平面POD,又AC?平面PAC,所以平面POD，平面PAC.在平面POD中，過O作OHLPD于H,則OH，平面PAC.圖1 6連

20、結(jié)CH ,則CH是OC在平面PAC上的射影, 所以/ OCH是直線OC和平面PAC所成的角.在 RtAODA中，OD = OA sin30在 RtAPOD中,OH =在 RtAOHC 中，sin Z OCH =OHOC 3故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為圖1 72015 浙江卷如圖17,在三棱錐 PABC中，AB=AC, D為BC的中點(diǎn)，POX平面ABC ,垂足O落在線段AD上.(1)證明：APXBC ;(2)已知 BC=8, PO=4, AO = 3, OD = 2 ,求二面角 B AP C 的大小.課標(biāo)文數(shù)20.G11 2015 浙江卷【解答】(1)證明：由AB=AC, D是BC中點(diǎn)

21、，得ADXBC ,又 PO,平面 ABC ,得 POXBC ,因?yàn)镻OnAD=O,所以BC，平面PAD,故BCXAP.(2)如圖，在平面 APB內(nèi)作BM，PA于M,連CM.因?yàn)锽CXPA,得PAL平面BMC ,所以APXCM.故/ BMC為二面角 B AP C的平面角.在 Rt AADB 中,AB2 = AD2+BD2=41 ,得 AB=y4T在 RtAPOD 中,PD2=PO2 + OD2,在 RtAPDB 中,PB2=PD2+ BD2,所以 PB2 = PO2 + OD2 + BD2 = 36 ,得 PB = 6.在 Rt POA 中，PA2=AO2+OP2 = 25 ,得 PA=5.PA

22、2 + PB2-AB2 1又3 /BPA = -2PA PB一 ，一 2 2 從而 sin / BPA = 3故 BM = PBsin / BPA =4也.同理 CM =4啦.因?yàn)?BM2 + MC2=BC2,所以/ BMC = 90 ,即二面角B APC的大小為90 圖1 52015 福建卷如圖1 5,四棱錐 P-ABCD中，PAL底面 ABCD , ABXAD，點(diǎn)E 在線段AD上，且CE / AB.(1)求證：CEL平面PAD;(2)若 PA = AB=1, AD =3, CD=/2, Z CDA = 45 ,求四棱錐 P-ABCD 的體積.課標(biāo)文數(shù)20.G12 2015 福建卷【解答】(

23、1)證明：因?yàn)?PAL平面ABCD, CE?平面ABCD ,圖1 7所以PAXCE.因?yàn)?ABAD, CE /AB,所以CELAD.又 PAA AD=A,所以CE，平面PAD.(2)由(1)可知 CEXAD.在 RtAECD 中，DE = CD cos45 =1, CE = CD sin45=1.又因?yàn)?AB = CE = 1, AB / CE ,所以四邊形ABCE為矩形.115所以 S 四邊形ABCD = S矩形ABCE + SaECD =AB - AE+2CE - DE = 1 X2+&X1 x 1 =.又 PAL平面 ABCD , PA = 1 ,所以 V 四棱錐 P ABCD = S

24、四邊形 ABCD , PA=匚XX 1 = .33 26兀22015 江西卷如圖17,在ABC中，/B = 2, AB=BC = 2, P為AB邊上一動點(diǎn)，PD / BC交AC于點(diǎn)D,現(xiàn)將 PDA沿PD翻折至 PDA ,使平面PDA ，平面PBCD .(1)當(dāng)棱錐A PBCD的體積最大時，求 PA的長；(2)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求證：A BXDE.圖1 7課標(biāo)文數(shù)18.G12 2015 江西卷【解答】(1)令PA=x(0x0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) xe -J3, 2 時，f (x)0, f(x)單調(diào)遞減,所以，當(dāng)x = 3卜時，f(x)取得最大值,即：當(dāng)Va， PBCD最大時

25、，PA=(2)證明：設(shè)F為A B的中點(diǎn)，連接 PF, FE.則有EF觸BC , PD觸BC ,所以EF統(tǒng)PD,四邊形DEFP為平行四邊形，所以 DE / PF,又 A P= PB,所以 PFA, B,故 DEA, B.2015 山東卷如圖1 5,在四棱臺 ABCD -AiBiCiDi中，DiD,平面ABCD ,底面 ABCD 是平行四邊形， AB = 2AD , AD =AiBi, / BAD = 60 .(1)證明：AAiXBD ;(2)證明：CCi /平面 AiBD .課標(biāo)文數(shù)19.G12 2015 山東卷【解答】證明：證法因?yàn)镈iD，平面 ABCD，且BD?平面ABCD ,圖1 6所以

