12MATLAB矩陣及其運算

1、2.1 變量和數(shù)據(jù)操作 2.2 MATLAB 矩陣 2.3 MATLAB 運算 2.4 矩陣分析 第2章 MATLAB 矩陣及其運算 2.1 變量和數(shù)據(jù)操作變量和數(shù)據(jù)操作 2.1.1 變量與賦值 1變量命名 在MATLAB 6.5 中，變量名是以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，最多 63個字符。在MATLAB 中，變量名區(qū)分字母的大小寫。 2賦值語句賦值語句 (1) 變量=表達式 (2) 表達式 其中表達式是用運算符將有關運算量連接起來的式子，其結(jié)果是一個矩陣。 例例 計算表達式的值，并顯示計算結(jié)果。 在MATLAB 命令窗口輸入命令： x=1+2i; y=3-sqrt (17);

2、 z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y) 其中pi和i都是MATLAB 預先定義的變量，分別代表代表圓周率和虛數(shù)單位。 輸出結(jié)果是： z = -0.3488 + 0.3286i 2.1.2 預定義變量預定義變量 在MATLAB 工作空間中，還駐留幾個由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用 pi表示圓周率的近似值，用i，j表示虛數(shù)單位。 預定義變量有特定的含義，在使用時，應盡量避免對這些變量重新賦值。 2.1.3 內(nèi)存變量的管理 1內(nèi)存變量的刪除與修改 MATLAB 工作空間窗口專門用于內(nèi)存變量的管理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變量的屬性。當選中某些變量后

3、，再單擊 Delete按鈕，就能刪除這些變量。當選中某些變量后，再單擊Open 按鈕，將進入變量編輯器。通過變量編輯器可以直接觀察變量中的具體元素，也可修改變量中的具體元素。 clear命令用于刪除MATLAB工作空間中的變量。 who和whos這兩個命令用于顯示在 MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。 who命令只顯示出駐留變量的名稱 whos在給出變量名的同時，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。 2.1.4 MATLAB 常用數(shù)學函數(shù) 函數(shù)使用說明： (1) 三角函數(shù)以弧度為單位計算。 (2) abs函數(shù)可以求實數(shù)的絕對值、復數(shù)的模 (3) fix(0)、floor(-

4、Inf)、ceil(+Inf)、round (nearest) ，注意區(qū)別 (4)注意rem 與mod函數(shù)的區(qū)別 2.1.5 數(shù)據(jù)的輸出格式 MATLAB 用十進制數(shù)表示一個常數(shù)，具體可采用日常記數(shù)法和科學記數(shù)法兩種表示方法。 MATLAB 內(nèi)部每一個數(shù)據(jù)元素默認都是用雙精度數(shù)來表示和存儲的。 數(shù)據(jù)輸出時用戶可以用 format 命令設置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。format 命令的格式為： format 格式符 其中格式符決定數(shù)據(jù)的輸出格式 2.2 MATLAB矩陣矩陣 2.2.1 矩陣的建立 1直接輸入法 從鍵盤直接輸入矩陣的元素。 具體方法如下：將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各

5、元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。 2利用M文件建立矩陣 對于比較大且比較復雜的矩陣，可以為它專門建立一個M文件。 3利用冒號表達式建立一個向量利用冒號表達式建立一個向量 冒號表達式可以產(chǎn)生一個行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中e1為初始值，e2為步長，e3為終止值。 在MATLAB 中，還可以用linspace 函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為： linspace (a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一個和最后一個元素，n是元素總數(shù)。 顯然，linspace (a,b,n) 與a:(b-a)/(n-1):b 等價 2.2.2 矩陣的拆分矩陣的拆分

6、 1矩陣元素矩陣元素 通過下標引用矩陣的元素，例如：A(3,2)=200 2矩陣拆分 利用冒號表達式獲得子矩陣 A(:,j) 表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。 2.2.3 特殊矩陣 1通用的特殊矩陣 常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有： zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。 ones：產(chǎn)生全1矩陣(壹矩陣)。 eye：產(chǎn)生單位矩陣。 rand ：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機矩陣。 randn ：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣。 例 分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。 (1) 建立一個33零矩陣

7、。 zeros(3) (2) 建立一個32零矩陣。 zeros(3,2) (3) 設A為23矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。 A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個23階矩陣A zeros(size(A) % 產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣 例 建立隨機矩陣： (1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。 (2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。 命令如下： x=20+(50-20)*rand (5) y=0.6+sqrt(0.1)* randn (5) 2用于專門學科的特殊矩陣用于專門學科的特殊矩陣 魔方矩陣魔方矩陣 魔方矩

