復(fù)數(shù)講義絕對經(jīng)典

1、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的概念1 .虛數(shù)單位i:(1)它的平方等于1,即i21；(1) 實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.(3) i與一1的關(guān)系：i就是1的一個平方根，即方程x21的一個根，方程x21的另一個根是-i.(4) i的周期性： .4n 1.4n 2i i , i2 .數(shù)系的擴充：復(fù)數(shù)3 .復(fù)數(shù)的定義：形如a bi(a,b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)所成的 集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示4 .復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即z a bi(a,b R),把復(fù)數(shù)表示成a bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代 數(shù)形式.5 .復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及

2、0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)a bi(a,b R),當(dāng)且僅當(dāng)b 0時，復(fù)數(shù)a bi(a,b R)是實數(shù)a ;當(dāng)b 0時, 復(fù)數(shù)z a bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a 0且b 0時，z bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a b 0時， z就是實數(shù)06 .復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N7 .兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.這就是說， 如果 a , a,b, d, c, d R ,那么 a bi c di a c , b d、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實軸、虛軸：復(fù)數(shù)z a bi(a,b R)與有序?qū)崝?shù)對a,b是對應(yīng)關(guān)系.建立對應(yīng)的關(guān)系.點Z的橫坐標(biāo)是a ,縱坐標(biāo)是b ,復(fù)數(shù)z a

3、 bi(a,b R)可用點Z a , b表示，這個建立1,bi實數(shù)a(b 0)心.純虛數(shù)bi(虛數(shù) a bi(b 0)非純虛數(shù)0)bi(a 0)cC-HRc±.Q廠,mz廠1,_,了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù).2.對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為0,0 ,它所確定的復(fù)數(shù)是z 0 0i 0表不是實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù). 復(fù)數(shù)z a bi 一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.三、復(fù)數(shù)的四則運算1.復(fù)數(shù)4與z2的和的

4、定義：2,復(fù)數(shù)4與Z2的差的定義：3 .復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律：Zi Z2 Z2 Z14 .復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律：（z Z2） Z3 Zi （Z2 Z3）5 .乘法運算規(guī)則：設(shè)乙a bi , Z2 c di （a、b、c、d R）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積 Z1Z2 a bi c di ac bd bc ad i其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1,并且把實部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).6 .乘法運算律：（1） Zi Z2Z3Z1Z2 Z3（2） （Z1 Z2） Z3 Z1（Z2 Z3）（3） Z1 Z2 Z3 Z1Z2 Z1Z37 .

5、復(fù)數(shù)除法定義：滿足c di x yi a bi的復(fù)數(shù)x yi（x、y R）叫復(fù)數(shù)a bi除以復(fù)數(shù)c di的商， 記為：（a bi） c di 或者abic di8 .除法運算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) a bi （a、b R）,除以 c di（c, d R）,其商為 x yi （x、y R）, 即（a bi） c dix yi / x yi c di cx dy dx cy icx dydx cy i a biac bd由復(fù)數(shù)相等定義可知cxdxdy cya b'解這個方程組,x覆 wy2. 2c d bc ad '-2T2c d于是有:(abi)diacbd利用cdi cdid2于是將2的

6、分母有理化得:原式a bi(abi)(c di)ac bi ( di) (bc ad)ic di(c di)(c di)(acbd) (bc ad)i2L-2 c dac bd bc ad.-272 2 72 i ,c d c d(aac bd bc adbi) c di r L點評：是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c di與復(fù)數(shù)c di,相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的M J2的對偶式J3，2 ,它們之積為1是有理數(shù)，而 c di c dic2 d2是正實數(shù).所以可以分母實數(shù)化.把這種方法叫做分母實數(shù)化法.9 .共腕復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為

7、相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共腕復(fù)數(shù)。虛部 不等于0的兩個共腕復(fù)數(shù)也叫做共腕虛數(shù).歸:例題精講1.復(fù)數(shù)的概念【例1】已知a-i-2 bi(i為虛數(shù)單位)，那么實數(shù)a, b的值分別為()1 iA. 2, 5B. -3, 1C. -1. 1D. 2,-2【答案】D【例2】計算：i0! +i1! +i2! + ”卜i100!( i表示虛數(shù)單位)【答案】95 2i【解析】' i4 1 ,而 4|k!(k4),故i0,+i1,+i2, + Q+i100, i i ( 1) ( 1)1 97 952i【例3】設(shè)z (2t2 5t 3)(t22t 2)i ,t R,則下列命題中一定正確的是()A.

