線性方程組解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、 線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 第四章第四章 向量向量4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)內(nèi)內(nèi) 容容復復 習習1. 向量組的向量組的極大無關(guān)組：極大無關(guān)組：向量組向量組 12,s 的線性的線性無關(guān)無關(guān)部分組部分組 12,riii 是極大無關(guān)組的充分必要條件：是極大無關(guān)組的充分必要條件： 12,s 12,.riii 12,srr 稱稱為向量組為向量組的秩。的秩。12,s 2. 齊次線性方程組解的有關(guān)結(jié)論：齊次線性方程組解的有關(guān)結(jié)論：齊次線性方程組齊次線性方程組齊次線性方程組齊次線性方程組11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxax

2、ax若記若記11211112222212,nnnmnmmaaaaaaAaaa 12nxxXx則等價的向量形式為：則等價的向量形式為：21210nnxxx則等價的矩陣形式為：則等價的矩陣形式為：00m nAXAX(1) 一定有零解一定有零解 ；(2) 只有零解只有零解(3) 有非零解有非零解(4) 有非零解等價于有無窮多解。有非零解等價于有無窮多解。( )r An21,n線性無關(guān)線性無關(guān) ；( )r An21,n線性相關(guān)線性相關(guān) ；【下面討論有無窮多解時，解的結(jié)構(gòu)下面討論有無窮多解時，解的結(jié)構(gòu)】4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)1解向量解向量一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組

3、解的結(jié)構(gòu)為為解向量解向量. 例如，方程組例如，方程組 1234123412340253207730 xxxxxxxxxxxx一般稱齊次線性方程組一般稱齊次線性方程組AX0的解：的解： 12nxxXx有解：有解：12342 75 710 xxxx稱稱12 75 710為為解向量解向量。再如再如, 設(shè)設(shè) 12,ijijm nn ssAaBb 且且AB0，則矩陣，則矩陣B的的列向量組列向量組為齊次線性方程為齊次線性方程組組AX0的的解向量解向量，即，即A i=0 (i=1,2,，s).2齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì):. .齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 若若

4、 1 1 , , 2 2為齊次線性方程組為齊次線性方程組AX0 0的的解，則解，則 1 1 2 2證明證明12120AAA120,0AA所以，所以， 1 1 2 2 也是也是AX0的解。的解。 性質(zhì)性質(zhì)2 若若 為齊次線性方程組為齊次線性方程組AX0 0的解，的解，k k為實數(shù)，則為實數(shù)，則 k k 也是也是AX0的解。的解。也是也是AX0的解。的解。證明證明0,A()()0A kk A 若列向量若列向量 12,s 是線性方程組是線性方程組AX=0的解，的解，12,sk kk為任何實數(shù)，則線性組合為任何實數(shù)，則線性組合 2121sskkk也是方程組也是方程組AX=0的解。的解。 齊次線性方程組

5、齊次線性方程組AX=0只只有零解有零解，則解向，則解向量組只量組只有零向量有零向量。 齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0有有非零解非零解 , 則解向則解向量組含有量組含有無窮多無窮多個解向量個解向量. 線性方程組線性方程組AX0有非零解時，能否由有限有非零解時，能否由有限個解組合出全部解？個解組合出全部解？下面介紹基礎(chǔ)解系。 3基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的齊次線性方程組的解向量組解向量組的的極大無關(guān)組極大無關(guān)組稱稱為該方程組的基礎(chǔ)解系。為該方程組的基礎(chǔ)解系。定義定義1 齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0的有限個解向量的有限個解向量 滿足滿足: 12,r 12,r (1) 線性無關(guān)線性無

6、關(guān);(2)AX=0的的任意一個解任意一個解均可由均可由 12,r 線性表示線性表示. 則稱則稱 12,r 是齊次線性方程組是齊次線性方程組AX0 的一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. 通解，全部解通解，全部解 方程組方程組AX=0一個一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系即為解向量組即為解向量組的一個的一個極大無關(guān)組極大無關(guān)組，方程組，方程組AX=0基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系不是不是唯一唯一的。的。 當齊次線性方程組當齊次線性方程組只有零解只有零解時時, 該方程組該方程組沒有基礎(chǔ)解系。沒有基礎(chǔ)解系。 而當一個齊次線性方程組有非零解時而當一個齊次線性方程組有非零解時, 是否是否一定有基礎(chǔ)解系呢一定有基礎(chǔ)解系呢? 如果有的話如果有的話,

