棗八北校-高一-1.2.1任意角的三角函數(shù)(2,4)

1、1.2.1任意角的三角函數(shù)（第二課時） 孫磊 (棗莊八中北校，277000) 教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學4 第一章 三角函數(shù) 第2節(jié) 任意角的三角函數(shù) 第1小節(jié)的第二課時，是在學習了任意角的三角函數(shù)的代數(shù)定義（在單位圓中的定義和一般的定義）的基礎(chǔ)上，在單位圓中通過對三角函數(shù)線的研究進一步加深對任意角的三角函數(shù)概念的理解，并且為“1.3三角函數(shù)的誘導公式”和“1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的學習打下基礎(chǔ)，為三角函數(shù)誘導公式的推導和作三角函數(shù)圖象以及發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的周期性變化規(guī)律提供“形”上的指導.本節(jié)課的重點是建立起三角函數(shù)值與三角函數(shù)線的對應，通過定義有向線段把二者對應起來，利用三角函數(shù)線表示角的正

2、弦值、余弦值和正切值以及三角函數(shù)線的應用；難點是通過討論，理解三角函數(shù)線作為有向線段其方向規(guī)定的合理性，并靈活和準確利用三角函數(shù)線研究角的范圍和三角函數(shù)值的范圍的對應.通過建立三角函數(shù)線的過程，加深學生對分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的理解.課時分配 本節(jié)內(nèi)容用1課時的時間完成，主要講解三角函數(shù)線的概念及應用.教學目標重點: 三角函數(shù)線的概念及應用.難點：理解三角函數(shù)線作為有向線段其方向規(guī)定的合理性，三角函數(shù)線的應用知識點：有向線段，正弦線、余弦線、正切線的概念，作三角函數(shù)線.能力點：逐步發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值與單位圓中的“有向線段”的對應，分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的運用.教育點：讓學生通過經(jīng)歷由不確

3、定的對應建立確定的對應的過程，體會發(fā)現(xiàn)的艱辛，享受發(fā)現(xiàn)的樂趣.自主探究點：角的終邊在坐標軸上時三角函數(shù)線的情況.考試點：利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)值或角的范圍.易錯易混點：三角函數(shù)線作為有向線段與一般線段的了解與區(qū)別.拓展點：利用三角函數(shù)線證明有關(guān)不等式.教具準備 三角板、圓規(guī)課堂模式 學案導學一、引入新課 圖片中，某地的電視發(fā)射塔建在一座小山上，我們想知道它的高度為此，選定一個觀測點A，由點A觀測電視發(fā)射塔的視角為即CADAB為水平基線，通過測角儀器測得BAD=另外，由觀測點A到電視發(fā)射塔塔基C的距離，也就是線段AC的長度可以實地測量出來，因此，線段AC的長度可以作為一個已知量（1）求CD的

4、長度；（2）求AD的長度；（3）求的值【師生活動】教師分析（1）的求解思路：在斜三角形中，且且長度已知，但是我們沒有學過解斜三角形的知識，我們學過解直角三角形的知識，于是想到構(gòu)造直角三角形，過作于教師引導：如何得到的長度呢？學生發(fā)現(xiàn)在中，可以先求出繼而在中，利用表示出即可得到的長度.學生分析（2）的求解思路：由于有了（1）的思路分析，學生很容易想到,師生共同分析（3）的求解思路：在中，而已求出.解：（1）（2）（3）【設計意圖】 通過具體問題引入的求法，易引發(fā)學生的學習興趣通過利用45°、30°三角函數(shù)值表示出，引出本課題【設計說明】在分析（1）（2）（3）的求解思路以后，

5、便板書其求解過程，步步為營！二、探究新知（一）歸納公式由上面的第(3)問，教師提出問題：么?生：不相等師：這說明兩角差的余弦不滿足分配率，但是這種形式不夠整齊，改寫為: ,師：這種形式符合兩角差的余弦公式的一般形式么?通過例子驗證,形式不變,將換成得到容易發(fā)現(xiàn)這個等式不成立，因此這種形式并不符合兩角差的余弦公式的一般形式也可以將改寫為: 這種形式符合兩角差的余弦公式的一般形式么?我們?nèi)匀煌ㄟ^例子加以驗證(形式不變):將換成,上述形式的等式仍然成立 如果將等式中的換成其它的特殊角，這些等式還成立么?如將這些等式中的換成,這些等式仍然成立猜想: 無論還是的位置換成其他的特殊角，這種形式的等式都成立

