“外接球”與“內(nèi)切球”題型大全

1、“外接球”與“內(nèi)切球”題型大全目錄“外接球”與“內(nèi)切球''題型大全1一、正方體、長方體模型2常規(guī)正（長）方體的外接球2轉(zhuǎn)化為長（正）方體3二、直棱柱模型5直棱柱外接球6轉(zhuǎn)化為直棱柱7三、兩垂線定球心模型8四、一條垂線列方程模型12正三棱錐、正四棱錐、正四面體12確定一條垂線再列方程17五、其他18六、球與旋轉(zhuǎn)體的“接切”問題21七、內(nèi)切球2310一、正方體、長方體模型知識精講：球與正方體、長方體的“接切”:直接利用公式.常規(guī)正（長）方體的外接球4.（二星）（2016全國2卷文）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面 積為（A ）32（A） 12（B） ;r（C）8

2、i（ D ） 4乃15 .（二星）（2017全國2文）長方體的長,寬，高分別為321 ,其頂點都在球。的球面 上,則球。的表面積為.解：球的直徑是長方體的體對角線,所以2R = >/32 +22 + 1 =gs = 47H = 14兀1 .棱長分別為2、力、"的長方體的外接球的表面積為（）A . 4nB . 12兀C . 24兀D . 48幾解：設(shè)長方體的外接球半徑為H ,由題意可知：（2與2 =2?+（/+（"，則：N=3 ,該長 方體的外接球的表面積為5 = 472=471x3 = 1271 .本題選擇B選項.2 .長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為,求它的外接球

3、的表面積。答案：外接球半徑R22 .半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓上，若正方體 的一邊長為人求半球的半徑.3 .長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為"J5,JT5求它的外接球表面積.L已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4 ,體積為16 ,則這個球的表面積是( )A . 16兀B . 207rC . 24兀D . 32兀解：v = a2h = 6 , a = 2 , 4/?2 =«2+«2+ /2 =4 + 4 + 16 = 24 , S = 24花，故選 C .11.表面積為324加勺球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積轉(zhuǎn)化

4、為長（正）方體知識精講：2.若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為6 ,則其外接球的表面積是解：4R = 3 + 3 + 3 = 9 , S = 4tiR2 = 97r .11.由球。的球面上一點尸作球的兩兩互相垂直的三條弦P4P8, PC ,已知 PA = 3cm, PB = 2瘋7小PC = 瓜 m ,求球。的表面積和體積。16 .如圖，在邊長為2的正方形A48K中，邊耳鳥,ER的中點分別為3 , C .現(xiàn)將,ABgC , ACP#分別沿AB , BC ,。折起使點。一 g ,乙重合，重合后記為點P ,得到三棱錐P-ABC .則三棱錐尸-ABC的外接球體積為.府1.（三星）已知48,CO

5、四點在半徑為孚的球面上,且 乙AC = BD = 5,AD = BC = 5/41,AB = CD ,則三棱錐。一A3C的體積是 解:由題意，構(gòu)造長方體，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐。-4笫,如圖所示,設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,102 + 力4 02 = 50+ 廬=25,a + J = 41解得 « = 4,d=3,c = 5二.三棱錐 D 一 ,43C的體積是 V= 4x3x5 - 4x: x: x4x3x5 = 20 J L故答案為20.16.（四星）（2018廣州市調(diào)研理）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的 是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為

6、 . 117T解析如圖所示，該幾何體為三棱錐E-FGH。EH “G的外接圓直徑2/=, .sui 乙 EFG 所以，外接球半徑R =Q泮)2 % $)2 =等, 該三棱錐的外接球表面積=4兀肥=117； 方法二：建系.16 .在三棱錐A-5C。中，AB = AC , DB = DC , AB+DB = 4 f ABLBD ,則三棱錐A-BC。外接球的體積的最小值為解：如圖所示，三棱推A-38的外接圓即為長方體的外接圓，外接圓的直徑為長方體的體對角線4),設(shè) AB = AC = x ,那么 O3 = £>C = 4-x , AB1BD ,所以AD =。AB2 + DB?.由題意z

7、體積的最小值即為4)最小，AD = x2+(4-X)2 ,所以當(dāng)x = 2時,4)的最小值為2忘,所以半徑為無，故體 積的最小值為號.二、直棱柱模型知識精講：棱柱與球的接切：主要是找到球心，利用垂徑定理來接半徑。直棱柱外接球7.（二星）（全國）直三棱柱ABC-AiBiCi的各頂點都在同一球面上， 若48 =4。=明=2, NBAC = 120。，求此球的表面積.解：在 ABC 中AB二AC二2ZBAC=120" >可得BC=26，由正弦定理，可得AABC外接圓半徑廠2 ,設(shè)此圓圓心為0,，球心為0,在RTAOBO'中/易得球半徑R二病，曲此球的表面積為4由邑2cL13.