7、怎樣去求它的基怎樣去求它的基礎(chǔ)解系礎(chǔ)解系? 下面的定理給出了齊次線性方程組有非零解下面的定理給出了齊次線性方程組有非零解時，基礎(chǔ)解系的時，基礎(chǔ)解系的存在性；定理的證明也給出了求存在性；定理的證明也給出了求基礎(chǔ)解系的方法?；A(chǔ)解系的方法。一般，一般，A的線性無關(guān)的的線性無關(guān)的r列不一定在前面。列不一定在前面。 定理定理 1 對齊次線性方程組對齊次線性方程組 0m nAX, 如果如果 ( )r Arn，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存nr個。其中個。其中n是方程組所含未知量的個數(shù)是方程組所含未知量的個數(shù).證明證明 因因 為為 r Arn, 不妨設(shè)不妨設(shè)A的的前前r列列線線 性

8、無關(guān)，對矩陣性無關(guān)，對矩陣A施以初等施以初等行行變換，變換，在，且每個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)均等于在，且每個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)均等于可化為可化為:112121122212100010001000000000000rrnnrrrrrrrnbbAbbbbbbb 行于是，齊次線性方程于是，齊次線性方程AX=0組的同解方程組為組的同解方程組為11212122111211222122rrrrrrnnrrnnrrrrnrrnrrxxxb xxxxb xxbbbbbxxb xb12121211112122122212rrnrrnrrnrrrrrrrrnnrrnxxxxxxxxbbbxbbbxbx

9、xbb 其中其中 12,rrnxxx是自由未知量，分別取是自由未知量，分別取120000,01011rrnxxx 得到方程組得到方程組AX=0的的 nr個解：個解： nr個個nr維維 向量。向量。11122211121222,000001110rrrrrrrrnnnrnrbbbbbbbbb現(xiàn)證現(xiàn)證 12,n r 就是線性方程組就是線性方程組AX=0的的一個基礎(chǔ)解系。一個基礎(chǔ)解系。 100,010,001由于由于nr個個nr 維向量維向量線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以, nr個個n 維向量維向量: （1）證明）證明 12,n r 線性無關(guān)線性無關(guān)。12,nr也線性無關(guān)也線性無關(guān)。(2) 證方程組證

10、方程組AX=0的任一解的任一解 都可表為都可表為 12,n r 的線性組合的線性組合: 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組AX0的任意一個解為的任意一個解為:112rrnccccc，代入同解方程組得：，代入同解方程組得：222211112121111212122221111rrrrrn nrrn nrrrrrrrrrrnrrnnnrcbbb ccbbb ccbbb ccccccccccccc 即即 21111212212221222111rrn nrrn nrrrrrrrnrrrnrrcccccbbb ccbcbb ccbbcb c 寫成向量形式即為：寫成向量形式即為：1111212121100

11、00001rrnrrrrrnrnrbbbbbccbc1 12 2,rrn n rccc綜合綜合(1)(2)知，知， 12,n r 是齊次線性方是齊次線性方程組是程組是AX=0的一個基礎(chǔ)解系。的一個基礎(chǔ)解系。 可以按照定理可以按照定理1的證明過程求出求齊次線的證明過程求出求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。性方程組的基礎(chǔ)解系。 的一個基礎(chǔ)解系，則的一個基礎(chǔ)解系，則AX=0的全部解可表示為：的全部解可表示為： 若已知若已知 12,n r 是線性方程組是線性方程組AX=01212,n rn rccc其中其中 12,n rc cc為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

12、與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解：解： 由由316420223530156860A1234512345123453642022353056860 xxxxxxxxxxxxxxx 行得相應(yīng)的同解方程組為：得相應(yīng)的同解方程組為： 行93100444375004440000001113452345931444375444xxxxxxxx 令自由未知量令自由未知量等于：等于：345,xxx123931444375444,100010001345xxx得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系： 所以，通解為所以，通解為 1 12233ccc123,.c c cR10010,0001 按消元解法，也可得基礎(chǔ)解系。按消元解法，也可

13、得基礎(chǔ)解系。得全部解為得全部解為令自由未知量令自由未知量 341235,xcccxx12211232214235931444375444xxxcccccxcxccc 123( ,)c c cR13452345931444375444xxxxxxxx 即即12211232214235931444375444xxxcccccxcxccc 12312345931444375444100010001xxxcccxx221331ccc123( ,)c c cR兩種解法類似兩種解法類似 對自由未知量取不同的值，可得不同的對自由未知量取不同的值，可得不同的基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系。345xxx1239313754

14、00,040004 40040,0004 13452345931444375444xxxxxxxx 令令得基礎(chǔ)系：得基礎(chǔ)系：(1) 求出通解后寫成向量形式找出基礎(chǔ)解系求出通解后寫成向量形式找出基礎(chǔ)解系; 求基礎(chǔ)解系的兩種方法求基礎(chǔ)解系的兩種方法: (2) 分別取自由變量為一組線性無關(guān)的向量分別取自由變量為一組線性無關(guān)的向量,代入代入同解方程組同解方程組求出基礎(chǔ)解系求出基礎(chǔ)解系. 基礎(chǔ)解系跟基礎(chǔ)解系跟自由未知量的選取自由未知量的選取有關(guān)有關(guān), 只要將只要將 自由未知量取為線性無關(guān)的向量組自由未知量取為線性無關(guān)的向量組, 所得即為一所得即為一 組基礎(chǔ)解系組基礎(chǔ)解系; 為簡單起見為簡單起見,自由未知

