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文檔簡介
1、2020/埼出5/結(jié)束)江蘇省七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷)屆高三數(shù)學第二次調(diào)研考試(4月)試題(滿分160分,考試時間120分鐘)2020. 4參考公式:柱體的體積公式: V柱體= Sh,其中S為柱體的底面積,h為高.1錐體的體積公式: V錐體= Sh,其中S為錐體的底面積,h為高.一、 填空題:本大題共 14小題,每小題5分,共70分.1 .已知集合 A= 1 , 4, B=a5, 7.若AH B= 4,則實數(shù)a的值是2 .若復數(shù)z滿足三=2+i ,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是 i開始S- 118(第4題)3 .在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別
2、為9.4 , 9.7 , 9.8 ,10.3 , 10.8 ,則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是 噸.4 .如圖是一個算法流程圖,則輸出 S的值是 .5 . “石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人 各隨機選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭,甲、乙兩 人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适?.6 .在4ABC中,已知 B= 2A, AC= a/3bC,則A的值是.7 .在等差數(shù)列an(nCN)中,右a1=a2+a4, a8=3,則 出。的值是.(第8題)8 .如圖,在體積為 V的圓柱OQ中,以線段OQ上的點。為頂點,上下底面為底面的兩V +V2個
3、圓錐的體積分別為 vi, v則一的值是.229 .在平面直角坐標系 xOy中,雙曲線占一y2= 1(a 0, b0)的左頂點為A,右焦點為F, a b過F作x軸的垂線交雙曲線于點P, Q.若4APQ為直角三角形,則該雙曲線的離心率是10 .在平面直角坐標系 xOy中,點P在直線y=2x上,過點P作圓C: (x 4) 2+y2=8 的一條切線,切點為 T.若PT= PQ則PC的長是.11._ 一 9右 x1,則 2x+xTi41,一,口的最小值是12 .在平面直角坐標系 xOy中,曲線y=ex在點P(x0, ex0)處的切線與x軸相交于點A, 其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點 B(x。,0), 4P
4、AB的面積為3,則x0的值是.13 .如圖(1)是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME7)的會徽圖案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2),其中 OA= A1A2= A2A3=A7A8= 1,則AAz , AA的值是110g 2x a| , 0 x 4,14 .設函數(shù)f(x) = f J 4xb0)的右頂點A在圓C上,右準線與圓 C相切.(1)求橢圓E的方程; ,、1, 一一 ,、1,12(2)設過點A的直線l與圓C相交于另一點 M,與橢圓E相交于另一點 N.當Ag 了AM時,求直線l的方程.18 .(本小題滿分16分)某公園有一塊邊長為 3百米的正三角形ABC空地,擬將它分割成面積相等的三
5、個區(qū)域, 用來種植三種花卉. 方案是:先建造一條直道 DE將 ABC分成面積之比為2: 1的兩部分(點 D, E分別在邊 AB, AC上);再取 DE的中點 M,建造直道 AM仰圖).設AD= x, DE= yi, AM =y2(單位:百米).(1)分別求yi, y2關于x的函數(shù)關系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.19 . ( 本小題滿分16 分 )若函數(shù)f(x)在X0處有極值,且f(x 0) =X0,則稱X0為函數(shù)f(x)的F點”. 設函數(shù) f(x) =kx221n x (k R).當k=1時,求函數(shù)f(x)的極值;若函數(shù)f(x)存在“F點”,求k的值;(
6、2)已知函數(shù)g(x) = ax3+bx2+cx(a ,b,cCR,aw0)存在兩個不相等的F點xi,x2,且|g(x i) -g(x 2)| Ri,求a的取值范圍.20 .(本小題滿分16分)在等比數(shù)列an中,已知ai=1, a4=1.設數(shù)列b n的前n項和為S,且bi = 1, an + bn 81*=2$ i(n nC N).(1)求數(shù)列a n的通項公式;,bn -、,(2)求證:數(shù)列 b是等差數(shù)列; an(3)是否存在等差數(shù)列cn,使得對任意nC N,都有Sw aw?。咳舸嬖?,求出所有符 合題意的等差數(shù)列Cn;若不存在,請說明理由.2020屆高三模擬考試試卷數(shù)學附加題(滿分40分,考試時
7、間30分鐘)21 .【選做題】在A, B, C三小題中只能選做兩題,每小題 10分,共20分.若多做,則按作答的前兩題計分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.(選彳42:矩陣與變換)已知矩陣A=01的逆矩陣A; 02.若曲線C: x + y2=1在矩陣A對應的變a0b04換作用下得到另一曲線 Q,求曲線。的方程.B.(選彳44:坐標系與參數(shù)方程)在極坐標系中,已知曲線C的方程為p = r(r 0),直線 l 的方程為 p cos( 0 + ) =。2.設直線l與曲線C相交于A, B兩點,且AB= 2M,求r的值.C.(選彳45:不等式選講)已知實數(shù)x, v, z滿足1 + x