8、棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是.解：由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為=9一477Mx二=2" ,2 sin600 2 73T則外接球的半徑R =行（22 =歷亙=&T ,則外接球的表面積為s = 47rA2 = 4兀x 21 = 84冗.15 .已知三棱柱A8C-A8C的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為/ , AB = 2 , AC = , N5AC = 60° ,則此球的表面積等于.解：,.三棱柱ABC-A4G的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為。，AB = 2 , AC = ,Z4C = 60° , .,.-x2xlxsi

9、n60ox=>/3 , /.AA = 2 ,V BC2 = AB2 + AC2- 2 AB AC cos 600 = 4 +1 - 2 , :.BC = >j3 ,設(shè)少比外接圓的半徑為A ,則*=2/? , /./? = 1 fsin 60°外接球的半徑為 g = Q，球的表面積等于4nx（O=8冗.故答案為舐.io.（二星）一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1 ,頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（）D(A) 20k(B)駕 (C) 5n(D)半3o2 .設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為2途,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A

10、. 12兀B . 28kC . 44兀D . 607r解：設(shè)底面三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得：2/=學(xué)，則，=2 , sin600設(shè)外接球半徑為R，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑於=(6)2+22=7 ,外接球的表面積s = 4派2 =28兀.本題選擇B選項.轉(zhuǎn)化為直棱柱6.(二星)已知S,A,8,C是球。的表面上的點，SA1平面ABC , AB 1BC,SA = AB = , 4c = &，則球0的表面積等于. 4乃 5 .三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的表面上，AB_L平面BCQ , BC = BD = 2 ,A8 = 2C£> = 41 ,則球O的表面

11、積為（）DA . 16兀B . 327rC . 60兀D . 647r22 +22 -（273）21解：因為 30 = 30 = 2 , CD = 26 t 所以cosNC5O =一=- # /.ZCBD = ,2x2x223因此三角形8。外接圓半徑為:上斤=2 ,2 sinZCBD設(shè)外接球半徑為H ,則配=22+；¥ ； =4 + 12 = 16 , S=4nR2 = 64tt ,故選D .1 .(三星)已知四面體P A3C中，PA = 4,AC = 2",P3 = 4C = 2>/IPAJ_平面PBC，則四面體P - ABC的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.解：由題意

12、，已知PA，面PBC, PA=4, PB二802禽，AO2 匕,所以，由勾股定理得到：AB=2v，PC=2，9，所以，aPBC為等邊三角形，aABC為等腰三角形，等邊三角形PBC所在的小圓的直徑PD=_Y3_二4,s 加 60。那么，四面體P-ABC的外接球直徑2R=，16 + 16=4，爹,所以，R=2，2,VP-ABC= : Sapbc-PA- ； T2-4=4 瓜,oo 4表面積s二 2/3 42+ yl -12+1-2 73 巧二16 E, 242IQ設(shè)內(nèi)切球半徑為，那么4，至二:V6v3，所以所以四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比 上二處!.2/216三、兩垂線定球心模型1

13、1 .（三星）（全國理）已知三棱錐S-48C的所有頂點都在球。的球面上，A45C是邊長為 1的正三角形，SC為球。的直徑,且SC = 2 ,則此棱錐的體積為（）A.#B.#C.qD.總6632解：方法一：因為SC是直徑，所以“J_AC,S8_L8c ,而AC = 8C = 1 ,所以R/M4C三用AS3C ,從而有ZSCA = ASCB，所以S在面ABC上的射影落在ZAC3的平分線上。設(shè)S在面ABC上的射影為E ,乙4cB的平分線與A3的交點為。，連接SD,SE,CD，則E在CD上。因為A43C是邊長為1的正三角形，所以4） = 08 = ；,。=£。由54=5歸=>/1/1。

14、=。3可得5£>>145。在 RASA。中，由=3AH可得3與設(shè)。J ,則慮邛 + x，從而有宓=吁7 =卜（豐+ » ,可得 = £ ,故SE = * ,所以11 2遙石/ 加3”& 3346方;去二：解；根據(jù)題意作出圖形；設(shè)球心為。，過ABC三點的小圖的圓心為。1，貝gOi 平面ABC， 延長CO交球于點D，則SD J平面ABC.-CO = Jl, 1 3 23-oo1= l2-（£）2=, '-高 SD=200i=， ABC是邊長為1的正三角形， '5且 3C =亨，.'E三棱椎S-ABC告x不孚半15.