8、z的對應(yīng)點Z在第一象限B . z的對應(yīng)點Z在第四象限C. z不是純虛數(shù)D. z是虛數(shù)【答案】D【解析】t2 2t 2 (t 1)2 1 0.【例4】 在下列命題中，正確命題的個數(shù)為()兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；若(x2 1) (x2 3x 2)i是純虛數(shù)，則實數(shù) x 1;z是虛數(shù)的一個充要條件是z z R ;若a, b是兩個相等的實數(shù)，則 (a b) (a b)i是純虛數(shù)；z R的一個充要條件是z z .z 1的充要條件是z 1. zA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】復(fù)數(shù)為實數(shù)時，可以比較大小，錯；x 1時，(x2 1) (x2 3x 2)i 0,錯；z為實數(shù)時，也有z z

9、R ,錯；a b 0時，(a b) (a b)i 0 ,錯；正確.2.復(fù)數(shù)的幾何意義【例5】復(fù)數(shù)z m二(m R , i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于()1 2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】由已知zm 2i(m 2i)(1 2i)12i(1 2i)(1 2i)5(m4) 2(m 1)i在復(fù)平面對應(yīng)點如果在第一象限,而此不等式組無解.即在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于第一象限【例6】若,復(fù)數(shù)(cos sin ) (sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)5兀,_

10、兀 日寸 cos sin 0, sin cos 0 . 4【例7】如果復(fù)數(shù)z滿足z i |z i 2,那么1的最小值是()A. 1C. 2【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面的對應(yīng)點為Z ,因為zz i 2,所以點Z的集合是y軸上以乙(0,1)、Z2(0, 1)為端點的線段.z i 1表示線段Z1Z2上的點到點(1 , 1)的距離.此距離的最小值為點Z2 (0, 1)到點(1, 1)的距離,【例8】滿足z 1及32的復(fù)數(shù)z的集合是()A.3.i2B.C.2.i2D.復(fù)數(shù)z表示的點在單位圓與直線z日表示z到點-50與點50的距離相等，故軌跡為直線x)，故選D.【例9】已知復(fù)數(shù)(x 2) yi(x,y R)的

11、模為J3 ,則上的最大值為x【例10】【答案】【解析】【點評】【例11】【解析】z Z0的幾何意義為點z到點Z0的距離;占八、也可設(shè)z1a bi, z2c di ,則由向量(a , b)與向量(c, d)垂直知 ac bd 0 ,乙 a biz c di(ac bd) (bc ad)i bc ad .2.2c d2故z2z2z2【例12】【答案】【解析】z2滿足 z "1,4771,z24 ,求馬與乙 z2的值.z24 7,i ; 4.3設(shè)復(fù)數(shù)4, z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 乙,Z2 ,由于市1)2 訴 1)2 42 ，(x 2)2 y2 3,故(x, y)在以C(2 , 0)為圓心

12、，曲為半徑的圓上，_y表示圓上的點 x(x, y)與原點連線的斜率.如圖，由平面幾何知識，易知)的最大值為x復(fù)數(shù)z滿足條件：2z 1 |z i| ,那么z對應(yīng)的點的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線AA;設(shè) z x yi ,則有(2x 1) 2yi| |x (y 1)i ,(2x 1)2 (2y)2 x2 (y 1)2 ,2 2化簡得：x 2 y 15,故為圓.3 39z Z0r(r 0)中z所對應(yīng)的點為以復(fù)數(shù)z0所對應(yīng)的點為圓心，半徑為r的圓上的2復(fù)數(shù)4, z2滿足乙22 0 ,乙z2乙22,證明：當(dāng)0 .z2II設(shè)復(fù)數(shù)4, z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 乙，Z2,由z1 z2

