等差數(shù)列前n項(xiàng)和典型例題（課堂PPT）

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和第一課時復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入1. 等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義： 即即anan1 d (n2).2. 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式： (2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常數(shù)是常數(shù))(1) ana1(n1)d (n1).復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 幾種計算公差幾種計算公差d的方法的方法: 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入4. 等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)bAabaA,2 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時，高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天

2、文學(xué)家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說有一次老師出了一道題目，老師說: “現(xiàn)在給大家現(xiàn)在給大家出道題目出道題目: 1+2+100=?”過了兩分鐘，正當(dāng)大家過了兩分鐘，正當(dāng)大家在：在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦樂乎時，算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：高斯站起來回答說：“1+2+3+100=5050”教師問：教師問：“你是如何算出答案的？你是如何算出答案的？”高斯回答說：高斯回答說：“因?yàn)橐驗(yàn)?+100=101；2+99=101；50+51=101，所以，所以10150=5050”.“倒序相加倒序相加”法法 1+2+3+n=？ 解：記解：記 Sn= 1+2+3+n-

3、2+n-1+n則有則有 Sn= n+n-1+n-2+3+2+1；對應(yīng)相加得對應(yīng)相加得 : 2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+ +（n-1+2)+(n+1) =n(n+1) 則則Sn=倒序相倒序相加法加法1).2n n（1111()(2 )(1) nndSSaadadand由高斯算法的啟發(fā)，對于公差為 的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示 ：，()(2 )(1) nnnnnSaadadand1112)nnnnnSaaaaaa 個（1).nn aa（1).2nnn aaS（則100層層怎么求呢？怎么求呢？先補(bǔ)先補(bǔ)想：探求三角形面積想：探求三角形面積后分后分1 23100? 變：變：“知

4、三求二知三求二”【例【例1 1】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列aan n.(1)a(1)a1 1= a= a1515= S= Sn n=-5,=-5,求求n n和和d;(2)ad;(2)a1 1=4,S=4,S8 8=172,=172,求求a a8 8和和d.d.【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式解方程項(xiàng)和公式解方程. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）aa1515= +(15-1)d= = +(15-1)d= d=d=又又S Sn n=na=na1 1+ d=-5,+ d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）. .（2 2）由已知，得）

5、由已知，得S S8 8= = 解得解得a a8 8=39,=39,又又aa8 8=4+(8-1)d=39,d=5.=4+(8-1)d=39,d=5.5,63,2563,21.6n n121888 aa8 4a,22【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列aan n 中，已知中，已知a a6 6=10=10，S S5 5=5=5，求，求a a8 8. .【解析】【解析】方法一：設(shè)公差為方法一：設(shè)公差為d,d,aa6 6=10=10，S S5 5=5=5， 解得解得 a a8 8=a=a6 6+2d=16.+2d=16.方法二：設(shè)公差為方法二：設(shè)公差為d,d,SS6 6=S=S5 5+a+a6

6、 6=15=15，15= 15= 即即3 3（a a1 1+10+10）=15.=15.aa1 1=-5=-5，d= =3.ad= =3.a8 8=a=a1 1+ +（8-18-1）d=16.d=16.11a5d105a10d5，1a5,d3 166 aa2（），61aa5【例【例2 2】S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和，且項(xiàng)和，且S S1010=100=100，S S100100=10=10，求求S S110110. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】題目給出等差數(shù)列題目給出等差數(shù)列aan n 中的中的S S1010=100=100，S S100100=10=10，欲求

7、欲求S S110110，可由等差數(shù)列前，可由等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式列出方程組，求出項(xiàng)和公式列出方程組，求出a a1 1和和d d，然后求出，然后求出S S110110. .或由等差數(shù)列或由等差數(shù)列“片段和片段和”性質(zhì)性質(zhì)S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為k k2 2d d的等差數(shù)列求出的等差數(shù)列求出公差，然后求出公差，然后求出S S110110. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一方法一: :設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和為為S Sn n, ,

8、則則S Sn n=na=na1 1+ + 由已知得由已知得10-10-, ,整理得整理得d= d= 代入代入, ,得得a a1 1= =SS110110=110a=110a1 1+ =-110.+ =-110.故此數(shù)列的前故此數(shù)列的前110110項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為-110.-110.方法二：設(shè)方法二：設(shè)Sn=AnSn=An2 2+Bn+Bn100A+10B=100100A+10B=10010000A+100B=1010000A+100B=10，解得，解得A=-11/100A=-11/100，B=111/10B=111/10，S S110110=-110=-110n n1d.21110 910ad

