小學(xué)奧數(shù)幾何計(jì)數(shù)(三).教師版

1、前M昨鰭目面1 .掌握計(jì)數(shù)常用方法；2 .熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3 .根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù).本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、 對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類計(jì)數(shù)和用容斥原理的計(jì)數(shù)思想.一、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種 條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來 似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法 的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n條直線 最多將平面分成2 + 2 + 3 + + )? =，(/+ + 2)個(gè)部分；n個(gè)圓最多分平面的

2、部分?jǐn)?shù) 2為n(n7)+2; n個(gè)三角形將平面最多分成3n (n-1)+2部分；n個(gè)四邊形將平 面最多分成4n (n-1) +2部分在其它計(jì)數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞 推法等.解題時(shí)需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解.排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有 關(guān)；組合問題與各事物所在的先后順序無關(guān)，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān). 二、幾何計(jì)數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))(或含有n個(gè)“基 本線段”),那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1 條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形

3、中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對(duì)應(yīng)法)，因?yàn)?DE上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共 有15個(gè)三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個(gè)，所以圖中共有30個(gè) 三角形.數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長方形（平行四邊 形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形 （平行四邊形）mn個(gè).模塊一、立體幾何計(jì)數(shù)【例1】用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那么一共用了 塊小正方體?！究键c(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，初試，6題，走美杯，4年級(jí)，決賽，第8題【解析】

4、一共有：43-（1 + 4 + 9）= 50 （塊）?！敬鸢浮?0塊【例2】將32個(gè)相同的小正方體拼成一個(gè)體積為32立方厘米的長方體，將表面 涂上紅漆，然后分開，其中有2個(gè)面涂紅的小正方體有24個(gè)，則有1個(gè) 面涂紅的小正方體有個(gè)?！究键c(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)pik 3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第7題【解析】32 = 25 ,所以這個(gè)長方體的尺寸只有1x1x32, 1x2x16, 1x4x8 , 2x2x8 , 2x4x4 五種情況，其中只有尺寸為2x2x8的長方體的表面染色后，有24個(gè)正方 體有2個(gè)面涂紅，所以有1個(gè)面涂紅的小正方體有0個(gè)?！敬鸢浮??！纠?】 如圖是一個(gè)由27個(gè)棱

5、長為1的白色小正方體木塊粘成的棱長為3的 正方體木塊，現(xiàn)任意挖去其中的3個(gè)棱長為1的小正方體，然后將所 有暴露在外的表面全部刷上籃漆，那么余下的24個(gè)棱長為1的小正方 體中恰好有3面涂藍(lán)漆的最多能有 個(gè).【考點(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第12題【解析】1）角塊本身為3面暴露在外的小方塊；2）挖去外側(cè)面中部的小方塊，能夠增加4塊三面暴露在外的小方塊， 加上角塊，共形成8塊3面涂漆的小方塊，為最優(yōu)方案3）因此挖去對(duì)稱的2塊外側(cè)中部的小方塊后，將產(chǎn)生16塊3面暴 露在外的小方塊4）然后再挖去任意一個(gè)外側(cè)面中部的小方塊，將增加3塊3面暴露在 外的小方塊，但同

6、時(shí)破壞原來的2塊3面在外的小方塊.5）所以最多有17塊3面涂漆的小方塊【答案】17模塊二、幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【例4】如圖，每個(gè)小正方形的面積都是I平方厘米。則在此圖中最多可以畫 出 個(gè)面積是2平方厘米的格點(diǎn)正方形（頂點(diǎn)都在圖中交叉點(diǎn)上的正方形）?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】每兩行正方形可確定3個(gè)面積是2平方厘米的格點(diǎn)正方形，總共有：3X3 = 9（個(gè)）【答案】9【鞏固】圖中的每個(gè)小方格都是面積為1的正方形，面積為2的矩形有 個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第8題 【解析】4X4+3X5=3