15、量經(jīng)常取為自由未知量經(jīng)常取為基基 本單位向量本單位向量, 或?qū)⒆杂晌粗咳榭梢韵シ帜富驅(qū)⒆杂晌粗咳榭梢韵シ帜?的向量的向量.注意注意:例例2 用基礎(chǔ)解系表示如下線性方程組的通解用基礎(chǔ)解系表示如下線性方程組的通解.12345123451234512345430320223450335670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣A 作作初等行變換初等行變換，化為行最，化為行最簡矩陣，有簡矩陣，有11143113212234533567A10040010000000001110相應(yīng)的同解方程組為：相應(yīng)的同解方程組為：相應(yīng)的同解方程組為：相應(yīng)的同解方程組為：1

16、2535440 xxxxxx 2510,01xx 令自由未知量令自由未知量 得得基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 120011140,100 所以所以, 通解為通解為 1 122cc12,.c cR 一般常用齊次線性方程組一般常用齊次線性方程組 AX=0 的基礎(chǔ)解的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)系所含向量個數(shù) nr(A) 與系數(shù)矩與系數(shù)矩A的秩的秩的關(guān)系的關(guān)系證明矩陣的秩。證明矩陣的秩。(1) 若若AX0與與BX0為同解方程組，則為同解方程組，則 r(A) = r(B).(2) 若若AB0 , 則則B的列向量組一定為齊次的列向量組一定為齊次線性方程組線性方程組AX0的解。的解。(3) 若若r(Ann) n, 則則A 的

17、列向量組的列向量組一定為齊次線性方程組一定為齊次線性方程組AX0的解。的解。12,TiiinAAAr(B)nr(A) ？ 0A AA E,m nn sABO12(),n r A，證明證明(1) ( )( ).r Ar Bn 證明證明 (1)設(shè)設(shè)B B1 1,2 2 , ,s, ,則由則由 ABABA A1 1,2 2 , , ,s0 0 得得A A i 0 0 i1,2, 1,2, , ,s ，即即 1, 2 , s為齊次線性為齊次線性方程組方程組AX0的解，并可由其基礎(chǔ)解系的解，并可由其基礎(chǔ)解系線性表出，于是，線性表出，于是， r( 1, 2 , s) nr(A)所以，所以， r(A) +

18、r(B) n.例例3 若若 (2) (2) 若秩若秩(A)=n,(A)=n,則則B=0B=0； (3)(3)若若B B0，則，則A的列向量組線性相關(guān)。的列向量組線性相關(guān)。(2)與與(3)顯然。顯然。，B B為為3 3階非零方陣，階非零方陣， 解：由解：由1 r(B) 3 r(A) 例例4 已知已知12324369At 且且AB=0AB=0，求秩，求秩(A).(A).r(A) + r(B) 3，且，且r(B) 1, 得，得， 因因12324369At123006000t 所以，所以，1 1 當當t6時，時，秩秩(A)=2,秩秩(B)=1,2 2 當當t=6時，時，秩秩(A)=1,秩秩(B)=1或

19、或2.設(shè)設(shè) n 階方陣階方陣A的的A 0，A中元中元 a11 的代的代11121(,)()TnXc AAAcR思考練習：思考練習：【通解為通解為】數(shù)余子式數(shù)余子式A110，求齊次線性方程組，求齊次線性方程組AX0的的通解。通解。二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)已學過已學過：非齊次線性方程組：非齊次線性方程組 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 記記 11211222211212,nmnnmnmaaaaaAaaaa1122,nmxbxbXBxb則有等價的則有等價的矩陣形式：矩陣形式： AX

20、B則有等價的則有等價的向量形式：向量形式： 2121nnxxx（1）AXB有唯一解有唯一解 12,(),nAA B2211( )( ),nnr Ar Anrrn可由可由21,n唯一線性表出。唯一線性表出。（2）AXB有無窮多解有無窮多解2211( )( ),nnr Ar Anrrn可由可由21,n線性表出，表示式線性表出，表示式不唯一。不唯一。（3）AXB無解無解1221( )( ),1,nnr Ar Arr不可由不可由21,n線性表出。線性表出。（4）m=n時，時，AXB有唯一解有唯一解( )00Ar AnAX線性無關(guān)。線性無關(guān)。21,n只有零解。只有零解。（5 5）與方程組）與方程組AXB