9、1002100 99100ad10211,501 099.100110 109d21 099110 10911110()100250 方法四方法四: :數(shù)列數(shù)列S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差成等差數(shù)列數(shù)列, ,設(shè)其公差為設(shè)其公差為D,D,前前1010項(xiàng)和為項(xiàng)和為10S10S1010+ D=S+ D=S100100=10=10 D=-22,S D=-22,S110110-S-S100100=S=S1010+(11-1)D+(11-1)D=100+10=100+10(-

10、22)=-120.(-22)=-120.SS110110=-120+S=-120+S100100=-110.=-110.10 92方法三方法三: :Sn=Sn=1nmn m 1naanaa.22（）（）練習(xí)：練習(xí)：1 1、等差數(shù)列等差數(shù)列anan的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為SnSn，已知，已知S8=132S8=132，Sm=690Sm=690，Sm-8=270Sm-8=270（m m8 8），則），則m m為（）為（）2 2、等差數(shù)列等差數(shù)列 a ann的的前前m m項(xiàng)和為項(xiàng)和為3030，前前2m2m項(xiàng)和為項(xiàng)和為10100 0，前前3m3m項(xiàng)和為項(xiàng)和為（210210）知識點(diǎn)：知識點(diǎn)：等差數(shù)列前等

11、差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用 (1) (1)項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的“等和等和”性質(zhì)：性質(zhì)：S Sn n= = (2)(2)項(xiàng)的個數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)的“奇偶奇偶”性質(zhì)：性質(zhì)：等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中，公差為中，公差為d d：若共有若共有2n2n項(xiàng)，則項(xiàng)，則S S2n2n=n=n（a an n+a+an+1n+1）；）；S S偶偶-S-S奇奇=nd=nd；S S偶偶SS奇奇= a= an+1n+1aan n；1nmn m 1naanaa22（）（）若共有若共有2n+12n+1項(xiàng)，則項(xiàng)，則S S2n+12n+1= =（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶-S-S奇

12、奇=-a=-an+1n+1；S S偶偶SS奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段和片段和”性質(zhì)：性質(zhì)：等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中，公差為中，公差為d d，前，前k k項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為S Sk k，則，則S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為k k2 2d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .【變式【變式1 1】等差數(shù)列】等差數(shù)列aan n 中，中，a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，求，求S S1313. . 【解題提示解題提示】利用等差數(shù)列的性質(zhì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)S Sn

13、 n= = 【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1+a+a1313=a=a2 2+a+a1212=2a=2a7 7，又，又a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，所以，所以a a7 7=8=8，所以，所以S S1313= =13= =138=104.8=104.1nmn m 1naanaa.22（）（）11313 aa2（）【變式變式2 2】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列aan n 的前的前4 4項(xiàng)和為項(xiàng)和為2525，后，后4 4項(xiàng)和為項(xiàng)和為6363，前，前n n項(xiàng)和項(xiàng)和為為286286，求項(xiàng)數(shù)，求項(xiàng)數(shù)n.n.【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】題目給出前題目給出前4 4項(xiàng)和與后項(xiàng)和與后4 4項(xiàng)

14、和，可利用等差數(shù)項(xiàng)和，可利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的列項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的“等和等和”性質(zhì)：性質(zhì)：S Sn n= = 來求得來求得. .1nmnm 1naanaa22（）（）【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=25=25，a an-3n-3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n=63.=63.而而a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a=a4 4+a+an-3n-3，所以所以4 4（a a1 1+a+an n）=88=88，所以，所以a a1 1+a+an n=22=22，所以

15、所以S Sn n= =11n=286= =11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的項(xiàng)數(shù)為故所求的項(xiàng)數(shù)為26.26.1nnaa2（） 【奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)題組】第二課時【奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)題組】第二課時 例例4:4:等差數(shù)列等差數(shù)列anan中中 (1)(1)共有共有1010項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為1515，偶數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為3030，求，求公差公差d d； (2)(2)前前1212項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為354354，前，前1212項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為為32:2732:27，求公差，求公差d d (3)(3)前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為377377，項(xiàng)數(shù)