7、1【答案】31個(gè)【鞏固】下圖是由25個(gè)面積等于1的小正方形組成的大正方形，圖中面積是6 的長方形有 個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第4題【解析】每兩行正方形可確定3個(gè)面積是2平方厘米的格點(diǎn)正方形，總共有：3x4x2 = 24 （個(gè)）【答案】24個(gè)【例5】 如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的4X4方格圖中，共有25個(gè) 格點(diǎn)。在以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形中，兩條直角邊長分別是1和3 的直角三角形共有 個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第2題【解析】我們把一排連續(xù)三個(gè)正方形叫做三連正方形，三連正方形的個(gè)數(shù)乘上

8、 每個(gè)三連正方形中直角三角形的個(gè)數(shù)就得到所求的總數(shù)：4X2X2X4 =64 （個(gè)）【答案】64【例6】用9個(gè)釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣（如右圖）.如果用一根皮 筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來就得到一個(gè)三角形，這樣得到的三角形 中，面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少？面積等于2平方厘 米的三角形有多少個(gè)？【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個(gè).面積等于2平方厘米的三角 形有8個(gè).（1）面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：底為2,高為1底為2,高為1底為1,高為23X2=6（個(gè)）3X2=6（個(gè)）3X2=6（個(gè)）底為1,高為21,高為23X2=6（個(gè)）2X2=4（個(gè)）底為2,高為12X2=4

9、（個(gè)）底為所以，面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32 （個(gè)）.面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：3X2=6（個(gè)）1 X 2=2（個(gè)）所以，面積等于2平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+2=8（個(gè)）.【例7】 下圖中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形，它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個(gè)），以其中不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】解答【解析】1.顯然應(yīng)先求出陰影三角形的面積設(shè)原正方形的邊長是3,則小正方形的邊長是1,陰影三角形的面積 是% X 2 X 3=32.思考圖中怎

10、樣的三角形的面積等于3（1） 一邊長2,這邊上的高是3的三角形的面積等于3 （即形如圖 中陰影三角形）.這時(shí)，長為2的邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有2X4X4=32 （個(gè)）；（2） 一邊長3,這邊上的高是2的三角形的面積等于3.這時(shí)，長為3的邊是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線.這樣的三角形有8X2=16 （個(gè)）注意：不能與（1） 中的三角形重復(fù)，所以這樣的三角形共有32+16=48 （個(gè)）.【答案】48個(gè)【鞏固】圖中每個(gè)小正方形的邊長都是I厘米，則在圖中最多可以畫出面積是3平方厘米的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在圖中交叉點(diǎn)上的三角形）個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞

11、】希望杯，五年級(jí)，一試，第11題【解析】由三角形面積為3平方厘米，可知三角形的底X高為6, 6=1 X 6=2X3, 因?yàn)閳D形中長方形的長為3厘米，寬為2厘米。當(dāng)三角形的底二3厘米 時(shí)，有4X2=8種情況，；當(dāng)?shù)锥?厘米時(shí)，有1X2=2種情況。所以， 一共有8+2二10個(gè)。【答案】10個(gè)【例8】在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，正好把圓周八等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角 形，可以作出 個(gè)等腰三角形.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】4星 【題型】解答【解析】由于8個(gè)點(diǎn)正好把圓周八等分，所以以其中的任何3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)都 不能組成等邊三角形.那么任意選取其中的一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，一個(gè)頂 點(diǎn)上有三個(gè)不同的等腰三角形，圓周上

12、有8個(gè)頂點(diǎn)，所以一共有3x8 = 24 個(gè)等腰三角形，而且這些等腰三角形互不相同（否則，假設(shè)其中有兩個(gè) 等腰三角形相同，這兩個(gè)等腰三角形不可能是同一個(gè)頂點(diǎn)，只能是不 同的頂點(diǎn)，這樣這個(gè)等腰三角形必定是正三角形，與前面的分析不合）， 所以可以作出24個(gè)等腰三角形.【答案】24個(gè)等腰三角形【例9】圓周上十個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)有多少個(gè)交 點(diǎn)？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】4星 【題型】解答【解析】圓周上4點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，四邊形兩條對(duì)角線相交可以產(chǎn)生一個(gè)交 點(diǎn).問題轉(zhuǎn)化為“圓周上10個(gè)點(diǎn)可以組成多少個(gè)以他們?yōu)槎c(diǎn)的四邊 形？ ”利用上一講的知識(shí)，去掉重復(fù)的部分，可知有： 10x