6、提出問題：通過以上等式，你能歸納出一般性的結(jié)論么？結(jié)論：對任意的角 設計意圖 給學生充分的感性材料,揭示公式的發(fā)現(xiàn)過程, 通過學生發(fā)現(xiàn)若干特例的共性, 培養(yǎng)學生歸納、概括、提出數(shù)學問題的能力（一般性探究）避免直接將公式拋給學生（二）公式證明 分析公式的左邊:涉及到角的余弦教師提問學生:在前面的兩章中,哪些地方涉及到角的余弦?答案：在第一章中有：三角函數(shù)余弦的定義、余弦線、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)；在第二章中有：向量數(shù)量積的定義設計意圖 溝通本節(jié)內(nèi)容與前面兩章內(nèi)容的了解,為進一步分析公式的證明思路打下基礎(chǔ)(見板書設計) 以坐標原點為中心作單位圓（如圖）以Ox為始邊

7、作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點P、Q，則P(cos，sin)，Q（cos，sin），|=|=1公式證明過程分析:只需證明:猜想：與應該存在著某種關(guān)系？師生共同分析，得到結(jié)論.師：若將角的終邊互換，又會得到怎樣的結(jié)論呢？答案：.說明：只是將上面的結(jié)論：中的的位置互換一下.設計意圖 將第2種情形與第一種情形類比，學生容易得到，激起學生對同根同源問題的思考證明：以坐標原點為中心作單位圓（如圖）以Ox為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點P、Q，則P(cos，sin)，Q（cos，sin），|=|=1因為（左圖），或（右圖），所以設計意圖 通過分析找到解題思路，利用綜合法進行嚴格證明，培

8、養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度思考：學生作答.設計意圖 本質(zhì)上就是，體會轉(zhuǎn)化的思想方法三、理解新知分析公式的結(jié)構(gòu)特點，得到口訣：同名積，符號反設計意圖為準確地運用新知，作必要的鋪墊.四、運用新知例1 求及的值提問其他方法，比如學生作答：師：對于還有其他的求解方法么? 設計意圖 培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力及良好的解題習慣: 同一個題目有不同的解法,我們可以從中選擇簡捷、自然的解題思路通過利用，既可以找到例題中兩個問題的了解，又可以看出誘導公式只是兩角和與差的余弦公式的一種特殊情形，體現(xiàn)了特殊和一般的關(guān)系思考1：如何求設計意圖 有時求角的余弦值，既可以用誘導公式,也可以用兩角和的余弦公式,從中看到誘導公式是兩角和的

9、余弦公式的特殊情形顯然, 應用誘導公式更簡捷一些思考2：（1）; （2）設計意圖 逆向運用公式兩個問題的設計由具體到抽象,便于學生全面的認識公式, 提高理解、運用知識的能力例2 已知，求解：因為所以 變式：如果例2中的條件“”改為“”呢？進一步：如果例2中的條件“”改為呢?更進一步：將例2 中的條件去掉，計算設計意圖 由一個問題引申為一類問題，提高學生的解題能力同時,便于學生發(fā)現(xiàn)不同題目解題過程的區(qū)別與了解,有利于學生用了解的觀點看問題，不能“只見樹木,不見森林”例3 利用公式證明：設計意圖利用兩角和的余弦公式證明誘導公式，體現(xiàn)了前后知識之間的內(nèi)在了解,有利于學生全面而系統(tǒng)地掌握知識五、課堂小

10、結(jié) 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答：1知識：2思想：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想教師總結(jié): 公式的證明過程用到了前面兩章學過的知識，提醒學生: 在學習新知時，也要經(jīng)常復習前面學過的內(nèi)容,“溫故而知新”在應用中增強對知識(如本節(jié)的公式)的理解，及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用設計意圖 加強對學生學習方法的指導，做到“授人以漁”六、布置作業(yè) 1閱讀教材P124127；2.書面作業(yè) 必做題：P127 練習4. P137 習題3.1 A組 1.（1）、（3），2,3,4.選做題：1.若且

11、為銳角，則 .2. 已知且求的值. 3課外思考 如何利用的三角函數(shù)值表示設計意圖設計作業(yè)1,2，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學生能夠運用兩角差與和的余弦公式，解決簡單的數(shù)學問題；課外思考的安排，是讓學生理解公式之間的了解，從而讓學生深刻地體會到三角恒等變換一章的主線，培養(yǎng)學生用整體的觀點看問題，起到承上啟下的作用 七、教后反思 1.本教案的亮點是變式訓練.在例1的教學中，讓學生回答各種方法、說明思路的由來過程，一題多解開闊思路例2一題多變，既注重了與原問題的了解，又在不知不覺中提高了難度，提高了學生的解題能力2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但