2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷文科

1、 2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1（5分）已知集合A=1，2，3，B=1，3，則AB=（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 22x+1=0”的（ 5分）“x=1”是“x ）2（ A充要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 2+2x3）的定義域是（x ）（3（5分）函數(shù)fx）=log 2A3，1 B（3，1） C（，31，+） D（，3）+（1， 年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如，則這組數(shù)據(jù)4（52013分）重慶市） 的中位數(shù)是（ A19

2、B20 C21.5 D23 5（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） DB CA =，則tan=（ ，tan（+）（65分）若tan= CDA B 的，且）則（|57（分）已知非零向量滿足|=4| 頁（共第119頁） 夾角為（ ） C D B A 8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（ ） D CA B =1（a0，b0）的右焦點(diǎn)是F59（，左、右頂點(diǎn)分別是分）設(shè)雙曲線A，A，過F做AA的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若ABAC，則該雙曲線222111的漸近線的斜率為（ ） ±D±1 ± B ±AC 且其面積等于表示的平面區(qū)

3、域?yàn)槿切危?分），若不等式組10（則m的值為（ ） DC1 A3 B3 把答案填寫在答題卡相應(yīng).255二、填空題：本大題共小題，每小題5分，共分.位置上 i2i1511（分）復(fù)數(shù)（+）的實(shí)部為 頁（共第219頁） 12（5分）若點(diǎn)P（1，2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為 cosC=，c且a=2，B，C的對(duì)邊分別為a，b，513（分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，3sinA=2sinB，則c= +的最大值為 b=5，a+ ，則 14（5分）設(shè)a，b0 2+2px+3p2=0上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x有兩（155分）在區(qū)間0，5個(gè)負(fù)根的概率為 三、解答題：本大題共6小題，共75分

4、，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 =項(xiàng)和Sa滿足=2，前316（12分）已知等差數(shù)列a 3n3（）求a的通項(xiàng)公式； n（）設(shè)等比數(shù)列b滿足b=a，b=a，求b前n項(xiàng)和T nnn4115117（13分）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 t時(shí)間代號(hào) 1 2 3 4 5 （千億元）儲(chǔ)蓄存款y 5 6 7 8 10 （）求y關(guān)于t的回歸方程=t+ （）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年（t=6）的人民幣儲(chǔ)蓄存款 附：回歸方程=t+中 2 xcossin2x=（1813分）已知函數(shù)

5、fx） ）的最小周期和最小值；（）求fx（ （）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，第3頁（共19頁） 時(shí)，求g（x）的值域得到函數(shù)g（x）的圖象當(dāng)x 23x=）在a+xR（x處取得極值19（12分）已知函數(shù)f（）=ax （）確定a的值； x，討論g（x（x）e）的單調(diào)性（）若g（x）=f ABC=，點(diǎn)，D、平面三棱錐PABC中，平面PACABC如圖，20（12分）E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EFBC （）證明：AB平面PFE （）若四棱錐PDFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng) 分）如題圖，橢圓=1（ab0）的左右焦點(diǎn)

6、分別為1321（F，F(xiàn)，且21過F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF 12 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程|=2|=2|+，PF|（）若PF 21 ，試確定橢圓離心率e的取值范圍|PQ=|PF，且|（）若 1 第4頁（共19頁） 2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1（5分）已知集合A=1，2，3，B=1，3，則AB=（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可 【解答】解：集合A=1，2，3，B=1，3，則AB=1，3 故選：C 【

7、點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查計(jì)算能力 22x+1=0”的（“x=1”是“x ）2（5分） A充要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 22x+1=0x【分析】先求出方程的解，再和x=1比較，從而得到答案 22x+1=0解：由x，解得：x=1，【解答】 22x+1=0”“x=1”是“x的充要條件，故 故選：A 【點(diǎn)評(píng)】本題考察了充分必要條件，考察一元二次方程問題，是一道基礎(chǔ)題 2+2x3）的定義域是（ x）=log（x ）（3（5分）函數(shù)f 2A3，1 ）3（，D ）+，13（，C ）1，3（B）（1+， 求得函數(shù)定義域【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0 203）

8、+（1x032x解：由題意得：【解答】x+，即（）x 3解得x1或x ）所以定義域?yàn)椋ǎ?，）（1+ 故選：D 5第19頁（共頁） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法屬簡(jiǎn)單題型高考?？碱}型 4（5分）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ） A19 B20 C21.5 D23 【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可 【解答】解：樣本數(shù)據(jù)有12個(gè)，位于中間的兩個(gè)數(shù)為20，20， 則中位數(shù)為， 故選：B 比本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵【點(diǎn)評(píng)】較基礎(chǔ) ） （5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ 5 C DB A 【分