26、DiDXBD.又因?yàn)?AB = 2AD, / BAD = 60 ,在4ABD中，由余弦定理得BD2 = AD2 + AB2 2AD ABcos60 =3AD2.所以 AD2+BD2= AB2,所以AD BD .又 AD ADiD = D,所以BD，平面 ADD 1A1.又 AAi?平面 ADD 1A1,所以 AAiXBD .證法二： 因?yàn)镈iD,平面 ABCD，且BD?平面ABCD ,圖1 7所以 BD DiD,取AB的中點(diǎn)G,連接DG.在4ABD 中，由 AB =2AD 得 AG = AD ,又/ BAD = 60 ,所以 ADG為等邊三角形.因此GD = GB.故/ DBG =/ GDB

27、,又/ AGD = 60 ,所以/ GDB = 30 ,故/ ADB =/ADG+/GDB = 60 + 30 = 90所以BD XAD.又 AD ADiD = D,所以BD，平面 ADD 1A1,又 AAi?平面 ADD 1A1,所以 AA11BD .(2)連接 AC, A1C1. 設(shè) ACABD =E,連接 EAi.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，1所以 EC=&AC,由棱臺定義及 AB = 2AD = 2AiBi知，AiCi / EC 且 AiCi = EC,所以四邊形 AiECCi為平行四邊形.因此 CCi II EAi,又因?yàn)镋Ai?平面AiBD , CCi?平面AiBD ,所以CC

28、i /平面AiBD .20i5 四川卷如圖 i5,在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，/ BAC= 90 , AB=AC = AAi=i ,延長AiCi至點(diǎn)P,使CiP= AiCi,連結(jié)AP交棱CCi于點(diǎn)D.(i)求證：PBi/平面 BDAi;(2)求二面角A AiD B的平面角的余弦值.圖1 52015 四川卷【解答】 解法一：連ZABi與BAi交于點(diǎn)O,連結(jié)OD. CiD /AAi, AiCi= CiP,. AD =PD ,又 AO = BiO, .OD / PBi.圖1 6又 OD?平面 BDAi, PBi?平面 BDA i,.PBi /平面 BDA i.(2)過A作AEXDAi于點(diǎn)E,

29、連結(jié)BE. BA CA, BAAAi,且 AAi n AC = A,由三垂線定理可知 BEXDAi.BEA為二面角A-AiD-B的平面角.在 RtAiCiD 中，AiD=J 2 2+12 =*，又 SAAAiD=-x 1 xi =-xxAE, 222. .ae” 5在 Rt BAE 中，BE =-25:355，cos /BEA =” =c. BE 3故二面角A AiD B的平面角的余弦值為 -. 320i5 天津卷如圖i 7,在四棱錐 P-ABCD中=45 , AD=AC=i, O 為 AC 的中點(diǎn)，PO,平面(i)證明PB /平面ACM ;(2)證明AD，平面PAC;工底面ABCD為平行四邊

30、形，/ADCABCD , PO=2, M 為 PD 的中點(diǎn).BA，平面 AAiCiC.(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.圖1 7課標(biāo)文數(shù)17.G12 2015 天津卷圖1 8【解答】（1）證明：連接BD , MO.在平行四邊形 ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又 M為PD的中點(diǎn)，所以 PB/ MO.因?yàn)镻B?平面ACM , MO?平面ACM ,所以PB /平面ACM .（2）證明：因?yàn)? ADC= 45 ,且 AD=AC=1 ,所以/ DAC = 90 ,即 AD，AC.又PO，平面 ABCD , AD?平面 ABCD ,所以 PO,AD .而 AC n PO = O,所以 AD，平面 PAC.1取DO中點(diǎn)N,連接MN , AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以 MN / PO,且MN =2PO =1.由POL平面 ABCD ,得MN，平面 ABCD ,所以/ MAN是直線AM與平面ABCD所1成的角.在 Rt DAO中，AD = 1, AO = 2,所以DO =_521 .從而 AN = 2DO =.在RtANM 中,MN 14 5tan / MAN =-=, AN 55 即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為520.（本小題滿分13分）九章算術(shù)中，將底面為長方形且