13、9x8x7+（4x3x2x1） = 210 個(gè).所以交點(diǎn)有 210 個(gè).【答案】21。個(gè)【例10】圓周上有8個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)所連的線段叫“弦”，每兩點(diǎn)連一條弦，各弦 無公共端點(diǎn)，共可連四條弦，各弦互不相交的連法共有 種.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答【解析】本題可以利用歸納的方法解決.若圓周上只有2個(gè)點(diǎn)，只有1種連法；若圓周上只有4個(gè)點(diǎn)，先選中1個(gè)點(diǎn)，它可以與相鄰的兩個(gè)點(diǎn)相連，它 連好后其它兩點(diǎn)只有1種連法，所以此時(shí)有1x2 = 2種連法；若圓周上只有6個(gè)點(diǎn)，先選中1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)它可以與相鄰的2個(gè)點(diǎn)相連, 也可以相對(duì)的1個(gè)點(diǎn)相連，若與相鄰的點(diǎn)相連，剩下的4個(gè)點(diǎn)有2種 連法；若與相對(duì)的

14、點(diǎn)相連，剩下的4個(gè)點(diǎn)只有1種連法，所以此時(shí)有 2x2 + l=5種連法；若圓周上只有8個(gè)點(diǎn)，先選中一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)它可以與相鄰的2個(gè)點(diǎn)相連, 也可以與與它相隔2個(gè)點(diǎn)的另外兩個(gè)點(diǎn)相連.若與相鄰的點(diǎn)相連，剩 下的6個(gè)點(diǎn)有5種連法；若與相隔兩個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)相連，剩下的6個(gè)點(diǎn)被 分成兩邊，一邊2個(gè)點(diǎn)，只有一種連法，一邊4個(gè)點(diǎn)，有2種連法.所 以此時(shí)共有5x2+2x2 = 14種連法.【答案】14種連接法mm 九個(gè)大小相等的小正方形拼成了右圖.現(xiàn)從點(diǎn)A走到點(diǎn)B,每次只能 沿著小正方形的對(duì)角線從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)，不允許走重復(fù)路線（如圖的虛線就是一種走法）.那么從點(diǎn)A走到點(diǎn)B共有 種不同的走法.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的

15、應(yīng)用【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初試，10題【解析】路線相當(dāng)于右圖中從A到B的不同路線（不走重復(fù)路線），從A到C、 D到B方法都唯一，從C出發(fā)有3種方向，從D出發(fā)也有3種方向（不 一定是最短路線），根據(jù)乘法原理，共有3x3=9種不同走法?！敬鸢浮?種【例12】國際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于O位置的“馬”只能走到標(biāo) 有X的格中.在5X5個(gè)方格的國際象棋棋盤上（如右圖）放入四枚白 馬（用O表示）和四枚黑馬（用表示）.要求將四枚白馬移至四枚黑 馬的位置，將四枚黑馬移至四枚白馬的位置，而且必須按照國際象棋 的規(guī)則，棋子只能移動(dòng)到空格中，每個(gè)格最多放一枚棋子.那么最少 需要

16、 步.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初賽，4題【解析】需要移動(dòng)8枚棋子，任意棋子只移動(dòng)一步是無法到達(dá)目的空格當(dāng)中的, 所以，最少需要8x2 = 16步，具體方案：如下圖，用四步交換兩枚棋子 到目的空格當(dāng)中.用同樣的方法處理其他6枚棋子.一共需要16步.【答案】16步【例13】請(qǐng)將三個(gè)“數(shù)”、三個(gè)“學(xué)”、三個(gè)“美”填入右圖中，使得每一橫 排、每一豎排都有這三個(gè)字，如果在左上角擺上“數(shù)”,那么可能有 幾種不同的擺法?！究键c(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，初賽，第9題【解析】由于有一個(gè)“數(shù)”已經(jīng)填在左上角的方格內(nèi)，所以剩下