15、（二星）已知三寸贏 A-8c。中 z A8J_ 平面 8。，BC LCD.BC = CD = l,AB = 4i ,則該三 棱錐外接球的體積為O15 .（二星）已知三棱錐 ABCD 中，BCLCD , AB=AD=a/E z BC=1 f CD=6 ,則該三棱錐外接球的體積為. t3kd解：BC±GD, BC=1, CD=6，DB=2又因為AB二AD二支，.ABD是直角三角形./ 取DB中點0,則OA=OB=OOOD=1B / o dJ0力三棱錐外接球的球心，外接圓的半徑為R，/.該三棱錐外接球的體積為年兀r3爭，故答案為：告1r.3 .把邊長為3的正方形A3CD沿對角線AC對折，使

16、得平面ABC _L平面ADC ,則三棱錐 O-/伊。的外接球的表面積為（C ）A . 32兀B . 27兀C . 1871D . 9兀解：把邊長為3的正方形A3CD沿對角線AC對折，使得平面ABC_L平面ADC , 則三棱錐。-/記。的外接球直徑為人。=3霹，外接球的表面積為4冗/?2=8汽,故選C .15.（三星）已知在直角梯形ABCD中，A8 _L AD, CD J_ AD, AB = 2AD = 2CD = 2將已知在直 角梯形沿AC折鎏成三棱錐,當(dāng)三棱錐。-ABC體積取最大值時其外接球的體積9 .（三星）如圖,在/$（?中，AB = BC =而,ZABC = 90°，點。為A

17、C的中點，將犯沿8。折起到尸蛆的位置，使PC = PD ,連接尸C ,得到三棱錐P-3CZ）.若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上,則該球的表面積是（）A . 7nB . 5nC . 3兀 D .兀解：由題意得該三棱錐的面PC。是邊長為0的正三角形，且BO_L平面PCO ,設(shè)三棱錐P-的外接球的球心為。,“8外接圓的圓心為O-貝UOO一面PCQ，四邊形。QO8為直角梯形，由0 ,缶。=1 ,及OB = OD，得OB = W，外接球半徑為氏=4，.該球的表面積S=4*=4兀x2 = 7tt.故選A. 415.（四星）九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬； 將四個面都為

18、直角三角形的三棱錐稱之為鱉臊.若三棱錐P-A8C為鱉臊，0A，平面ABC, PA = A3 = 2, AC = 4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為（C ）（A ） 8萬 （B ） 124（C ） 20乃（D ） 24乃四.一條垂線列方程模型知識精講：畫出球心所在的截面,然后列方程求解.正三棱錐,正四棱錐,正四面體3.（三星）正四面體ABCD的棱長為a ,求其內(nèi)切球半徑7,與外接球半徑R.5.如圖所示，在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2 , NDAB=60。，E為AB的中點z將ADE與心BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積.

19、5.（三星）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，求圖中三角形的面積.解：棱長為2的正四面體ABCD的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球 心的一個截面如圖為AEF，則圖中AB=2, E為AB中點，貝“EFDC，在 ADCE 中，DE=EC="，DC=2，“EF二巨三角形ARF的面積是1.（四星）若半徑均為廠的四個球，每個球都與其他三個球外切，另有一個半徑為1的小球 與這四個球都外切，則這個球的半徑，為.6+ 215 .把半徑為R的四個球壘成兩層放在桌面,下層放三個，上層放一個，兩兩相切，求上層小 球最高點離桌面的距離.16 .四個半徑為R的大球上

20、層一個，下層三個兩兩相切鎏放在一起，在它們圍成的空隙內(nèi)有 一個小球與這四個大球都外切，另有一個更大的球與這四個大球都內(nèi)切，求小球的半徑I和 更大球的半徑RL11.（三星）在三棱錐A - BCD中，底面BCD為邊長為2的正三角形,頂點A在底面BCD 上的射影為BCD的中心，若E為BC的中點，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為 2丘,則三棱錐A - BCD外接球的表面積為（）A、37：B、4乃C、5D、6乃解：定點A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心z而且底面BCD是正三角形，三棱錐A - BCD是正三棱錐，.二AB=AC=AD ,令底面三角形BCD的重心（即中心）為P , .底面BCD