16、，項(xiàng)數(shù)n n為奇為奇數(shù)，且前數(shù)，且前n n項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為與偶數(shù)項(xiàng)和之比為7676，求中間項(xiàng)，求中間項(xiàng). . (4)(4)項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)數(shù)為2n+12n+1，若所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，若所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165165，偶數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為150150，求，求n n (5)S(5)S100100=45=45，d=1/2d=1/2，求，求a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999【3 3】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為377377，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)n n為奇為奇數(shù)，且前數(shù)，且前n n項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比

17、為7676，求中間項(xiàng)，求中間項(xiàng). .【解題提示】【解題提示】在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，若共有中，若共有2n+12n+1項(xiàng)，項(xiàng)，則則S S2n+12n+1= =（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶SS奇奇=n=n（n+1n+1）. .【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閚 n為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以 所以所以n=13n=13，所以，所以13a13a7 7=S=S1313=377=377，所以，所以a a7 7=29=29，故所求的中間項(xiàng)為故所求的中間項(xiàng)為29. 29. Sn17Sn16奇偶，第三課時第三課時【最值問題】【最值問題】【典例】（【典例】（1212分）在等差數(shù)列分）在等差數(shù)

18、列aan n 中，中，a a1 1=25=25，S S1717=S=S9 9，求，求S Sn n的最大值的最大值. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】題目給出首項(xiàng)和題目給出首項(xiàng)和S S1717=S=S9 9等條件，欲求等條件，欲求S Sn n的最大值可轉(zhuǎn)化的最大值可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，或利用通項(xiàng)公式為二次函數(shù)求最值，或利用通項(xiàng)公式a an n求求n n使得使得a an n0,a0,an+1n+10 0或利用或利用性質(zhì)求出大于或等于零的項(xiàng)性質(zhì)求出大于或等于零的項(xiàng). .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：設(shè)公差為方法一：設(shè)公差為d,d,由由S S1717=S=S9 9得得252517+ =2517+ =25

19、 3 3分分解得解得d=-2d=-2，66分分SSn n=25n+ =25n+ （-2-2）=-=-（n-13n-13）2 2+169+169， 9 9分分由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)n=13n=13時，時，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分17 17 1d2（）9 9 19d,2（）nn12（）方法二：先求出公差方法二：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分aa1 1=25=250,0,故故aan n 為遞減數(shù)列，由為遞減數(shù)列，由 得得 解得解得 9 9分分即即 又又nNnN* *當(dāng)當(dāng)n=13n=13時，時，S Sn n有最大

20、值有最大值S S1313=13=1325+ 25+ （-2-2）=169. =169. 1212分分nn 1a0a0252 n10,252n0（）1n1321n1221112n13 .221313 12（）方法三：先求出公差方法三：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分由由S S1717=S=S9 9，得，得a a1010+a+a1111+a+a1717=0=0，而而a a1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414，故故a a1313+a+a1414=0 =0 9 9分分d=-2d=-20

21、,a0,a1 10,a0,a13130,a0,a14140.0.故故n=13n=13時，時，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯錯誤的具體分析如下：對解答本題時易犯錯誤的具體分析如下：【即時訓(xùn)練】在等差數(shù)列【即時訓(xùn)練】在等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=50=50，d=-0.6.d=-0.6.（1 1）從第幾項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于零？）從第幾項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于零？（2 2）求此數(shù)列前）求此數(shù)列前n n項(xiàng)和的最大值項(xiàng)和的最大值. . 【解題提示】【解題提示】（）實(shí)質(zhì)上是解一個不等式，但要注意（）實(shí)質(zhì)上是解一個不等式，但要注意為正

22、整數(shù)；（）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值的問題為正整數(shù)；（）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值的問題【解析】【解析】（1 1）aa1 1=50=50，d=-0.6,d=-0.6,aan n=50-0.6=50-0.6（n-1n-1）=-0.6n+50.6.=-0.6n+50.6.令令-0.6n+50.60-0.6n+50.60，則，則n 84.3.n 84.3.由由nNnN* *, ,故當(dāng)故當(dāng)n85n85時，時，a an n0 0，即從第，即從第8585項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于0.0.50.60.6(2)(2)方法一：方法一：aa1 1=50=500 0，d=-0.6d=-0.60 0，由（由（1

23、 1）知）知a a84840 0，a a85850 0，SS1 1S S2 2S S3 3S S8484，且，且S S8484S S8585S S8686.（S Sn n）maxmax=S=S8484=50=5084+ 84+ （-0.6-0.6）=2 108.4.=2 108.4.方法二：方法二：S Sn n=50n+ =50n+ （-0.6-0.6）=-0.3n=-0.3n2 2+50.3n+50.3n=-0.3=-0.3（n- n- ）2 2+ + 當(dāng)當(dāng)n n取最接近于取最接近于 的自然數(shù)，即的自然數(shù)，即n=84n=84時，時，S Sn n取得最大值取得最大值S S8484=2 108.

