微積分的起源與發(fā)展

1、微積分的起源與發(fā)展主要內(nèi)容：一、微積分為什么會產(chǎn)生二、中國古代數(shù)學(xué)對微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)三、對微積分理論有重要影響的重要科學(xué)家四、微積分的現(xiàn)代發(fā)展一、微積分為什么會產(chǎn)生 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。公元 前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積 和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理 論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下 篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到 “割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則

2、與圓周和體而無所失矣。 ”這些都 是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說，伽利略出版力學(xué)對話 ， 開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律航海的需要，礦山的開發(fā)，火松制造提出了一系列的力學(xué) 和數(shù)學(xué)的問題，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素，微積分在這樣的條件下誕生 是必然的。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。 已知物體移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度； 反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬

3、時速 度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬刻， 移動的距離和所用的時間都是 0 ，而 0 / 0 是無意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個運動的物 體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。第二類問題是求曲線的切線的問題。 這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通 道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直 線”。這個定義對于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。第三類問題是求函數(shù)的最大值

4、和最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以 45°角發(fā)射炮彈時，射程最大。研究行星 運動也涉及最大最小值問題。困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無 眉目。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體 積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單 的面積和體積應(yīng)用了這個方法，但也必須添加許多技巧，因為這個方法缺乏一般性，而 且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。 歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法

5、。它的思想雖然古老，但很重 要，阿基米德用得相當(dāng)熟練，我們就用他的一個例子來說明一下這種方法。二、中國古代數(shù)學(xué)對微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互 逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一 直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對于這方面的工作，古代中國毫不遜 色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前 7 世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前 4 世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無窮、 無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元 263

6、 年 首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于 3 .1416 ，他的極限思想和無窮 小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是 16 世紀(jì)下半葉，開普勒、卡 瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉 徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元 5 世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。 北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)” 、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng) 了對高階等差級數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于 1274 年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng)舉世聞名 的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（

7、高次）方程近似解，比西方早 500 多 年。特別是13世紀(jì)40年代到 14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出 現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、 “正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一 術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和） 、“招差術(shù)”（高 次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法） 、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法） 、 勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要 地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分 得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國已具備了 17 世紀(jì)發(fā)明微積分前

8、夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了 微積分的大門。可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文 化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍 了。三、對微積分理論有重要影響的重要科學(xué)家 公正的歷史評價，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個人的偶然的或不可思議的靈感的。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上節(jié)四類問題作了大 量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國 的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了事實上，牛頓的老師巴羅，就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識到微分與積分之間的互逆關(guān)

9、系。牛 頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想。在牛頓與萊布尼茨作出他們 的沖刺之前，微積分的大量知識已經(jīng)積累起來了。甚至在巴羅的一本書里就能看到求切 線的方法、兩個函數(shù)的積和商的微分定理、 x 的冪的微分、求曲線的長度、定積分中的 變量代換、隱函數(shù)的微分定理等等。但最重要的 2 個人物還是下面兩位：1. 牛頓：17 世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一 步鞏固、充實和擴(kuò)大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣 就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系。到了 17 世紀(jì)下 半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英

10、國大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克牛頓（16421727） 是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián) 系的數(shù)學(xué)理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有 關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是求曲邊形面積 、運用無窮多項方程的計算法和流數(shù) 術(shù)和無窮極數(shù)。這些概念是力不概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運動存在于空間，依賴 于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還 把幾何圖形一一線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。（1）已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系，這相當(dāng)

11、于微分學(xué)。（2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。這相當(dāng)于積分學(xué)， 牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。（3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率， 求曲線長度及計算曲邊形面積等。牛頓已完全清楚上述（ 1）與（ 2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分 學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。牛頓在 1665年 5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)” ，因而有人把這一天作為誕生 微積分的標(biāo)志。牛頓于 1642 年出生于一個貧窮的農(nóng)民家庭，艱苦的成長環(huán)境造就了人類歷史上的 一位偉大的科學(xué)天才，他對物理問題的洞察力和他用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力

12、，都 是空前卓越的。盡管取得無數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德。2. 萊布尼茨德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（ G.W. Leibniz 16461716 ）是 17、18 世紀(jì)之交德國最重要的 數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐 富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。他是從幾何方面獨立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研 究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的， 缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究 曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運算法則的

13、。牛 頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達(dá) 形式采用數(shù)學(xué)符號卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實質(zhì)，強(qiáng)有 力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號， 正像印度阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣， 促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一。牛頓當(dāng)時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使 用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的 技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。3. 優(yōu)先權(quán)的爭論從始創(chuàng)微積分的時間說牛頓比萊布尼茨大約早 10 年，但從正式公開發(fā)表的時間說牛

14、 頓卻比萊布尼茨要晚。 牛頓系統(tǒng)論述“流數(shù)術(shù)”的重要著作流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù) 是 1671 年寫成的，但因 1676 年倫敦大火殃及印刷廠，致使該書 1736 年才發(fā)表，這比萊布尼茨 的論文要晚半個世紀(jì)。不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者 的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。 英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步 不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。 比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早 10 年左右，但

15、是正式公開發(fā)表微積分這一 理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候， 由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從 1699 年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和 萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十 分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也 不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到 19 世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研 究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特

16、拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理 論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。四、微積分的現(xiàn)代發(fā)展 人類對自然的認(rèn)識永遠(yuǎn)不會止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。以下列 舉了幾個例子，足以說明人類認(rèn)識微積分的水平在不斷深化。在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)展之后，Lebesgue又引進(jìn)了測度的概念，進(jìn)一步 將Riemann積分的含義擴(kuò)展。例如著名的 Dirichilet 函數(shù)在Riemann積分下不可積，而 在 Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫為了確定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了廣 義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以

17、新的含義，更重要 的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中，從而開辟了微分方 程理論的新天地。我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究 幾何，這門學(xué)科對人類認(rèn)識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮著巨大的作用，并且這門學(xué)科至今仍 然很活躍。前不久由俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼完成的龐加萊猜想便屬于這一領(lǐng)域。在多元微積分學(xué)中， NewtonLeibniz 公式的對照物是 Green 公式、 Ostrogradsky Gauss 公式、以及經(jīng)典的 Stokes 公式。無論在觀念上或者在技術(shù)層次上，他們都是 NewtonLeibniz 公式的推廣。 隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問題的需要， 僅僅考慮歐 式空間中的微積分是不夠的。有必