8、2+ 1 + y+1 + z2=2,求證:1 +x2+【必做題】 第22, 23題,每小題10分,共20分.解答時應寫出必要的文字說明、證 明過程或演算步驟.22 .小麗在同一城市開的 2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假1的概率都是2,且是否休假互不影響.若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調(diào)劑1人到該店鋪維持營業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率;(2)設營業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.f* 一、, X: I/J白心*23 .我們稱n(n C N)兀有序頭數(shù)組(X1, X2,,xn)為n維向重,-i 為該向重的氾 數(shù).已知n維向量a=(X1,
9、X2,,Xn),其中Xi C 1, 0, 1, i=1, 2,,n.記范數(shù)為 奇數(shù)的n維向量a的個數(shù)為4,這A個向量的范數(shù)之和為 3.(1)求A2和B的值;(2)當n為偶數(shù)時,求 人,&(用n表示).2020屆高三模擬考試試卷(七市聯(lián)考)數(shù)學參考答案及評分標準1.92.5 3. t67. -15 8. 1 9. 2310.13 11. 812. In 613.427Y 14. ( 81)15.解:(1)因為向量a= (cossin,兀sin ( a + -4) ,所以(b a) a = a - b -a2(2分)兀=cos a cos( a + ) + sin兀V2= cos
10、( -4) - 1= 2 - 1.(6兀s sin ( a + -4) (cos2 a + sin 2 a )(4 分)分)(2)因為c=(1 , 1),所以兀b + c= (cos ( a + ) + 1 ,兀sin ( a + 4) + 1).兀因為(b+c) / a,所以cos ( a + ) + 1sin a sin兀t(a + ) + 1cos a = 0.(9 分)于是sin acos a = sin ( a兀+ - )cos4兀c - cos( a + -4)sin從而 2sin (兀4 ) = sin兀 |-ti-r7t1八下即 sin(a-T)=-.(12 分)因為 0Voe
11、 V 所以一 T a T0).2因為右頂點 A(a, 0)在圓C上,右準線x=a與圓C: (x 3)2 + y2= 1相切, c(a 3) 2+02=1,所以a2解得a=2,于是b2=a2-c2=3,-3 =1,c=1.所以橢圓E的方程為x+y=1.(4分)43(2)(解法 1)設 N(xn, yN) , M(xm, yM),顯然直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x2).y=k (x-2),由方程組x2 y2_1,16k2- 12消去 y,得(4k2+3)x216k2x+16k212=0.所以x2= 4k2+3 ,解得8k2-6xN=4k.(6 分)y = k (x 2) ,2222由
12、方程組(X3) 2+y21消去 V,得(k2+1)x2(4k2+6)x + 4k2+8=0,4k2+ 8所以xm - 2=卜2+ 12k2+4,解得xM=瓏+ 1 .(8分)1212因為 AN=/M 所以 2 xn= y(xM- 2), (10 分)12122t. r,即E = 1;謖解得k=1.(12分) 所以直線l的方程為x y 2=0或x+y 2=0.(14分)(解法2)設N(xn, yN), M(xm, yM),當直線l與x軸重合時,不符題意.設直線l的方程為x=ty+2(tw0).由方程組x= ty +222x y4+ 3= 1消去 x,得(3t 2+4)y2+12ty =0,所以1
13、2t 八yN= 3t 2 + 4.(6 分)x = ty + 2,222t由方程組;2 消去x,得(t 2+1)y22ty =0,所以yM= -7-.(8分)(x-3) +y=1,t + 11212因為 AN= yAM,所以 yN= - -yM.(10 分)12t3t 2+412 2t7.丁7,解得 t = 1.(12 分) 所以直線l的方程為x y 2=0或x+y 2=0.(14分)218.解:(1)因為 S*A ADE= Sa ABC, ABC是邊長為3的等邊三角形,又 AA x, 3所以1AD. AEE- sin 2(1X32Xsin 三),所以 A已6.(2 分)233 23x0 AD
14、= x3,由x 得 2 x 3.0VAE= 6 -在4ADE中,因為點 M為DE的中點,所以 AM= 2(A D+AE). (8分) 所以 AM= 1(AD2+危+ 2AD- AE) =;(x2+3!+6).所以,直道AM的長度y2關于x的函數(shù)關系式為丫2=、3 十 號+|, xC 2 , 3 . (10 分) 4x2(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為DE+ AM= ydy2=x2+36 6 + xx2 9 3 7+x2+2即=乖+乎(當且僅當x = x29旦4 = x2,x = d6時取=).(14 分)答:當AD=乖百米時,兩條直道的長度之和取得最小值(46+弩)百米(16 分)19.
