平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用

1、平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用a b cosab01定義：平面內(nèi)兩個(gè)定義：平面內(nèi)兩個(gè)非零非零向量的數(shù)量積（內(nèi)向量的數(shù)量積（內(nèi)積）的定義積）的定義 = 向量夾角的概念：平移兩個(gè)非零向量使它向量夾角的概念：平移兩個(gè)非零向量使它們們起點(diǎn)重合起點(diǎn)重合，所成圖形中，所成圖形中0 180 的角稱的角稱為兩個(gè)向量的夾角為兩個(gè)向量的夾角 規(guī)定規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為與任何向量的數(shù)量積為0R平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用2向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 等于等于 的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度與 在在 方向上投影方向上投影 的乘積的乘積 3兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

2、設(shè)設(shè) ， 為兩個(gè)為兩個(gè)非零向量非零向量， 是單位向量，是單位向量， 是是 與其它向量的夾角與其它向量的夾角（1） ；（2） ；（3） 特別的特別的 或或 ；（4） = ；a b abacosbbaeacose aa ea 0aba b 2|a aa |aa a cos|a bab 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用（1）設(shè)）設(shè) 則則 = （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量）非零向量 = 0 （注意與向量共線的坐標(biāo)表示區(qū)別（注意與向量共線的坐標(biāo)表示區(qū)別）1122,ax y bx ya b 1 21 2xxyy0aba b 1 21 2xxyya2a, x y22xy| |a bab

3、1 21 222221122xxyyxyxy4.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：（1） （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量非零向量 = 0 （注意與向量共線的坐標(biāo)表示區(qū)別（注意與向量共線的坐標(biāo)表示區(qū)別）1 21 2xxyy平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用5.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積的應(yīng)用（1）把幾何學(xué)問題轉(zhuǎn)化為向量問題）把幾何學(xué)問題轉(zhuǎn)化為向量問題 ：如利：如利 用向量證明平面幾何問題；直線的方向向用向量證明平面幾何問題；直線的方向向量等量等（2）把物理學(xué)問題轉(zhuǎn)化為向量問題）把物理學(xué)問題轉(zhuǎn)化為向量問題 ：數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)中的向量就是物理中的矢量，所以利用向

4、中的向量就是物理中的矢量，所以利用向量可以解決物理學(xué)問題量可以解決物理學(xué)問題平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例一例一 .(數(shù)量積一第數(shù)量積一第9題題) abca b 解： acbc2()aba b c c =1-2cos,a bc 12 abca b a cb c abc設(shè)向量設(shè)向量 ， ， 是單位向量，且是單位向量，且 =0 ，求求 的最小值的最小值 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用思考思考：設(shè)向量：設(shè)向量 是兩個(gè)互相垂直的單位向是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量量，若向量 滿足滿足 =0，求，求 的最的最大值大值. , a b ca c b c c答案：2小結(jié)：小結(jié)：將題給條件稍作變化，就能得到一個(gè)與原將題給條

5、件稍作變化，就能得到一個(gè)與原題類似的問題，且所用知識(shí)點(diǎn)也大致相同，大題類似的問題，且所用知識(shí)點(diǎn)也大致相同，大家平時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)不妨用這個(gè)方法給自己出出題，家平時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)不妨用這個(gè)方法給自己出出題，以更好的理解知識(shí)點(diǎn)以更好的理解知識(shí)點(diǎn).平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例二例二.（數(shù)量積一第（數(shù)量積一第15題第題第2問）問） | 3,| 4,abu ru rau rk2kabu ru r43abu ru rbu r已知已知 且向量且向量 與與 的夾角為的夾角為 ，試，試求求 的取值集合，使（的取值集合，使（ ）與（）與（ ）的夾角為鈍角的夾角為鈍角 60平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用分析：兩向量分析：兩向量 的夾角公式

6、為的夾角公式為則當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)有則當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)有-1 0cos,a ba ba b cos, a b , a b 解右邊不等式可得解右邊不等式可得 0,但左邊不等式解但左邊不等式解答比較復(fù)雜，所以，我們可以考慮在余答比較復(fù)雜，所以，我們可以考慮在余弦小于弦小于0的情況下去掉夾角為的情況下去掉夾角為180度的情度的情況，即去掉兩向量平行的情況，所以本況，即去掉兩向量平行的情況，所以本題的解答如下：題的解答如下：a b 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用由題意：由題意： （ ）（）（ ）0且（且（ ）與（）與（ ）不平行）不平行即即 且且 且且 且且 2kabu ru r43abu ru r

7、2kabu ru r43abu ru r22463 80kabkabk8314 9 616 (3 8)3402kk k83k8383k 思考：兩向量夾角是銳角的等價(jià)條件是什么？思考：兩向量夾角是銳角的等價(jià)條件是什么？小結(jié)：小結(jié)：解題時(shí)若計(jì)算復(fù)雜則容易出錯(cuò)，大家要善于解題時(shí)若計(jì)算復(fù)雜則容易出錯(cuò)，大家要善于化繁為簡(jiǎn)，有時(shí)，稍作變動(dòng)就能大大簡(jiǎn)化計(jì)算，化繁為簡(jiǎn)，有時(shí)，稍作變動(dòng)就能大大簡(jiǎn)化計(jì)算，使問題得以更好的解決使問題得以更好的解決.平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例三例三. 數(shù)量積二第數(shù)量積二第10題題已知向量已知向量 = ，向量，向量 = ，求，求 的最大值的最大值. acos ,sinb3, 12a b

