雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索0001

1、雙 曲 線 中 焦 點(diǎn)角 形 的 探 索/J、基本條件：1:該三角形一邊長為焦距2c,另兩邊的差的約對值為定值 2a。2:該二角形中由余弦定理得cos F1PF2IP F1I2 IP F2I2 IF1F2I22IPF1 I IPF2I結(jié)合定義，有得在 F1PF2中，由余弦定理得:2ri22212 cos(2c)2.2配方得：(ri r2)2r1r22 r1 r2 cos4c2.2 2 即 4a2r1r2 (1 cos ) 4c .由任意三角形的面積公式得:S f.pf,-rir2 sinb2 sin21 cosb22sin cos2 22si n2 2b2cot2cot 一特別地，當(dāng) =90時(shí)

2、， 2 = 1,所以S眄PF2b22y同理可證，在雙曲線2 x2b21 ( a >0, b >0)中，公式仍然成立.例4 若P是雙曲線2 X642y361上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF2 60求 FiPF2的面積.X2解法一：在雙曲線642y36中，a 8,b 6,c 10,而 60 .記 | P F1 | r1,| PF2| d.點(diǎn)P在雙曲線上,由雙曲線定義得:在 F1PF2中，由余弦定理得:2a2116.2r22r1r2 cos(2c)2.2配方，得：（r1 r2） r1r2 400400 AD 256.從而 2144.1解法二：在雙曲線6436 中，b236 ，而6

3、0 .考題欣賞（2010全國卷1理）（9）已知Fi、F2為雙曲線C： x2 y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)3(B) y (C)P在C上，/ F1 PF2=6O0，則P到X軸的距離為（A）43(D) 尿【答案】B1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)（2010全國卷1文）（8）已知F1、F2為雙曲線C：x2P 在 C 上，/ F1 P F2 = 6O0，則 |P Rig PF2I(A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos / F1PF2二|P F2|2 |證|2| PF1 |22|PF1| PF2|1 PF1 |g PF2 | 4【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得:1 PFi |g PF2

4、| 42 2匚L 1性質(zhì)一推論：在雙曲線a2 b2（ a >0, b > 0）中，左右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ,當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若PFiF2Sb2csi n，則 F1PF2a ccos .特別地，當(dāng) P FiF290時(shí)，有Sf1 pF2 t。當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若PF1F2S雙曲線漸近線的傾斜角），則FiPF2b2csinccos a證明：i、P為左支上一點(diǎn)時(shí)，記|PF1|1，1 PF212 （1 2）,由雙曲線的定義得2ri2a,21 2a在 F1PF2中，由余弦定理得:代入得12 4c2 41CCOS（1r 4c22a)2.iCCOS2 2.1求得b2a

5、ccosS F1PF2-11 Fsin2b2a ccos2cs inb2csi na ccos得證特別地，當(dāng) =90時(shí),F1PF2b2caii、當(dāng)P為右支上一點(diǎn)時(shí)，記|PFi |1,1 PF2 | 2（12），由雙曲線的定義得r1 r2 2a,2r1 2a在 RPF2中，由余弦定理得:2 2代入得1 4c 41CCOS（1214c24riccos22 .1b2求得 ccos a。1S f1pf221F1F2Sin1 _bl2 ccos2a)2.2cs in ab2csi nccos a得證X2例5( 1)若P是雙曲線642y361左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且PFi F260,求 FiP

6、F2的面積.(2)若P是雙曲線X21右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且PFiF260求 FiPF2的面積.(1 )解法在雙曲線2 X642z 136 中，a 8, b 6,c10,60.記|P Fi| ri,| PF2I 2.點(diǎn)P在雙曲線上,由雙曲線定義得:r2 r1 2a16.r216 r1在 F1PF2 中，由余弦定理得:214c24RCCOS2r2.36解得：r1云解法二：在雙曲線2 X642y36中,a 8,b6,c10, b236，而60 .(2 )解法一：在雙曲線X21,b2,c75,60 .記|P F1I 1,| PF2I 2.點(diǎn)P在雙曲線上,由雙曲線定義得:r1 r2 2a2.21在 F1PF2中，由余弦定理得:解得：1 8(亦2)214c24r1ccos22 .解法二：在雙曲線64 36 中，a 8,b 6,c 10,b2 36，而性質(zhì)二、雙曲線的焦點(diǎn)三角形 P F1F2中,pf1F2, PF2F1當(dāng)點(diǎn)p在雙曲線右支上時(shí), tan cot-有 22當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí),co