17、的2個(gè) “數(shù)”只有兩種填法，如下圖所示：對(duì)于上面的兩個(gè)3X3方格，只 要任何一個(gè)空白方格中填入一個(gè)字，則這個(gè)3x3方格都只有唯一填 法，比如對(duì)于上左圖，在第二行第一列填入“學(xué)”，則第三行第一 列和第二行第三列都只能填“美”；則第三行第二列和第一行第三 列都只能填“學(xué)”，第一行第二列只能填“美”。所以只要確定某 一個(gè)空白方格中填的字，也就確定了整個(gè)3x3方格的填法。而現(xiàn)在 每個(gè)空白方格中可以填“學(xué)”或“美”，有兩種填法，所以共有 2x2 = 4種滿足題意的填法?！纠?4】圖中共有16個(gè)方格，要把A, B, C, D四個(gè)不同的棋子放在方格里, 并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子.問：共有多少種不同的放法

18、?【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)，故可看成是分四步完成這件 事.第一步放棋子A, A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16 種不同的放法；第二步放棋子4,由于A已放定，那么放A的那一行和 一列中的其他方格內(nèi)也不能放3,故還剩下9個(gè)方格可以放3, B有9 種放法；第三步放C,再去掉8所在的行和列的方格，還剩下四個(gè)方格 可以放C, C有4種放法；最后一步放Q,再去掉C所在的行和列的方 格，只剩下一個(gè)方格可以放O,。有1種放法.由乘法原理，共有 16x9x4x1=576種不同的放法.【答案】576【鞏固】在下圖的方格內(nèi)放入五枚棋子，要求每行

19、、每列都只能有一枚棋子， 共有多少種放法？【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】要放五枚棋子，肯定需要分五步完成.觀察到圖中的表格正好是五列 的，剛好在每列放一個(gè)棋子.于是，我們不妨按第1列、第2列、第3列、 第4列、第5列的順序依次擺放棋子.第一步：在第1列填入一個(gè)棋子.因?yàn)榈?列只有兩個(gè)格，所以有 2種放法.第二步：在第2列填入一個(gè)棋子.因?yàn)榈?列共有三個(gè)格，可是剛剛 放在第一列的那個(gè)棋子占了其中的一行，所以有37二2種放法.第三步：在第3列填入一個(gè)棋子.因?yàn)榈?列共有四個(gè)格，可是被放在 第一列、第二列的那兩個(gè)棋子各占了一行，所以有4-2=2種放法.第四步：在第4列填入一個(gè)棋

20、子.同理推得有5-3二2種放法.第五步：在第5列填入一個(gè)棋子.同理推得有5-4=1種放法.根據(jù)乘法原理，往方格內(nèi)放入5枚棋子，每行每列只有一枚棋子， 共有2x2x2x2x1 = 16種放法.【答案】16【例15】下圖是一個(gè)中國象棋盤，如果雙方準(zhǔn)備各放一個(gè)棋子，要求它們不在 同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置方法？/楚河漢界/【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】第一個(gè)棋子有90種放法，第二個(gè)棋子有72種放法，根據(jù)乘法原理， 共有90 x 72 = 6480 （種）不同的放置方法.【答案】6480【鞏固】國際象棋棋盤是8X8的方格網(wǎng)，下棋的雙方各有16個(gè)棋子位于16

21、個(gè)區(qū)格中，國際象棋中的“車同中國象棋中的“車” 一樣都可以將 位于同一條橫行或豎行的對(duì)方棋子吃掉，如果棋局進(jìn)行到某一時(shí)刻， 下棋的雙方都只剩下一個(gè)“車”，那么這兩個(gè)“車”位置有多少種情 況？【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】對(duì)于如果只有一只“車”的情況，它可以有64種擺放位置，如果在棋 盤中再加入一個(gè)“車”，那么它不能在原來那個(gè)“車”的同行或同列 出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只有7X7=49中擺放，所 以這兩個(gè)“車”的擺放位置有64X49=3136種方法.【答案】3136模塊三、幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【例16】下圖的兩個(gè)圖形（實(shí)線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成