8、陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于兩條對角線上的元素和都相等。對于 n階魔方階魔方陣，其元素由陣，其元素由1,2,3,n2共共n2個整數(shù)組成。個整數(shù)組成。MATLAB 提供了求魔方矩陣的函數(shù)提供了求魔方矩陣的函數(shù) magic(n)，其功能是生成一個 n階魔方陣。 例 將101125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為 565。 M=100+magic(5) 2.3 MATLAB運算 2.3.1算術(shù)運算算術(shù)運算 1基本算術(shù)運算 MATLAB 的基本算術(shù)運算有： (加)、(減)、*(乘)、/(右除)

9、、(左除)、(乘方)。 注意，運算是在矩陣意義下進行的，單個數(shù)據(jù)的算術(shù)運算只是一種特例。 (1) 矩陣加減運算 假定有兩個矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實現(xiàn)矩陣的加減運算。運算規(guī)則是：若 A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運算，A和B矩陣的相應元素相加減。如果 A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB 將給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數(shù)不匹配。 (2) 矩陣乘法 假定有兩個矩陣A和B，若A為mn矩陣，B為np矩陣，則C=A*B為mp矩陣。 (3) 矩陣除法矩陣除法 在在MATLAB 中，有兩種矩陣除法運算：中，有兩種矩陣除法運算： 和和/，分，分別表示左除和右除。如果別表示左除和右除

10、。如果 A矩陣是非奇異方陣，矩陣是非奇異方陣，則則AB和和B/A運算可以實現(xiàn)。運算可以實現(xiàn)。AB等效于等效于A的逆左的逆左乘乘B矩陣，也就是矩陣，也就是inv(A)*B，而，而B/A等效于等效于A矩陣矩陣的逆右乘的逆右乘B矩陣，也就是矩陣，也就是B*inv(A)。 對于矩陣運算，一般 ABB/A。 (4) 矩陣的乘方 一個矩陣的乘方運算可以表示成 Ax，要求A為方陣，x為標量。 2點運算 在MATLAB 中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關算術(shù)運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有.*、./、.和.。兩矩陣進行點運算是指它們的對應元素進行相關運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。 2.3.2

11、關系運算 MATLAB 提供了6種關系運算符：(小于)、(大于)、=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學中的不等式符號不盡相同。 關系運算符的運算法則為： (1) 當兩個比較量是標量時，直接比較兩數(shù)的大小。若關系成立，關系表達式結(jié)果為 1，否則為0。 (2) 當參與比較的量是兩個維數(shù)相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標量關系運算規(guī)則逐個進行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。 (3) 當參與比較的一個是標量，而另一個是矩陣時，則把標量與矩陣的每一個元素按標量關系運算規(guī)則逐個比

12、較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。 2.4 矩陣分析矩陣分析 2.4.1 對角陣與三角陣 1對角陣 只有對角線上有非 0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為 1的對角矩陣稱為單位矩陣。 (1) 提取矩陣的對角線元素 設A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣 A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有 min(m,n)個元素的列向量。 (2) 構(gòu)造對角矩陣 設V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個mm對角矩陣，其主對角線元素即為向量 V的元素。 例例 先建立55矩陣A，然后將A的第一

13、行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;. 11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù) 2三角陣三角陣 三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。的一種矩陣。 (1) 上三角矩陣 提取矩陣提取矩陣A的上三角陣的函數(shù)是的上三

14、角陣的函數(shù)是triu (A)。 (2) 下三角矩陣 提取矩陣提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A) 2.4.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 1矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運算符是單撇號 () 。 2矩陣的旋轉(zhuǎn) 利用函數(shù)rot90 (A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當k為1時可省略。 3矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換， ，依次類推。MATLAB 對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr (A)。 4矩陣的上下翻轉(zhuǎn) MATLAB 對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud (A)。 2.4.3 矩陣的逆矩陣的逆 對于一個方陣A，如果存在一

15、個與其同階的方陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣) 則稱B為A的逆矩陣，當然， A也是B的逆矩陣。 求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB 中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù) inv(A)。 例2-11 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 Ax=b 其解為：x=A-1b 2.4.4 方陣的行列式 把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在MATLAB 中，求方陣A所對應的行列式的值的函數(shù)是 det(A)。 2.4.5 矩陣的秩與跡矩陣的秩與跡 1矩陣的秩 矩陣線性無關的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MAT