關(guān)于一道數(shù)學(xué)高考題的多角度研究22

1、關(guān)于一道數(shù)學(xué)高考題的多角度研究 2013年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第15題主要考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積、三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力。滿分14分。屬于簡(jiǎn)單題中檔題，學(xué)生因?yàn)槿狈`活運(yùn)用能力，出現(xiàn)比較多的丟分。據(jù)查本題滿分14分，平均得8.4分。事實(shí)上對(duì)本題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由焱卣?、探?作為一個(gè)專題教學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)美的欣賞，不僅可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生變題解答能力，同時(shí)對(duì)新課改背景下的探究學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)也是非常必要的。一、 問(wèn)題引入原題：15、（本小題滿分14分）已知向量。（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值。（1）證明：（方法一）由，得：，即

2、。 又，所以，故。（方法二）由，得：，即：，化簡(jiǎn)，得：，所以。（2） 可得： （方法一）由（1）得：，又，故。代入（2），得：，又，所以。（方法二）,得：，又，所以。故有：， 代入（1）式：化簡(jiǎn),得:. 從而.（方法三）兩式和差化積，得： 可得：，又，所以。代入（4）式，可得：，又，。以上聯(lián)立，解得：.二、 延伸與拓展設(shè)計(jì)（1） 能否得到為什么？答：不可能，因?yàn)椋?）若，求證：的夾角。解：由，得：，即。 又，所以，所以的夾角是。三、 探究若，求的值；解：由，得：，即。 又，所以，因?yàn)椋?，所以。但總體而言，“第15題”構(gòu)思精巧，形式新穎，對(duì)學(xué)生智慧與能力的檢測(cè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對(duì)知識(shí)點(diǎn)本身的考查，這

3、對(duì)今后中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教什么，怎么教，起到了積極的導(dǎo)向作用1、要注重?cái)?shù)學(xué)“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)只注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能（簡(jiǎn)稱“雙基”）是不夠的，還必須加上“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”所謂“基本思想”，主要是指演繹與歸納，這應(yīng)當(dāng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，它是高于那些針對(duì)具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想函數(shù)與方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等的更上位的思想所謂“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中親身經(jīng)歷并逐步積累起來(lái)的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)新課程強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，而創(chuàng)新能力依賴于三個(gè)方面：知識(shí)的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)的積累，三個(gè)方面同等重要數(shù)學(xué)作為一門思維訓(xùn)練的學(xué)科，

4、主要訓(xùn)練學(xué)生的兩個(gè)能力演繹能力和歸納能力應(yīng)該看到，現(xiàn)在的教育本質(zhì)上是一種知識(shí)的教育，考察的是該教的內(nèi)容是否教了，教了的知識(shí)是否掌握了這樣的教育是不全面的教育應(yīng)當(dāng)以生為本，不僅要考慮學(xué)生知識(shí)的掌握，還要考慮身心的發(fā)展、思維的發(fā)展和能力的提升2、培養(yǎng)學(xué)生“智慧”比教學(xué)生“知識(shí)”更重要“第15題”如果單憑數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)法解決的，它更需要的是智慧因?yàn)橹R(shí)本質(zhì)上只是一種結(jié)果，可能是一種經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，也可能是一種思考的結(jié)果而智慧并不表現(xiàn)在這兩種結(jié)果之上，而是表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)和思考的過(guò)程之中，如對(duì)問(wèn)題的處理、對(duì)困難的化解以及對(duì)實(shí)質(zhì)的思考由此可見(jiàn)，智慧是融知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思維為一體的，是人們實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新的心理機(jī)制新課標(biāo)之所以倡

5、導(dǎo)三維教學(xué)目標(biāo)，正是考慮到了智慧形成的基本規(guī)律，即知識(shí)是可以傳遞的，而智慧是無(wú)法傳遞的，智慧的形成并不完全依賴于知識(shí)的多少，而是依賴于知識(shí)的運(yùn)用、依賴于個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)一個(gè)人的智慧的發(fā)展，需要到實(shí)際操作中去感悟、去積累、去反思因此，要培養(yǎng)學(xué)生“智慧”，務(wù)必重視學(xué)生的“做中學(xué)”，正如富蘭克林所說(shuō)，聽(tīng)到的我會(huì)忘記，看到的我會(huì)記住，參與的我能理解并會(huì)運(yùn)用 3、要大膽地去掉一些形式化的東西，適度淡化技巧訓(xùn)練數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)分強(qiáng)調(diào)形式化不利于學(xué)生思考，如把一些思考的過(guò)程編成“口訣”或“順口溜”讓學(xué)生去記憶，這種方法會(huì)把數(shù)學(xué)搞歪掉，就會(huì)走向“八股”還應(yīng)該明確技巧不等于技能，現(xiàn)在我們的教學(xué)中反復(fù)訓(xùn)練的是技巧而不是技能技巧是對(duì)一個(gè)具體例子或很窄的范圍才適用的方法，而技能是可以遷移的，可以舉一反三過(guò)多地訓(xùn)練技巧，會(huì)增加學(xué)生記憶的負(fù)擔(dān)，對(duì)學(xué)生智慧的發(fā)展沒(méi)多大益處熟能生“巧”走過(guò)了頭會(huì)熟能生“笨” 是否可以這樣理解，“第15題”給我們傳遞了這樣一個(gè)信息，假如中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中能在繼續(xù)保持傳統(tǒng)的“雙基