21、為邊長為2的正三角形，DE是BC邊上的高，.DE=VJ , /.PE= , DP= 33 直線AE與底面BCD所成角的正切值為2五,即tan/4FP = 2應(yīng).一2瓜 AP= r3 ，AD2=AP2+DP2 （勾理），.*.AD=2 ,于是 AB=AC=AD=BC=CD=DB=2 , 三棱錐為正四面體，構(gòu)造正方體，由面上的對角線構(gòu)成正四面體，故正方體的棱長為V2，正方體的對角線長為" , 外接球的半徑為g外接球的表面積=4兀P=6兀12. （ 2019全國1卷理）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC , .43C是邊長為2的正三角形，E ,尸分別是刈,PB的

22、中點，nCE尸 =90。，則球。的體積為（）D. y/bnA. 8娓rB. 45/6zrC. 2限九解：法一：PA = PB = PC, A4BC為邊長為2的等邊三角 形，.，-ABC為正三棱錐，：.PBVAC ,又E ,尸分別為PA、AB中點，s.EFUPB , :.EFLAC ,又EFtCE ,CEAAC = C, :.EF PAC ,尸8_L平面尸4c ,4PAB = 90°,. PA = PB = PC = & ,P-ABC 為正方體一部分，2R = J2 + 2 + 2 = #，即R =:.V =+tiR' = ±笈乂勺直 = «ti 故

23、選 D .2338法二.設(shè)PA = PB = PC = M , £/分別為PAAB中點，s.EFUPB , S.EF = -PB = x , A8C為邊長為22的等邊三角形，.CF = x/3XZC£F = 90°:.CE = yl3 , AE = -PA = x2AAEC 中余弦定理 cos ZEAC = ' 4 0 '），作 1 'J 2x2xxBPD1ACTD f -PA = PC ,2x2 + 1 = 2 ./=:工=”,:.PA = PB = PC = y/2 , XAB=BC=AC=2 , PB . PC 兩兩垂直，2R = V

24、2 + 2 + 2 = x/6 , :.R = ,：.V = tcR' = 7ix 6=«ti t 故選 D.io6.（三星）正四棱錐P-A8co底面的四個點ABC。在球。的同一個大圓上，點P在球面 上，如果VpTSCO =!，求球。的表面積答案：16乃14.已知棱長都相等正四棱推的側(cè)面積為16/ ,則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為解：設(shè)正四棱錐的棱長為。，則4苧2卜6",解得“ =4 .于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖從必丫的內(nèi)切圓，其中的=4 , PM =PN = 2/ . .PE = 2>j2 .設(shè)內(nèi)切圓的半徑為一由AP缶"八得等二篇，即尹宏， 內(nèi)

25、切球的表面積為S = 4兀產(chǎn)=4兀（而一/=（32-16x/3）tt .8.已知正四棱推P-A3C£>（底面四邊形ABC。是正方形，頂點P在底面的射影是底面的中心） 的各頂點都在同一球面上,底面正方形的邊長為何,若該正四棱錐的體積為手,則此球 的體積為（）A . 1871B . 8x/6C . 36兀D . 32后解：如圖，設(shè)正方形A3CQ的中點為石z正四棱錐P-A3a）的外接:底面正方形的邊長為M，二區(qū)=6 z.正四棱錐的體積為? z .Vp_CD=lx(Vio)2xP£= JJJ貝"七=5 一.0E = |5-R| ,在zMOE中由勾股定理可得：（5-7

26、?+5 =/，解得r = 3，,咻=力川=36冗，故選C . 34.（三星）正四棱錐的底面邊長為4,側(cè)棱長為"，,求它的外接球的體積.答案：R = 三 ； wZ確定一條垂線再列方程15.（三星）三®1一/18。中 z 平面 PACJ,平而A5c , PA = PC = AB = 26 t AC = 4 ,ABAC = 3 ,若三棱18 - A3。的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積1.(四星)在三才蹄尸一A3C 中,PA = PB = AC = BC = 2,AB = 2>/3,PC = 1 M3P-ABC的外接球的表面積為.亨9.（四星）在三解P43C中，PA_