15、解:(1) 當 k=1 時,f(x) =x2 2ln x (k R),所以 f (x) = 2 (xT)(x+1)(x 0) .令 f (x) = 0,彳導 x= 1.(2 分) x所以函數(shù)f(x)列表如下:x(0, 1)1(1 , +)f (x)一0十f(x)極小值尸在x = 1處取得極小值,極小值為 1,無極大值.(4分) 設xo是函數(shù)f(x)的一個“F點”(xo0).因為f (x)=2 (kx21)x(x 0),所以xo是函數(shù)f (x)的零點.x0=i1.x0+2ln x 01 = 0.(6 分)所以 k 0.由 f (x o) = 0,得 kx0= 1, 由 f(x 0) = x0,得
16、 kx0 2ln x 0=x0,即 設 4 (x) = x+ 2ln x 1,則 4 (x) = 1 +10, 所以函數(shù)(j)(x)=x+2ln x - 1在(0 , + )上單調(diào)遞增,注意到 4(1) = 0, 所以方程x0+2ln x 01=0存在唯一實數(shù)根1,所以& =、=1,得k=1.根據(jù)知,k=1時,x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點,所以1是函數(shù)f(x)的F點”.綜上,實數(shù)k的值為1.(9分)(2) 因為 g(x) = ax3+bx2+cx(a , b, cC R a0), 所以 g (x) = 3ax2 + 2bx+c(a w0).因為函數(shù)g(x)存在不相等的兩個“F點 x 1和x
17、2,3ax2 + 2bx+c=0,所以x1, x2是關于x的方程 3+ b 2+ _的兩個相異實數(shù)根.由 ax3+bx2+cx= x 得 x= 0,ax2+bx+c1 = 0.(11 分)當x=0是函數(shù)g(x) 一個2b“F點”時,c=0且x = 不,3a所以a(一嘉刊號)-1 = 0,即 9a = 2b2.2b福1又 |g(x 1) -g(x 2)| = |x 1-x2| = 所以 4b29a2,所以 9a22( 一9a).又 aw0,所以2Wav 0.(13 分)當x= 0不是函數(shù)g(x) 一個F點”時,3ax2+2bx+ c = 0,則x1, x2是關于x的方程ax2+bx+c _0的兩
18、個相異實數(shù)根.2bT=b,又aw0,所以c5=cf解得 3c=2所以 ax2=2,所以 |g(x 1) g(X2)|12a綜上,實數(shù)a的取值范圍是2, 0) . (16分) 20.(1) 解:設等比數(shù)列an的公比為q,因為&=1, a4 = 1,所以q3=1,解得q = ! 882 1 一所以數(shù)列an的通項公式為an=(2)nT.(3分)(2)證明:由 得,當 n2, nCN*時,(2) “一 + bn= 2S1 , 所以(J) n+ 5 + 1 = - 2Sn ,11 n一,得 bn+1-2bn=(2) , (5 分)所以bn+1bnnn_1(2)(2)rr bn+ 1 bn即彳an=1,*
19、nC N.因為 b1 = 1,由得 b2= 0,所以立一2= 0( 1) = 1,所以包- - = 1, n N*. a2 a1an+1 an-,bn所以數(shù)列 b是以一1為首項,1為公差為等差數(shù)列.(8分)aniI/口 bn , n 2c1 . n1、n(3) 斛:由(2)倚 0=n 2 ,所以 bn= 2nT,Sn= 12(a n + 1 + bn+ 1)= 1 2( 27i+ -2) = 12nI.假設存在等差數(shù)列Cn,其通項cn=dn + c,使得X任意nCN*,都有S.Cn0,或d0,則當 n-, nC N(時,Cn= dn+ c1 Tn-i = an,這與 CnWan矛盾. d2(i
