構造輔助圖形求解立幾問題

1、構造輔助圖形求解立幾問題湖南省祁東縣育賢中學 周友良 421600 衡陽縣一中 何優(yōu)良 構造輔助圖形解立體幾何題是立體幾何解題中的一個常見技巧，在求解有關四面體幾何問題中最為突出，可以通過構造平行六面體來解有關四面體問題.有時還需要將這個平行六面體視為最為特殊的正方體來處理。下面舉例說明幾種常用的補形技巧。 一.構造輔助正方體求解有關四面體問題。 例1.(2003年全國高考第12題)一個四面體的所有棱長都為, 四個頂點在同一個球面上, 則此球的表面積為() A. B.4 C. D.6分析: 分別以正四面體ABCD的棱AC, BD的中點O1,O2為中心作線段. 得到的平行六面體就是棱長為1的正方

2、體, 它的對角線就是正四面體ABCD的外接球的直徑, 長為. 所以. 選A.例2. 如圖, 甲烷的分子結構是: 碳原子位于正四面體的中心, 4個氫原子分別位于正四面體的四個頂點上. 設碳原子與4個氫原子連成的四條線段兩兩組成的角為, 則cos=( ) 解 如例1將正四面體ABHD補形成正方體, 且它們的頂點都在同一個球C上, 不妨設正四面體ABHD的各棱長為, 如AD=, 則這個正方體的棱長為1, 正方體的對角線就是球C的直徑, 即2AC=. 選C.二.構造輔助正方體證明立體幾何命題例3. 將一個水平放置的正方形直線AB向上轉動一個二面角位置,再將所得正方形繞直線向上轉動一個二面角到位置,設平

3、面與水平面所成的二面角為, 試證:.這里.解: 在棱長為1的正方體內來分析.我們不妨將原題中兩個正方形及延展到如圖正方體中所示的位置與位置.只需求出平行四邊形的面積S1. 由即得所求.顯然 平面面作于E點, ,二面角.故。三、構造輔助正四棱柱解決有關柱體問題例4. ( 2003年全國高考理科第18題)如圖, 在直三棱柱ABC中, 底面是等腰直角三角形, ACB側棱=2, D、E 分別是的中點, 點E 在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；（）求點A1到平面的距離。分析：將這個幾何體補上關于平面ABA1B1的對稱圖形既直三棱柱就得到

4、正四棱柱。()顯然ABD的重心G，都在正四棱柱的對角面內，記的中點為，由，得，又，=, ，。A1B與平面ABD所成角的大小arcsin.（）平面，作于，面。點A1到平面的距離為。四、構造輔助圖形反面探求立體幾何題例5、若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角平面角的關系為（ ）（A）相等 (B)互補助 (C)相等或互補 (D)不確定 分析：受定勢思維的影響，易誤選C。ABCDA1B1C 1D 1若構造正方體ABCD-A1B1C1D1，則易發(fā)現二面角CC1A1AA1AA1ABB1與B1C1CBCBCBAD的兩個半平面分別垂直，但一個二面角的平面角為450，另一個平面角為900，通過此反例說明答案為D。五、構造輔助圖形特殊化處理一般立體幾何問題例6 在平行六面體中,過交于同一個頂點的三條棱的中點的平面截平行六面體,則截得過且過的三棱錐體積是平行六面體體積的( )分析:將平行六面體特殊化為棱長為1