21、有解等價的命題有解等價的命題 1212,nn 1212,nnrr 線性方程組線性方程組 AXB有解有解12,n 向量向量 可由向量組可由向量組線性表出；線性表出；( )()r Ar A B1.1.導出組導出組11 11221121 1222221 122(1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 對應(yīng)的對應(yīng)的齊次線性方程組齊次線性方程組000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa非齊次線性方程組非齊次線性方程組 稱為方程組稱為方程組(1)的的導出組導出組（相伴方程組）（相伴方程組） 。2.2.非齊次線性方程

22、組解的基本性質(zhì)非齊次線性方程組解的基本性質(zhì)證明證明 因為因為A g g1 1B , B , AgAg2 2B B， 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)g g1 1, ,g g2 2 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組AXB的解，則的解，則g g1 1g g2 2是導出組是導出組A AX0 0的解。的解。所以，所以，A (g g1 1g g2 2 A g g1 1 A g g2 2 0 0，即即 g g1 1g g2 2 是導出組是導出組A AX0 0的解。的解。 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè)g g 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組AXB的解，的解， 是導出組是導出組A AX0 0的的解，解，則則g g 是是非齊次線性

23、非齊次線性方程組方程組AXB的解的解。證明證明 因為因為A g g B B , , AA0 0，所以，所以，A (x x A x x A B B 0 0B B，即即 g g 是方程組是方程組A AXB B 的解。的解。 設(shè)設(shè) g g 1 1, , g g2 2 , , , g gs 都為非齊次線性方程組都為非齊次線性方程組 AXB的解，則線性組合的解，則線性組合c1g g 1 1 c2g g2 2 cs g gs仍仍11.siic為為AXB的解的充要條件是：的解的充要條件是：例如例如， g g 1 1, , g g2 2 , , , g gn 都為非齊次線性方程組都為非齊次線性方程組 AXB的

24、解，則的解，則12nnggg也是方程組也是方程組A AXB B 的解。的解。 3解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理2 設(shè)設(shè) 0g是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 AX=B 的的12,n r 一個一個特解特解 , 是導出組是導出組AX=0的一的一其中其中 12,n rc cc為任意實數(shù)。為任意實數(shù)。個基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組個基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組AX=B的通解的通解證明證明： 需要證明需要證明: (1) 非齊次線性方程組的任非齊次線性方程組的任1 1220.n rn rcccgg為為一解可表示為一解可表示為1 1220.n rn rcccgg(2) 此形式的列向量都是此形式的列向量都是AX

25、B的解。的解。01 122n rn rcccgg, 向量向量 是方程組是方程組AX=B的解；的解；設(shè)設(shè)為非齊次線性方程組為非齊次線性方程組AXB的的任一解，任一解，常數(shù)常數(shù)顯然，對任意實數(shù)顯然，對任意實數(shù)12,n rc cc1 1220n rn rcccg所以所以 , 存在存在12,n rc cc，使，使為導出組為導出組AX0的解，的解， 則則0gg即即1 1220n rn rcccgg定理給出了求非齊次線性方程組通解的方法。定理給出了求非齊次線性方程組通解的方法。12345123452345123457,3232,22623,834312.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解例例5

26、5 求下述方程組的解求下述方程組的解11111731213202126238343112A B并用導出組的并用導出組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系表示全部解。表示全部解。相應(yīng)的同解方程組為相應(yīng)的同解方程組為1245324551626322xxxxxxxx 10151602262300000000010010 求導出組求導出組基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：【注意注意】求導出組基礎(chǔ)解系時，常數(shù)項一定要求導出組基礎(chǔ)解系時，常數(shù)項一定要 視為零！視為零！123115100,.226010001求求AXB特解特解：3450,xxx令得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 令令2451000 ,1 ,0001xxx 12453245516263

27、22xxxxxxxx 得得AXB特解：特解：13 30122cccgg23(,)c ccR101623000g所以，通解為所以，通解為也可由消元解法求通解：也可由消元解法求通解：寫成向量形式為：寫成向量形式為：原方程組的同解方程組為：原方程組的同解方程組為：1123213123425352216236xcccxcxcccxcxc 214253,xc xcxc令令得通解為：得通解為：1245324551626322xxxxxxxx 1231151610023.226001000010Xccc123( ,)c c cR1 122303cccg 兩種解法是類似的。兩種解法是類似的。 例例6 設(shè)四元非齊次線性方程組設(shè)四元非齊次線性方程組AXB的系數(shù)的系數(shù)矩陣矩陣A的秩為的秩為3, 已知它的三個解向量已知它的三個解向量 123, 滿足滿足 1233446,1820 求該方程組的通解求該方程組的通解. 解解 因為方程組因為方程組AX