(精選)《計算方法》實驗報告

1、計算方法實驗報告姓名|班級實驗項目名稱計算方法實驗一、實驗名稱實驗一插值與擬合二、實驗?zāi)康?(i)明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點；(2)編程實現(xiàn)拉格朗日插值算法，分析實驗結(jié)果體會高次插值產(chǎn)生的龍格現(xiàn)象；(3)運(yùn)用牛頓插值方法解決數(shù)學(xué)問題。三、實驗內(nèi)容及要求一一、1LL(1)對于 f(x) 2,5x51 x要求選取11個等距插值節(jié)點，分別采用拉格朗日插值和分段線性插值，計算 x為0.5, 4.5 處的函 數(shù)值并將結(jié)果與精確值進(jìn)行比較。輸入：區(qū)間長度，n(即n+1個節(jié)點)，預(yù)測點輸出：預(yù)測點的近似函數(shù)值，精確值，及誤差(2)已知 新 1萬4 2H9 3,用牛頓插值公式求 J5的近似值。

2、輸入：數(shù)據(jù)點集，預(yù)測點。輸出：預(yù)測點的近似函數(shù)值四、實驗原理及算法描述算法基本原理：(1)拉格朗日插值法對桌個室項式函數(shù)，已知有給定的1個取值點：(雹h Vo) 11 (幻刎Vfc)其中町對應(yīng)看自變曷的位置，而電對應(yīng)看國數(shù)在這個位置的取胤暇設(shè)任意兩個不同的勺都互不相同，畀心應(yīng)用拉唱朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：，=0其中每個fj(.T)為拉格朗日基本多原式(或稱插值基函數(shù))，其表達(dá)式為：TT -電 _ ( &)叼-1)-叼+1 )-以)星j叼瑞 (叼一方)(叼一叼-1)-叼+1)(叼一珠)拉喑朗日基本多項式。的特點是在叼上取值為1,在其它的點g i聲J上取值為及輸入才標(biāo)值點個駁a我

3、福朔目癡伎法算法襄序觸因檢人崢嬴QU, Yi) v1： IrrW幡人共李的值品就牯化處黑resu l=0; +-1悔時變量tempFYMtenp = taiv* x-Xj *- irr : te*rp* CX i Xj J vj = J H*JG玷米+(2)牛頓插值法(x) = /(x0)+/xtt,rlGr-xJ + /xxl,xJ(x-x0)(x-x1) +/|/,工/(17tJ(工-1)(工“)算法流程五、程序代碼及實驗結(jié)果1 1) 輸出：A.拉格朗日插值法B.分段線性插值Xy（精確）y（0.5000000.8000000.0500004.5000000.047059拉格朗日）y（分段線

4、性） 誤差（拉） 誤差（分）0.8434070.750000-0.0542591.578720 0.0486425 -32.547674 -0.0336492 2） 輸出：I yiUKERSSADMiNlMNUOROESKlOf計算方志件口性旨為Llebu審牛叔法過去exE“Ll 回請輸入插值點個數(shù):3請輸人插值點對應(yīng)的值及函數(shù)值位工i九1 1卜29 3持輸入要求值工的值：p由牛頓插值法得出結(jié)果：2. 26667屋否要翌續(xù)？（y，n”Xy（精確）y（ 牛頓插值）誤差（牛頓插值）5.000002.2360682.266670-0.013686源碼：(1) A.拉格朗日插值法#include#in

5、clude#includeusing namespace std;double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x); int main()double p,b,c;char a=n;docout請輸入差值次數(shù)n的值：N;vectorX(N,0);vectorY(N,0);cout”請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b) : p;cinb;c=b-p;c=c/(N-1);for(int i=0;iN;i+)Xi=p;Yi=1/(1+p*p);p=p+c;cout請輸入要求值x的值：x;double result=Lagrange(N,X,Y,x);cout由拉

6、格朗日插值法得出結(jié)果：resultendl;couta;while(a=y);return 0;double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x)double result=0;for(int i=0;iN;i+)double temp=Yi;for(int j=0;jN;j+)if(i!=j)temp = temp*(x-Xj);temp = temp/(Xi-Xj);result += temp;return result;B:分段線性插值#include#include#includeusing namespace std;double f

7、enduan(int N,vector&X,vector&Y,double x,double c ); int main()double p,b,c;char a=n;docout請輸入差值次數(shù)n的值：N;vectorX(N,0);vector丫(N,0);cout請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b) : p;cinb;c=b-p;c=c/(N-1);for(int i=0;iN;i+)Xi=p;Yi=1/(1+p*p);P=P+C；cout請輸入要求值x的值：x;double result=fenduan(N,X,Y,x,c);cout由分段線性插值法得出結(jié)果：resultendl;couta;whil

8、e(a=y);return 0;double fenduan(int N,vector&X,vector&Y,double x,double c) double result=0;int b;b=0;while(x-Xbc)b=b+1;result=Yb*(1-(x-Xb)/c)+Yb+1*(x-Xb)/c);return result;(3)牛頓插值法#include#include#includeusing namespace std;double ChaShang(int n,vector&X,vector&Y);double Newton(double x,vector&X,vecto

9、r&Y);int main()char a=n;doint n;cout請輸入插值點個數(shù)：n;vectorX(n,0);vectorY(n,0);cout請輸入插值點對應(yīng)的值及函數(shù)值(Xi,Yi) : endl;for(int i=0;iXiYi;cout 請輸入要求值x的值：x;cout由牛頓插值法得出結(jié)果：Newton(x,X,Y)endl;couta;while(a=y);return 0;double ChaShang(int n,vector&X,vector&Y)double f=0;double temp=0;for(int i=0;in+1;i+)temp=Yi;for(int

10、 j=0;jn+1;j+)if(i!=j) temp /= (Xi-Xj);f += temp;return f;double Newton(double x,vector&X,vector &Y)double result=0;for(int i=0;iX.size();i+)double temp=1;double f=ChaShang(i,X,Y);for(int j=0;ji;j+)temp = temp*(x-Xj);result += f*temp;return result;六、實驗總結(jié)1,通過實驗一數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，拉格朗日插值在低次插值時，同源函數(shù)偏差并不大，但在高次插值 時同原函數(shù)偏差大、存在明顯的龍格現(xiàn)象，而分段線性插值可以避免出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，與 原函數(shù)比較吻合，但是分段線性插值由于其分段屬性，使得插值函數(shù)失去光滑性，可以考 慮采用Hermite插值優(yōu)化。2,通過實驗二計算過程發(fā)現(xiàn)，拉格朗日插值法的線性插值的計算過程沒有繼承性，即增加一 個節(jié)點時整個