24、4.=2 108.4.84 832nn12（）50362503.1205036【最值問題題組】【最值問題題組】 等差數(shù)列等差數(shù)列an中中 (1) a10，a2003+a20040，a2003a20040成立的最大自然數(shù)成立的最大自然數(shù)n是（是（ ） (2) 若若S190，S200，則，則S1a1，S2a2，S19a19中中最大的項(xiàng)是（最大的項(xiàng)是（ ） (3) a100，a110，且，且a11|a10|，使，使Sn0的的n的最小的最小值為值為（ ） (4) 已知已知|a3|=|a9|，d0，則使它的前，則使它的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn取得最大取得最大值的自然數(shù)值的自然數(shù)n等于（）等于（） (5) 公差公

25、差d0，若，若a4a6=24，a2+a8=10，則該數(shù)列的前，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最大值為（）的最大值為（） 性質(zhì)應(yīng)用 1、設(shè)數(shù)列an是項(xiàng)數(shù)為20的等差數(shù)列，公差dN+，且關(guān)于x的方程x2+2dx-4=0的兩個實(shí)根x1、x2滿足x11x2，則數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和的結(jié)果為（） 2、已知等差數(shù)列an中，前5項(xiàng)和S5=15，前6項(xiàng)和S6=21，則前11項(xiàng)和S11=（） 3、a1=2008，S2007/2007S2005/2005=2，求S20081.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，已知中，已知a a1 1=4=4，a a6 6=6=6，則前，則前6 6項(xiàng)和項(xiàng)和S S6

26、6= =（ ）（A A）70 70 （）（）35 35 （）（）30 30 （）（）1212【解析】【解析】選選S S6 6 3030166 aa64622（）（）2.2.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為S Sn n，若，若a a3 3a a17171010，則，則S S1919（ ）（）（）55 55 （）（）9595（）（）100 100 （）不能確定（）不能確定【解析】【解析】選選S S1919 959511931719 aa19 aa22（） （）檢測題檢測題3.3.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)a an n- -n n，則其前項(xiàng)和，則其前項(xiàng)和S Sn n_【

27、解析】【解析】a an+1n+1-a-an n- -，aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列a a1 1- -，- -，SSn n- - （- -）nn12（）251nn224.4.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為S Sn n，若，若a a2 2，a a3 3，則，則S S4 4_【解析】【解析】aa2 2=1=1，a a3 3，a a1 1- -，SS4 45.5.已知已知aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,a a1 1a a3 3a a5 5, ,a a6 6, ,求此數(shù)列前項(xiàng)的和求此數(shù)列前項(xiàng)的和【解析】【解析】設(shè)公差為設(shè)公差為d,ad,a1 1a a3 3a a5 59 9，

28、a a6 6，3a3a3 3=9,a=9,a3 3=3=3，aa6 6=a=a3 3+(6-3)d+(6-3)d，d=2,d=2,解得解得a a1 1=a=a6 6-5d=-1.-5d=-1.S6=6(-1)+30=24.解：解：由由7n100, 得得 1007n，即即214 .7n所以所以 n 14.所以集合中的元素為：所以集合中的元素為：7,72,73,714,這個數(shù)列是等差數(shù)列這個數(shù)列是等差數(shù)列, 記為記為 an ,a1=7, a14=98 . 因此，因此，1414 (7 98)735.2S 6、 求集合求集合M=m | m=7n, n N*,且且m0,d0，Sn有最大值有最大值(2)(

29、2)a10, Sn有最小值有最小值【例【例2 2】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列aan n 中，中，S S2 2=16=16，S S4 4=24=24，求數(shù)列，求數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和A An n. .【分析分析】先去絕對值號先去絕對值號如何如何判斷出判斷出an的正負(fù)？的正負(fù)？得先求出得先求出an方案：方案：1 1、先求、先求a an,2n,2、判斷、判斷anan的正負(fù)，的正負(fù)，3 3、分段求和、分段求和【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1，公差為，公差為d,d,由已知列方程組由已知列方程組解得解得a a1 1=9=9，d=-2d