8、解法一解法一（代數(shù)方法）（代數(shù)方法）22244ababa b 4 4 4( 3cossin ) 8 4 2cos()6 4平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用解法二（幾何方法）解法二（幾何方法）xyoB如圖，用如圖，用 表示表示 ， 以以O(shè)為圓心，為圓心，2為半徑作為半徑作圓，則圓，則2 可看成以可看成以O(shè)為為起點(diǎn)，終點(diǎn)在圓起點(diǎn)，終點(diǎn)在圓O上的上的向量，由向量減法的幾向量，由向量減法的幾何意義可知答案為何意義可知答案為4OB ba小結(jié)：小結(jié)：向量有數(shù)和形兩種表示方法，有時(shí)，數(shù)形結(jié)合向量有數(shù)和形兩種表示方法，有時(shí)，數(shù)形結(jié)合可使問題的解決更加方便可使問題的解決更加方便平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例四例四.數(shù)量積二第數(shù)

9、量積二第15題題已知：已知： ，存在實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù) 和和 ，使，使得得 ，且，且 ，試求，試求 的的最小值。最小值。133, 1 ,2 2abkt23 ,x a tbyka tb xy 2ktt 分析：本題是涉及兩個(gè)字母的最值問題，且不分析：本題是涉及兩個(gè)字母的最值問題，且不可用基本不等式，所以考慮利用等量關(guān)系互相表可用基本不等式，所以考慮利用等量關(guān)系互相表示，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于其中一個(gè)字母的函數(shù)來(lái)處理示，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于其中一個(gè)字母的函數(shù)來(lái)處理 .平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用解答如下解答如下:由條件得：由條件得： ， ，由，由 ，得，得 =0，即，即 =0， 則有則有 則則 = 則當(dāng)則當(dāng) =-2時(shí)，時(shí)， 有最小

10、值有最小值2,1ab0ab xy 23atbkatb2232(3)(3 )katt bt ktk ab 334ttk 221(4 3)4k tttt 217(2)44t t2ktt74平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用小結(jié)：小結(jié)：有一些解答題看似字母比較多，比較復(fù)雜，有一些解答題看似字母比較多，比較復(fù)雜，但如果耐心將題目看完，將題給的每個(gè)條件都但如果耐心將題目看完，將題給的每個(gè)條件都稍作化簡(jiǎn)，聯(lián)系稍作化簡(jiǎn)，聯(lián)系“已知的是什么已知的是什么?”,“所求的是所求的是什么？什么？”，“中間搭哪一座橋？中間搭哪一座橋？”，很多問題，很多問題都會(huì)變得清晰明了，從而迎刃而解了都會(huì)變得清晰明了，從而迎刃而解了.本題涉及本

11、題涉及關(guān)于兩個(gè)字母的表達(dá)式的最值問題，這類問題關(guān)于兩個(gè)字母的表達(dá)式的最值問題，這類問題往往從（往往從（1）基本不等式（）基本不等式（2）等量代換這兩個(gè)）等量代換這兩個(gè)方面去考慮方面去考慮.平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例五例五 .向量應(yīng)用第向量應(yīng)用第10題題在在 中，中， 為中線為中線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若=2，求，求 的最小值的最小值 ABCOAMAM()OA OB OC ABCMO分析：如圖，因?yàn)榉治觯喝鐖D，因?yàn)?為為 的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以 ,則本題可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)反向則本題可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)反向向量數(shù)量積的最小值問題，向量數(shù)量積的最小值問題，解答如下：解答如下：MBC2O B O CO M

12、 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用 =2 =-2 由基本不等式，得由基本不等式，得 =1 ,所以，所求最小值為所以，所求最小值為-2 ()OA OB OC OAOM OAOMOAOM24OA OM小結(jié)：小結(jié)：因?yàn)橄蛄考臃ㄓ衅叫兴倪呅畏▌t，所以進(jìn)行向因?yàn)橄蛄考臃ㄓ衅叫兴倪呅畏▌t，所以進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)要充分利用這一點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化問題，從而有利量運(yùn)算時(shí)要充分利用這一點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化問題，從而有利于計(jì)算于計(jì)算.平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用例六例六 .向量應(yīng)用第向量應(yīng)用第15題題給定兩個(gè)長(zhǎng)度為給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量的平面向量 和和 ，它們，它們的夾角為的夾角為 . 如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn) 在以在以 為圓心為圓心的圓弧的圓弧 上變

13、動(dòng)上變動(dòng).若若 其中其中 ,求求 的最大值的最大值 .OA OB 120oCOABOC xOA yOB , x yRx yOABC分析：因?yàn)槿齻€(gè)向量的模分析：因?yàn)槿齻€(gè)向量的模均為均為1，且已知，且已知 與與 的夾角，所以，本題可的夾角，所以，本題可以考慮利用向量數(shù)量積以考慮利用向量數(shù)量積將向量轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，同將向量轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，同時(shí)可將時(shí)可將 用三角函數(shù)用三角函數(shù)表示出來(lái)，解答如下：表示出來(lái)，解答如下：OA OB xy平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用設(shè)設(shè) ，則有，則有即即 ，則，則 AOCOCOA xOAOA yOBOAOCOB xOAOB yOBOB 1cos221cos()32xyxy 22 coscos()cos3sin2sin() 236x y 小結(jié)：小結(jié)：向量的數(shù)量積是聯(lián)系向量與實(shí)數(shù)的紐帶，利用向量的數(shù)量積是聯(lián)系向量與實(shí)數(shù)的紐帶，利用向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以將向量問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以將向量問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)計(jì)算，從而有利于問題的解決實(shí)數(shù)計(jì)算，從而有利于問題的解決.平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用