13、|z1 z2知，以O(shè)ZL'OZS為鄰邊的平行四邊形為矩形，OZ； Ozt ,故可設(shè)亙ki(k R, k 0),所以z2z12 22k iz2故 z1 2 z：4 z22 , Ii故以0Z1, oN為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而oz? o4,則乙 7 147, i i ;4 z24 z24.z27 13【例13】已知z1 , z2 C , z141 ,乙z?|73 ,求 z1 z?| .【解析】設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2, Zi Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Zi,Z2,Z3,由憶 z 1知，以引，H為鄰邊的平行四邊形是菱形，記O所對應(yīng)的頂點為P,由zi Z2|石知，PZiO 120 （可由余弦定理得到

14、），故乙OZ2 60 ,從而Zi Z21 .【例14】已知復(fù)數(shù)z滿足z （2病z （2和）4,求d z的最大值與最小值.【答案】dmax【解析】設(shè)z x yi ,則（x, y）滿足方程（x 2）2d Jx2 y2 "x2 41 (x2)27 3 x88,又1&X&3,故當(dāng) x 1, y 。時，dmin1 ；當(dāng) x8, y "5時，有 dmax 邁.3333.復(fù)數(shù)的四則運算【例15】已知m R ,若（m mi）6則m等于（A.2 B.尤【答案】BC.72D. 4【解析】(m mi)6 m6 (2i)38im664i m6 8 m 2 .【例16】計算:(2 2

15、i)12(13i)9(2M i)100 (1 2.3i)100 '【答案】511【解析】原式212(1 i)12 (i 2x 3)100 -10091.3 9 i(i 2 3)2 ( i)22126.2 (2i)11 、10029( 19( i)2229 1511 .【例17】已知復(fù)數(shù)z1 cos i , z2 sini ,則4z2的最大值為（A.B.石f D 3【答案】Acos2 sin22 j：sin222故當(dāng)sin2 1時，14 z2有最大值j： 2 3 .【例18】對任意一個非零復(fù)數(shù)z,定義集合Mw| w zn , n N.【例19】【例20】(1 )設(shè)z是方程x - 0的一個

16、根，試用列舉法表示集合 x和為零的概率P;(2)若集合Mz中只有3個元素，試寫出滿足條件的一個1(D -； (2) z3(1) ; z是方程x2于是(2)取 z是Mz1 0的根,1孚，則z2z , z2 , z3或取解關(guān)于x的方程x2 5x 6 (x錯解：由復(fù)數(shù)相等的定義得分析：a bi c di告訴x是否為實數(shù).法一：原方程變形為Mz.若在Mz中任取兩個數(shù)，求其z值，并說明理由.i，1，5x 6 02 0(5 i)x 6次方程求根公式得:原方程的解為x1 3 i , x2法二：設(shè)x a22(a2 b2由得:(說明：只需寫出一個正確答案)d成立”的前提條件是a , b , c, d2i 0 ,

17、(5(5 i) (1 i)bi(a, b R),則有(a bi)25a b 6)a - 2b5b 25(abi)故方程的根為(2ab 5b a 2)i代入中解得:R，但本題并未i)22a2ab4(6 2i) 2i2(1 i) .(5 i)(a bib2 5a5b a2)i0,z2(x2 a)i ,對于任意x取值范圍.z2成立，試求實數(shù)a的【解析】:z1z2,x4x21 (x2a)2, (1222a)x2 (1 a2)0對x R包成立.2a2時,不等式恒成立;2a2a 04(1 2a)(1a2) 01【例21】11,一2關(guān)于x的方程x2 (2ai)x ai1 0有實根,求實數(shù)a的取值范圍.誤：:

18、方程有實根,(2 a2i) 4(1 ai)析：判別式只能用來判定實系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的情況，而該方程中2a i與1 ai并非實數(shù).正：設(shè)小是其實根，代入原方程變形為x02 2a% 1 (a x0)i 0,由復(fù)數(shù)相等的定義,2彳曰 x02ax0 1 0付,解付a 1 .x0 a 0【例22】設(shè)方程x2 2x k 0的根分別為，且| 2啦，求實數(shù)k的值.【答案】k 1或k 3.【解析】若， 為實數(shù)，則 4 4卜0且|2()2()2 44 4k (2&)2,解得k 1 .若，為虛數(shù),則 4 4k 0且，共腕， |2()2()2 44 4k (2西2 ,解得 k