30、=-2，aan n=11-2n.=11-2n.令令a an n00，得，得11-2n011-2n5.5.n5.5.設(shè)設(shè)S Sn n表示數(shù)列表示數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和，項(xiàng)和，當(dāng)當(dāng)n5n5時，時，a an n00，A An n=S=Sn n= =a1+a2+an=-n-n2 2+10n+10n；112 12ad162,4 34ad2426543210aaaaaa當(dāng)當(dāng)n6n6時，時，a an n00，A An n= =| |a1a1| |+ +| |a2a2| |+ +| |a3a3| |+ +| |a4a4| |+ +| |a5a5|+|+|a6a6|+|+|a7a7|+|+|+|an

31、an| |= =a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5-a-a6 6-a-a7 7-a-an n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5-(a-(a6 6+a+a7 7+a+an n) )=2(a=2(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5)-(a)-(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7+a+an n) )=2S=2S5 5-S-Sn n=2=2(-5(-52 2+50)-(-n+50)-(-n2 2+10n)+10n)=n=n2 2-10n+50-1

32、0n+50AAn n= =22n10n,n5.n10n50,n6小結(jié)：小結(jié)：1、先求、先求an,2、判斷、判斷an的正負(fù)，的正負(fù)，3、分段求和、分段求和【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=-60,a=-60,a1717=-12,=-12,求數(shù)列求數(shù)列|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. . 【解析解析】設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d d，則，則d= =3,d= =3,aan n=a=a1 1+(n-1)d=-60+(n-1)+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.3=3n-63.由由a an n0,0,得得3n-633n-630

33、 0，即，即n n21.21.當(dāng)當(dāng)n=21n=21時，時，a a2121=0.=0.數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前2020項(xiàng)是負(fù)數(shù)，第項(xiàng)是負(fù)數(shù)，第2020項(xiàng)以后的項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)項(xiàng)以后的項(xiàng)都為非負(fù)數(shù). .1711260aa17 116 設(shè)設(shè)S Sn n,S,Sn n分別表示數(shù)列分別表示數(shù)列aan n 和和|a|an n|的前的前n n項(xiàng)之和，項(xiàng)之和，當(dāng)當(dāng)n20n20時，時，S Sn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|an n|=-a|=-a1 1-a-a2 2-a-an n=-S=-Sn n=-=-60n+ -60n+ 3 3= = n n1223123nn;22當(dāng)當(dāng)n n20

34、20時，時，S Sn n=-S=-S2020+(S+(Sn n-S-S2020)=S)=Sn n-2S-2S2020=-60n+ =-60n+ 3-23-2(-60(-6020+ 20+ 3)3)n n1220 19223123nn1 260.22 數(shù)列數(shù)列|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 S Sn n=223123nn,n2022.3123nn1 260,n2022【例【例3 3】(12(12分分) )有兩個等差數(shù)列有兩個等差數(shù)列aan n ，bbn n ，其前，其前n n項(xiàng)和分別項(xiàng)和分別為為S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】由題目可知兩個數(shù)列都為等差數(shù)

35、列以及其前由題目可知兩個數(shù)列都為等差數(shù)列以及其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n和和T Tn n的比值，欲求的比值，欲求 的值，可充分利用等差數(shù)列前的值，可充分利用等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系的關(guān)系. .nnS7n2Tn3，55a.b55abnnST;n65mnnaaaaaa求求變式：求【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：方法一： 3 3分分 6 6分分 9 9分分 1212分分5555a2ab2b191919199 aaaa29 bbbb299S7 92T93 65.12方法二：因?yàn)榉椒ǘ阂驗(yàn)?3 3分分所以設(shè)所以設(shè)S Sn n=(7n+2)k

36、n=(7n+2)kn，T Tn n=(n+3)kn,k0, =(n+3)kn,k0, 6 6分分aa5 5=S=S5 5-S-S4 4=65k,b=65k,b5 5=T=T5 5-T-T4 4=12k, =12k, 9 9分分 1212分分nnS7n2Tn3，55a65k65.b12k12【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【訓(xùn)練】有兩個等差數(shù)列【訓(xùn)練】有兩個等差數(shù)列aan n ，bbn n ，其前，其前n n項(xiàng)和分別為項(xiàng)和分別為S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【解析】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得由等差數(shù)列的性質(zhì)得nnS2nT