27、L 平面ABC , ZBAC=60 f AB = AC=2 , PA = 2,則三棱錐P - ABC的外接球的表面積為（）AA.207 B.24乃C . 287 D . 32710. （ 2018全國3卷理）設(shè)A，8, C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，A45C為等邊三角形且其面積為96 ,則三棱錐ABC體積的最大值為BA . 12JJ B . 18/C . 24JJD . 54/ 3已知三棱錐夕-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面八43。滿足8A = 8C =而，ZABC = -,若該三棱推體積的最大值為3 ,則其外接球的體積為（D ） 2I aA . 8kB . 16兀C . n

28、D . ji33解：因為“8C是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是r = lxV12=V3 ,設(shè)外接球的半徑是A ,球心。到該底面的距離4 ,如圖,貝！S.8C=；X6 = 3 , BD = O ,由題設(shè)1/ = ； SBch =工 x 6 = 3 t 3o最大體積對應(yīng)的高為S£> = /? = 3，故我I/+3 ,即R2=（3-R）2+3 ,解之得R = 2 ,所以外接球的體積是成、卑，故答案為D.五、其他16 .（二星）（2017全國1卷文）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球o的直徑.若平面SCA_L平面SCB , SA=AC , SB=BC ,三棱錐

29、S-ABC的體積為9 ,則球O 的表面積為.【解析】取SC的中點。，連接。兒。3因為 =所以 QHJ_SC08_LSC因為平面S4CJL平面SBC所以Q4_L平面S8C設(shè)Q4二產(chǎn)1 1 1 1 ,'-1sBe 二1 x S、然, x OA = - x - x 2r x /為 r 二;產(chǎn)所以產(chǎn)=9 n ”3 ,所以球的表面積為4* = 36歷(8 )(三星)已知球。的半徑為R , A、B, C三點在球。的球面上,球心。到平面ABC的距離 為Lr , AB = AC = 2 , ZBAC = 120°,則球。的表面積為()2小 164 16- 64znx 64(A)兀(B)冗(C

30、)冗(D)冗93931。(二星)已知A. 3.。是球O的球面上三點，三棱錐O-ABC的高為2魚，且ABC = 60° , AB=2 , BC=4 ,貝J球 O 的表面積為.487T16 .(四星)在正三棱錐V-ABC內(nèi),有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合,且與正三 棱錐的三個側(cè)面都相切，若半球的半徑為2 ,則正三棱錐的體積最小時,其高等于 . 23解析本題主要考查空間幾何體。根據(jù)題意，設(shè)正三棱錐的高1第=工，底面三角形A8C的邊3上的高。=30。= %,設(shè)半球與平面IY8切于點從 所以lEOsANW,所以/ =累，即三，整理得,所以三棱 EO OD 2 r/z2 -4錐的體積|，=

31、建建2何x3“x_r=vMz=%。對體積函數(shù)求導(dǎo)，得叫空二富 令 1八一）得唯一正解?=2行；根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性可知=2、分是體積函數(shù)的極小值點，所以 正三棱錐體積最小時，其高等于2仃。故本題正確答案為26。6.如圖A8C。- A8CQ是邊長為1的正方體，S - ABCD是高為1的正四棱錐，若點S ,4一 8 G # R在同一個球面上，則該球的表面積為（人 9A 7116B青c16D.316解：如圖所示，連結(jié)AG , BR,交點為M ,連結(jié)SM ,勾股定理有：t 即：（2-+=x2 ,解得：9易知球心O在直線SM上，設(shè)球的半徑R = QS=x ,在RtZXOW片中，由則該球的表面積S=4=

32、4"= .本題選擇D選項. 8,16六、球與旋轉(zhuǎn)體的“接切”問題知識精講：旋轉(zhuǎn)體與球的接切：畫出軸截面（球心所在的大圓），列方程解半徑。14.（二星）已知球。的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則球。的表面積為.既1.（二星）如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比是（）C.9:4A.4:3B,3:lC.3:2解析:作軸截面，設(shè)球半徑為，則 A0=2QD =，.ZBAO=300.'AE=25朋=心，%勉=冗乂 TSr x 2、石廠=6叱06錐側(cè)6球二32選C.1.（二星）已知高與底面直徑之比為2:1的圓柱內(nèi)接于球，且圓柱的體積為500乃,則球的體積為.解析:設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為4