19、3 .綜上，k 1或k 3.【例23】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cos isin )n cos(n ) isin( n ), n N .并證明(cos isin ) 1 cos isin ,從而(cos isin ) n cos(n ) isin( n ).【解析】n 1時，結(jié)論顯然成立；若對 nk 時，有結(jié)論成立，即(cosisin)k cos(k )isin( k),貝U對 nk 1 , (cos isin )k 1(cosisin)(cos isin)k由歸納假設(shè)知，上式 (cos isin )cos(k ) isin( k )cos(k 1) isin( k 1),從而知對n k 1 ,命題

20、成立.綜上知，對任意n N ,有(cos易直接推導(dǎo)知：故有(cos isin ) 1 cos isinisin )n cos(n ) isin( n ), n Ncos( n )isin( n )cos(n ) isin( n ).【例24】【解析】若cosisin 是方程 xna1xn 1a2xn 2an 1x an0 ( a1 ,a2,|,anR)的解,求證：a1sina2 sin 2| an sin n 0 .將解代入原方程得:(cos isin )n a1 (cosisin )n1an0 ,將此式兩邊同除以(cos isin )n ,則有:1a1 (cosisin ) 1a2 (cos

21、isin ) 2 口 an(cos isin ) n 0 ,即 1 a1 (cosisin ) a2(cos2isin 2 ) 川 an (cosnisin n ) 0,(1a1 cosa2 cos2an cosn ) i(a1 sin a2sin 2| an sin n ) 0,由復(fù)數(shù)相等的定義得ai sina2 sin 2| an sin n 0 .【例25】【答案】【解析】設(shè)x、y為實數(shù)，且六卷高，則x y=y 5 x y5川，-(1 i) -(1 2i) (1 3i),1 2i 1 3i 2510即(5x 2y 5) (5x 4y 15)i 0 ,故5x 4y 551，解得y 51,故

22、x y 4【例26】【答案】【解析】已知二j是純虛數(shù),z 1求z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡.1 1,0為圓心，1為半徑的圓，并去掉點(0, 0)和點(1,0) .22法一：設(shè) z x yi ( x, y R),2則一上工x(x 1) 2 y 2 W是純虛數(shù),z 1 x 1 yi (x 1) y故 x2 y2 x 0( y 0),即z的對應(yīng)點的軌跡是以1為半徑的圓，并去掉點(0,0)和點(1,0).法二:二是純虛數(shù),z 1z z上，0 , . z(z 1) z(z 1)z 1 z 1(y 0)設(shè) z x yi ( x, y R ),貝U x2 y2. z的對應(yīng)點的軌跡以1,0為圓心,-為半徑的圓，并

23、去掉點(0, 0)和點(1,0).2【例27】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z 2 ,求z2 z 4的最值.【解析】2由題用z z z 4 ,則z2z 4zzz(z 1設(shè) z a bi(2WaW2, 2 < b < 2),2abi 1 abi 2 2a 1 .1時, 2min15.丁2時,min10 ,此時z【例28】若 f(z)2z3if(z i)3if( z) .6 4i f(z)2z3i f(zi)2(z i)(z i) 3i2z2ii 3i2z2i.又知 f(z i) 6 3i2i3i由復(fù)數(shù)相等定義得3a 6b 1bi解得a，2(abi)(abi) 6 i ,即 3abi 6 i ,故 f