22、的,如果按此規(guī)律（每一層比上面一層多擺出兩個(gè)小正方形）圍成的 圖形共用了 60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小 棍？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答【解析】通過觀察每增加一層，恰好增加6根小棍，這6根恰好是增加那一層 比上一層多擺出的兩個(gè)正方形多用的，即前1層用4根，前2層用4+6 根，前3層用4+6X2根，前n層用4+6X (n-1)根，現(xiàn)在共用了 60多 根，應(yīng)減去4是6的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有11層.【答案】11層，64根【例17如圖所示，用長短相同的火柴棍擺成3X1996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小 方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火

23、柴棍？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星 【題型】解答【解析】橫放需1996X4 ,豎放需1997X3根，共需1996X4+1997X3=13975 根.【答案】13975根W 18用3根等長的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角 形拼合成一個(gè)更大的等邊三角形.如果這個(gè)大等邊三角形的每邊由20 根火柴組成，那么一共要用多少根火柴？/ 、/XA_【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星 【題型】解答【解析】把大的等邊三角形分為“20”層分別計(jì)算火柴的根數(shù)：最上一層只用了 3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了 3X2=6根；從上向下數(shù)第二層用了 3X3=9根；從上向下數(shù)第二層用了 3X20=6

24、0根；所以總共要用火柴3X(1+2+3+20)=630.【答案】630【鞏固】用三根火柴可拼成一個(gè)小“”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀 的大三角形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)三角形？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律 【難度】2星【題型】解答【解析】首先，需弄清形狀如圖的大三角形共有多少層.從上往下，第一層用3 = 3x1根火柴；第二層用6 = 3x2根火柴；第三層用9 = 3x3根火柴；第四層 用12 = 3x4根火柴；第五層用15 = 3x5根火柴；第層用3/? = 3x根火柴.根 據(jù)題意，有：3 + 6+9 + 12 + 15 +3 = 108,故 1 + 2 + 3 + 4+5+.葉 =36,所以

25、， =8,即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的大正三角 形.然后，數(shù)出共有多少個(gè)三角形.尖朝上的三角形共：(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) +(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3) + (1+ 2) + 1 = 120 (個(gè))；尖朝下的三角形共：(1 + 2+3 + 4+5+6+7) + (1 + 2+3+4 + 5) + (1+2+3) + 1 + 0 = 50 (個(gè))； 所以

26、，共有三角形：120+50 = 170 (個(gè)).本題小結(jié)：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開 始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三 角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上 一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1 開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次 各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止.【答案】17。個(gè)【例19】3根火柴可以擺成一個(gè)小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個(gè)中空 的大三角形。已知大三角形外沿上每條邊都是20根火柴。擺成這個(gè)圖 共需要 根火柴?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)

27、與找規(guī)律 【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽，第9題【解析】水平方向的火柴有1+2x17 + 19 + 20 = 74 (根)而其它兩個(gè)方向的火柴與水平 放下的火柴個(gè)數(shù)相同，所以擺成這個(gè)圖共需要74x3 = 222 (根)火柴?！敬鸢浮?22根【例20】一張長方形紙片，長是寬的2倍，先對(duì)折成正方形，再對(duì)折成長方形, 再對(duì)折成正方形，共對(duì)折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕 分割成的正方形共有多少個(gè)？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】4星 【題型】解答【解析】從簡單情況入手，從第一次對(duì)折開始分析，第一次對(duì)折，展平，折痕分割成的正方形共2 = W個(gè)；第二次對(duì)折，展平，折痕分割成的長方形共4 = 22個(gè)；第三次對(duì)折，展平，折痕分割成的正方形共8 = 23個(gè)；第四次對(duì)折，展平，折痕分割成的長方形共16 = 24個(gè)；第五次對(duì)折，展平，折痕分割成的正方形共32 = 2$個(gè)；第六次對(duì)折，展平，折痕分割成的長方形共64 = 26個(gè)；第七次對(duì)折，展平，折痕分割成的正方形共128 = 2,個(gè).觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，奇數(shù)次對(duì)折時(shí)，展平后的折痕分割成的圖形是正方形, 所以，對(duì)折七次，將紙展平后，用折痕分割成的正方形是2=128個(gè).【答