20、i)若 d nCN* 時,Cn=dn + cv1. d而 $+_&=_ n2n 1+ 2ny = P12nl. 0, S1 =$ S1 = - 1.故 cn= dn+cv 1 W S n ,這與 SnWcn 矛盾.所以d= 0.(12分)其次證明:當 x7 時,f(x) =(x1)ln 2 2ln x 0.因為f (x) = In 2 -1ln 2 -10,所以f(x)在7,十8)上單調(diào)遞增,x7所以當 x7 時,f(x) f(7) = 6ln 2 2ln 7 =ln 49。.所以當 n7, nCN*時,2n 1n2.(14 分)再次證明c= 0.(iii)若 c v 0 時,則當 n7, n
21、, neN, Sn = n-1 c,這與矛盾.c2 n(iv)若c0時,同(i)可得矛盾.所以c=0.1 n1 n-1當 cn=0 時,因為 Sn= 2n-1 W0, an = (2)0,所以對任意ne N*,都有SnWcnWan.所以cn=0, nCN*.綜上,存在唯一的等差數(shù)列cn,其通項公式為 cn=0, nC N*滿足題設.(16分)2020屆高三模擬考試試卷(七市聯(lián)考)數(shù)學附加題參考答案及評分標準21. A.解:因為AA 1=E,0所以a2ab= 1, 所以2a= 1解得1a 2所以b= 1.A=.(4.x設P(x , y)為曲線C上任一點,則22-+y2=1.又設P(x , y)在
22、矩陣A變換作用下得到點Q(x, y)代入x1+yV,xy,= xx v=y=2y=x,2= 1,得 y2+x2= 1,所以曲線 G的方程為x2+ y2= 1.(10B.解:以極點為坐標原點,極軸為分)x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy,于是曲線C: P = r(r 0)的直角坐標方程為 x2 + y2=r2表示以原點為圓心,半徑為 r的圓.(3分)由直線l的方程P cos( 0 +寧)=*,化簡得P I 所以直線l的直角坐標方程為 x-y-2 = 0.(6分) 記圓心到直線l的距離為d,則d = |2 = q2.cos 0cos7tpsinsin714又 r2=d2 +2,即 r2=2+7=
23、9,所以r = 3.(10分)C.證明:因為所以222x y z1 + x2+ 1 + y2+ 1 + z2- 2,211.x.iT7+1T7+1T7 =1 近+1 1.(5 分)由柯西不等式得222x y z(1+ x2+ 1 + y2+ 1 + z2)( 1 + x- 1 + y2+ 1 + z12)封(2 + 2 + -2),1 + x 1 + y 1 + zx y z 2所以(/7+ 47+iTZ)wN所以/7+4啦.(10分)22.解:(1)記2家小店分別為 A B, A店有i人休假記為事件 A(i =01,2), B 店有i人休假記為事件 B(i =0, 1, 2),發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的
24、概率為P則 p(Ao)= p(Bo)= c(2)2=4,P(Ai)=P(Bi)=d(2)2 = 2,P(A2)= P(B2)=c2(2)2=4.所以 P= P(AoB2) + P(A2Bo) =:X;+:X: = !4 4 4 4 8一,,,一,一1答:發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為主(4分)8(2)依題意,X的所有可能取值為0, 1, 2,則1 11P(X= 0) = p(A2R) =4X4= ,P(X= 1) = P(A1B) + P(A2B1) =1X1 + 1X1=1.4 2 2 4 411 11P(X = 2) = 1 P(X = 0) P(X= 1) = 1 而4= *8 分)所以X的分布列為X012P111116416111113所以 E(X)=2X +1X4 + 0X16=-8.(10 分)23.解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有(1 , 0) , (0 , 1) , (0 , 1) , (1 , 0),它們的范數(shù)依次為 1, 1, 1, 1,故4=4, R=4.(3分)(
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