9、析】利用三視圖判斷直觀圖的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可 【解答】解：由題意可知幾何體的形狀是放倒的圓柱，底面半徑為1，高為2，左側(cè)與一個(gè)底面半徑為1，高為1的半圓錐組成的組合體， =幾何體的體積為： 故選：B 本題考查三視圖的作法，組合體的體積的求法，考查計(jì)算能力【點(diǎn)評(píng)】 6第頁（共19頁） =，則tan=（ tan（+）6（5分）若）tan=， DC B A 【分析】由條件利用查兩角差的正切公式，求得tan=tan（+）的值 =，則tan=tan（+tan（）：【解答】解=tan=， =，= A故選： 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 ）則，且=4分）已

10、知非零向量|的|滿足7（5（） 夾角為（ DA B C ，于是得到非零向量的模與夾角【分析】由已知向量垂直得到數(shù)量積為0的關(guān)系，求出夾角的余弦值 ），設(shè)兩|=4【解答】（解：由已知非零向量|，且滿足| ，的夾角為個(gè)非零向量 ，0，所以，即）=0所以?（2=0cos= ；所以 故選：C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直的性質(zhì)運(yùn)用以及利用向量的數(shù)量積求向量的夾角；熟練運(yùn)用公式是關(guān)鍵 8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（ ） 第7頁（共19頁） D CA B 時(shí)不k=8s的值，當(dāng)【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k， s的值為滿足條件k8，退出循環(huán)，輸出 解：模擬執(zhí)行程序框圖，

11、可得【解答】 k=0，s=0 s=，k=2滿足條件k8 +，s=滿足條件k8，k=4 +8，k=6，+s=滿足條件k =+，滿足條件k8，k=8+s= s的值為不滿足條件k8，退出循環(huán)，輸出 D故選： 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題【點(diǎn)評(píng)】 ，左、右頂點(diǎn)分別是F0）的右焦點(diǎn)是（=1a0，59（b分）設(shè)雙曲線，則該雙曲線ACABAF做A的垂線與雙曲線交于，C兩點(diǎn)，若B，過A，A212112） 的漸近線的斜率為（ 198第頁（共頁） ±1 D AC± B±± ，），利用AB，），C（a），A（，0），B（cca【分析】求得A（，0112 ，可得

12、，求出Ca=b，即可得出A 2雙曲線的漸近線的斜率 ，），C（c），a0），B（c，【解答】解：由題意，A（a0），A（ 21，ACAB 21 ， ，a=b 雙曲線的漸近線的斜率為±1 故選：C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ) 且其面積等于，若不等式組，10（5分）表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則m的值為（ ） D1 C3A3 B 【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可 【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 若表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危?，得，即A（2由，0）， 則A（2，0）在

13、直線xy+2m=0的下方， 即2+2m0， 則m1， 第9頁（共19頁） 則A（2，0），D（2m，0）， ，解得，即B（1m，1+m由）， ，）（，解得，即C由 則三角形ABC的面積S=SS ADC ABCADB =|AD|yy| CB m）（1+=（2+2m =，m）（1+m）=（1+ =）×，1即（+m 2=4即（1）+m ，解得m=1（舍）m=3或 B故選： 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計(jì)算，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 11（5分）復(fù)數(shù)（1+2i）i的實(shí)部

14、為 2 2=1bi的形式，然后找出實(shí)部；注意i+利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)為【分析】a 第10頁（共19頁） 2=2+i，所以此復(fù)數(shù)的實(shí)部為2i）i=i+2i2；【解答】解：（1+ 故答案為：2 2=1本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)；注意i屬于基礎(chǔ)題【點(diǎn)評(píng)】 12（5分）若點(diǎn)P（1，2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為 x+2y5=0 【分析】由條件利用直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出該圓在點(diǎn)P處的切線的方程 ，解：由題意可得OP=和切線垂直，故切線的斜率為=【解答】 （x1），即 y故切線的方程為2=x+2y5=0， 故答案為：x+2

