高中排列組合知識點(diǎn)匯總及典型例題(全)

1、一.基本原理1 .加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2 .乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二.排列：從n個不同元素中，任取m (mWn)個元素，按照一定的順序排成一 列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A,：.公式:l.A：=n(n-ln-2)(加 + 1) = 1T-之風(fēng)讓L-"，雙幽 eN( _ ?)！2.埠=劃=為(無-1)(為-2),21規(guī)定：0!=i(1)w! = nx(n -1)!,( +1)x！ =

2、( +1)!(2) nxnl = (h + 1) lxn! = (n + l)x!一！ = (n + 1)!n!;3 3) n + + l1 _ 11(n + 1)!- 0? + l)! "(h + 1)! 0?4-l)!-n! (n + 1)!三.組合：從n個不同元素中任取m (mWn)個元素并組成一組，叫做從n個不同的m元 素中任取m個元素的組合數(shù)，記作Cn o1.公式：cm=5(n-1)(n-m+l)=_n!_凡之修，附之1,格之。，隙用eN 規(guī)定：=1n Am!m!(n - m)!2組合數(shù)性質(zhì)： C； = C,n, c； + C；-1 = C：z C； + C： + + C；

3、 = 2n%+明；無球=為啕；a+/+G+,y=嚼注：c； + C" CA + C* + + C： = C；：； + % + % + C； = C：；若C： = C則m產(chǎn)m2或m+n2 = n四.處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。2 .解排列、組合題的基本策略(1)兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決 排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。(2)分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意: 分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集

4、為全集。(3)分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計(jì) 數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類, 后分步。(4)兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3 .排列應(yīng)用題：(1)窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元(素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；)(3).相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其 余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。(4)、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空 法.即先安排好

5、沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端 的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排 列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個位 置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求， 則有2種排法；（6） “小團(tuán)體”排列問題一一采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時，可先將“小團(tuán)體”看作一個元素

6、與其 余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。）（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）.數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能 被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4 的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25, 50, 75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4.組合應(yīng)用題：（1）.“至少” “至多”問題用間接排除法或分類法：（2）

7、. “含”與 “不含”用間接排除法或分類法：3 .分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。A非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4 .分配問題:定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排, 注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5 .隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首 尾必須播放公益廣告，則共有 種不同

8、的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.彳列人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到 高排列，有多少種排法1 .從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有2 .從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽.（1）如果4人中男生和女生各選2人, 有 種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有一種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有一種選法；（4）如果4人中必須 既有男生又有女生，有 種選法.1. 6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最

9、多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）A. 40B. 50C. 60D. 702 .有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種B. 48 種C. 72 種D. 96 種>3 .只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰 出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6 個 B. 9 個 C. 18 個 D. 36 個4 .男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其 中女生有（）A. 2人或3人 B. 3人或4人 C. 3人 D. 4人5 .某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級

10、，也可以一步上兩級，若規(guī)定 從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）A. 45 種 B. 36 種 C. 28 神 D. 25 種6 .某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能 分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有 （）A. 24 種 B. 36 種 C. 38 種 D. 108 種7 .己知集合力=5, B = 1,2, C=1,3,4,從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo) 系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為（）8 .由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（）A. 7

11、2B. 96 C. 108 D. 1449 .如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校, 要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 種 B. 60 種 C. 120 種 D. 210 種10 .安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 種.（用數(shù)字作答）11 .今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的排法.（用數(shù)字作答）12 .將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不

12、同 場館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）.14 .將標(biāo)號為1, 2, 3, 4, 5, 6的6張卡片放入3個不同的信封中.若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1, 2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種（B）18 種（C）36 種（D）54種15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中 的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960 種 C. 1008 種 D. 1108 種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號共有種方法甲乙排中間,丙排7號或不排7號，共有48用）種方法故

13、共有1008種不同的排法排列組合二項(xiàng)式定理I1,分類計(jì)數(shù)原理完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個事情）分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2,排列排列定義：從n個不同元素中，任取m (mWn)個元素(被取出的元素各不相同)， 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列數(shù)定義；從n個不同元素中，任取m (mWn)個元素的所有排列的個數(shù)人：公式規(guī)定0! =13,組合組合定義 從n個不同元素中，任取m (mWn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素 中取出m個元素的一個組合 組合數(shù)

14、從n個不同元素中，任取m (mWn)個元素的所有組合個數(shù)rm = 4？！(一?)！性質(zhì) c：=cr cL=ocr排列組合題型總結(jié)一.直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(1)數(shù)字1不排在個位和千位(2)數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。Eg有五張卡片，它的正反面分別寫。與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)Eg三個女生和五個男生排成一排（1）女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2），<3,女生必須全分開（插空法 須排的元素必須

15、相鄰）（4）兩端不能排女生（5）兩端不能全排女生（6）如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法2. 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序, 有多少中插入方法捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1 .四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有 種 ,2,某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一 所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法 有（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)