24、( z) f( 2 i)2( 2 i)(2 i) 3i 6 4i .【點評】復(fù)數(shù)的共軻與模長的相關(guān)運算性質(zhì):設(shè)z x yi (x,y R)的共腕復(fù)數(shù)為z,則zz為實數(shù) z z z2 0z2z2 ;z為純虛數(shù)z20 z z 0(z 0);對任意復(fù)數(shù)有z z ；ziZ2ZiZ2;分2zZ2,特別地有z2(z)2；-z13 ；Z2Z22一z z z.J , II 乙z2| w 乙 z2 < z2z2 lz2以上性質(zhì)都可以通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計算進(jìn)行證明.2,【例29】已知虛數(shù) 為1的一個立方根，即滿足3 1,且 對應(yīng)的點在第二象限，證明_2并求工義工與的化【答案】0；1 _!i22【解析】

25、法一：X3 1 (x 1)(x2 x 1) 0,解得：x 1或 x - i .22由題意知1 i ,證明與計算略；22法二：由題意知3 1 ,故有(1)( 21) 021 0 .又實系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn)，故x2 x 1 0的兩根為：3由韋達(dá)定理有 一1 1 2.11112一2-331 一21213.1 -1222 1【點評】利用1.33n3n 13n 220可以快速計算i的性質(zhì)： 1,(n Z), 122些相關(guān)的復(fù)數(shù)的哥的問題.【例30若a0 a1a2 2 a3 3 I" a2n 2n 0(n N , a。, a1, a2 , a2nR ,求證：a0 a3 a6 川 & ad

26、a?Ill a2a5a8III設(shè) A a° a3 a6I”, B a a4a?仙 C a2 a5 a8 J”,則有A B C 2 0,即A B 1苧C 苧0,【例31 2A B C235(b c)解得A B C ,即a。a3a6III a1a4a7IIIa2a5a8設(shè)z是虛數(shù)，w1是實數(shù)，且1 z(1)求z的值及z的實部的取值范圍;(2)(3)的最小值.(1) zz的實部的取值范圍是1-,12；(3) 1.1bi a bi因為w是實數(shù)，b0,所以a2b2于是 w 2a ,1 w 2a 2 ,所以z的實部的取值范圍是2bibF21 a bi 1 a1 a bi (1因為所以u為純虛數(shù).

27、【例32 (3)因為2u 2ab2(a 1)2所以a1 ，即 a 0 時, a 12a1 a2(a0,1)22a2a2 (aw u2取得最小值對任意一個非零復(fù)數(shù)z ,定義集合M z w| w z2n 1, nN(1)設(shè) 是方程x 1 我的一個根，試用列舉法表示集合 x(2)設(shè)復(fù)數(shù)Mz ,求證：M M【答案】(1) M 工(1 i),0(1 i),史(1 222【解析】(1) ; 是方程x -點的根， x1 (1 i)或 2 且(1 i),2 2當(dāng) 1 包(1 i)時，； i ,12n 12i 1 i 12 ； .、, M ) (1 i)1 11112當(dāng) 2 條1 i)時，: 22 i ,M 2

28、爭1 i)，爭1 i)，爭12 222M 苧1 i)，乎(1 i)，苧(1 222(2) V Mz ,存在m N ,使得于是對任意 nN, 2n 1z(2m 1)(2n 1由于(2m 1)(2n 1)是正奇數(shù)， 2n 1【例33】已知復(fù)數(shù)z0 1 mi(m 0) , z x yi和w彳1i) ； (2)略(12)n in .1 1，爭1 i)，爭1 i)，苧1 i),2 i)，子。i) .i)，爭1 i)；2m 1Z .Mz ,. M Mz .x yi ,其中x, y, x , y均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z,有w zo z , |w 2 z .(1)試求m的值，并分別寫出x和y用

29、x, y表示的關(guān)系式;(2)將(x, y)作為點P的坐標(biāo)，(x , y)作為點Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點 Q .當(dāng)點P在直線y x 1上移動時，試求點P經(jīng)該變換后得到的點 Q的軌跡方程；(3)是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由.【答案】(1) x '-島；(2) y (2x 2點2； y 3x y(3)這樣的直線存在，具方程為y"x或y J3x3【解析】(1)由題設(shè)，wzo，zo|z2 z ,zo2,于是由1 m2 4,且m 0,得m 73 ,因此由 x y i (1 qJ3i) (x yi) x 73y (J3x y)i ,得關(guān)系式xyx 3y3x y(2)設(shè)點P(x,y)