37、3n1，2517228101216aaaa.bbbb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS2 22442.bbbbT3 22 1672221.1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2，則，則a a8 8的值為的值為( )( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)642.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a a1 1=35,d=-2,S=35,d=-2,Sn n=0,=0,則則n n

38、等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測3.3.數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a an n=11,d=2, S=11,d=2, Sn n=35,=35,則則a a1 1等于等于( )( )(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5 (C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-14.4.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，則，則S S5 5=_.=_.5.5.兩個等差數(shù)列兩個等差數(shù)列aan n 和和bbn n

39、的前的前n n項(xiàng)和分別是項(xiàng)和分別是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值. .nnS2n3T3n1，99ab3.3.數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a an n=11,d=2, S=11,d=2, Sn n=35,=35,則則a a1 1等于等于( )( )(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5(C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-1【解析】【解析】選選D.D.由已知得由已知得 從而從而a a1 1=3=3或或a a1 1=-1.=-1.11ad n111n n1nad352，4.4.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和

40、為項(xiàng)和為S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，則，則S S5 5=_.=_.【解析】【解析】S S5 5= =15.= =15.24155 aa5 aa5 6222（）1.1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2，則，則a a8 8的值為的值為( )( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析】【解析】選選A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a a1 1=35,d=-2,S=35

41、,d=-2,Sn n=0,=0,則則n n等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36【解析】【解析】選選D.SD.Sn n=na=na1 1+ =0,+ =0,35n-n(n-1)=0,35n-n(n-1)=0,得得n=36.n=36.n n1 d2當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測3.3.數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a an n=11,d=2, S=11,d=2, Sn n=35,=35,則則a a1 1等于等于( )( )(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5(C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-1

42、【解析】【解析】選選D.D.由已知得由已知得 從而從而a a1 1=3=3或或a a1 1=-1.=-1.11ad n111n n1nad352，4.4.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，則，則S S5 5=_.=_.【解析】【解析】S S5 5= =15.= =15.24155 aa5 aa5 6222（）5.5.兩個等差數(shù)列兩個等差數(shù)列aan n 和和bbn n 的前的前n n項(xiàng)和分別是項(xiàng)和分別是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值. .【解析】【解析】方法一方法一：方法二：因?yàn)榉椒ǘ阂驗(yàn)?所以設(shè)所以

43、設(shè)S Sn n=(2n+3)kn=(2n+3)kn，T Tn n=(3n-1)kn=(3n-1)kn，k0,k0,aa9 9=S=S9 9-S-S8 8=37k.=37k.b b9 9=T=T9 9-T-T8 8=50k.=50k.nnS2n3T3n1，99ab117991171179911717 aaa2aaa217(bbb2bbb2）1717S2 17337.T3 17 150nnS2n3T3n1，99a37k37.b50k50類型四：類型四：等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用 分析：分析：利用等差數(shù)列的知識解決實(shí)際問題的方法策略利用等差數(shù)列的知識解決實(shí)際問題的方法策略.

44、 .利用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題利用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題. .對于此對于此類有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對實(shí)際問題的研究建立數(shù)類有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對實(shí)際問題的研究建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出實(shí)際答案，一般可從以下幾步考慮：列的數(shù)學(xué)模型，最后求出實(shí)際答案，一般可從以下幾步考慮：【例【例4 4】從】從4 4月月1 1日開始，有一新款服裝投入某商場銷售日開始，有一新款服裝投入某商場銷售.4.4月月1 1日該款服日該款服裝售出裝售出1010件，第二天售出件，第二天售出2525件，第三天售出件，第三天售出4040件，以后每天售出的件件，以后每天售出的件數(shù)分別遞增數(shù)分別遞增1515件，直到件，直到4 4月月1212日日銷售量達(dá)到最大，然后，每天售出的日日銷售量達(dá)到最大，然后，每天售出的件數(shù)分別遞減件數(shù)分別遞減1010件件. .(1)(1)記從記從4 4月月1 1日起該款服裝日銷售量為日起該款服裝日銷售量為a an n, ,銷售天數(shù)為銷售天數(shù)為n,1n30,n,1n30,求求a an n與與n n的關(guān)系；的關(guān)系；(2)(2)求求4 4月份該款服裝的總銷售量；月份該款服裝的總銷售量；(3)(3)按規(guī)律，當(dāng)該商場銷售此服裝超過按規(guī)律，當(dāng)該商場銷售此服裝