15、y5=0 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題 ，a=2，cosC=，b，c，且的對(duì)邊分別為設(shè)13（5分）ABC的內(nèi)角A，B，Ca3sinA=2sinB，則c= 4 【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理結(jié)合已知即可得解 【解答】解：3sinA=2sinB， 由正弦定理可得：3a=2b， a=2， 可解得b=3， ，又cosC= 222×=16，92由余弦定理可得：c=ab+2abcosC=4 解得：c=4 4故答案為： 屬于基礎(chǔ)題【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解

16、三角形中的應(yīng)用， 11第頁（共19頁） 的最大值為 3a+b=5 ，則+，14（5分）設(shè)a，b0 的最大值【分析】利用柯西不等式，即可求出 2 （1+1）（a+1+b）【解答】解：由題意，（+3）=18， ，的最大值為3 故答案為：3 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵 2+2px+3p，則方程x2=0有兩（5分）在區(qū)間0，5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p15 個(gè)負(fù)根的概率為 【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式組，解不等式組，由長(zhǎng)度之比可得所求概率 2+2px+3p2=0【解答】解：方程x有兩個(gè)負(fù)根等價(jià)于， 解關(guān)于p的不等式組可得p1或p2， 所求概率P

17、= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，涉及一元二次方程根的分布，屬基礎(chǔ)題 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 =2，前3項(xiàng)和S=16（12分）已知等差數(shù)列a滿足a 33n（）求a的通項(xiàng)公式； n（）設(shè)等比數(shù)列b滿足b=a，b=a，求b前n項(xiàng)和T nn4n1511【分析】（）設(shè)等差數(shù)列a的公差為d，則由已知條件列式求得首項(xiàng)和公差，n第12頁（共19頁） 代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案； （）求出，再求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的前Tn項(xiàng)和項(xiàng)和公式求得b前n nn，則由已知條件得：d的公差為解：（）設(shè)等差數(shù)列a【解答】 n ，解得 代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公

18、式得：； （）由（）得， ，從而q=2設(shè)b的公比為q，則 n 項(xiàng)和nb的前故 n【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題 17（13分）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表： 20102011201220132014年份 51324t時(shí)間代號(hào) 108675（千億元）y儲(chǔ)蓄存款 （）求y關(guān)于t的回歸方程=t+ （）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年（t=6）的人民幣儲(chǔ)蓄存款 附：回歸方程=t+中 第13頁（共19頁） +的回歸方程=t，b，即可求y關(guān)于t【分析】（）利用公式求出a （）t=6

19、，代入回歸方程，即可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款 【解答】解：（） ，=7.2由題意，=3， 2，=1205×3×7.2=12=555×3，=10 ，×3=3.6=1.21.2，=7.2 +3.6y關(guān)于t的回歸方程=1.2t 3.6=10.8×6+（千億元）（）t=6時(shí)，=1.2 本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題【點(diǎn)評(píng)】 2 18（13分）已知函數(shù)f（=sin2xxcosx） ）的最小周期和最小值；（xf（）求 ）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，x（）將函數(shù)f（ ）的值域（時(shí)，求gx（得到函數(shù)gx

20、）的圖象當(dāng)x 【分析】（）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x ），從而可求最小周期和最小值； xx）=sin（gxx），由（）由函數(shù)y=Asin（+）的圖象變換可得（ 的范圍，即可求得gx（x）的值域時(shí)，可得， 第14頁（共19頁） 2 （1+cos2xx=sin2xf（x）=sin2x=sincos（2x【解答】解：（） ，） =T=，最小值為：1f（x）的最小周期 =sin（x）（）由條件可知：g（x） ，從而sin時(shí)，有x（x）的值域?yàn)?，?dāng)x， ，（x的值域?yàn)椋?），那么sin， 上的值域是g（x，）在區(qū)間，故 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)

21、用，函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換，屬于基本知識(shí)的考查 23x=）在處取得極值（ax）=ax+xR19（12分）已知函數(shù)f（ 的值；a（）確定 x）的單調(diào)性x，討論g）=f（x）e（）若g（x 23fx=處取得極值，可得（aR）【分析】（）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x=ax）在+x 的值；（）=0，即可確定a x32）的單調(diào)性x=，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得（xg+x）e（）（）由（）得g（x 22x+）求導(dǎo)得（）對(duì)f（xf（x）=3ax【解答】解： 23處取得極值，+xx=（aR=axf（x）在 ，（）f=0 ，）+2?=0（3a? a=； 32x，e（x）+=（）由（）得g（x）x xx2x32，）ex

22、）（+4（x+x）e+=x（x1e2x=xg（）（x+）+ 令g（x）=0，解得x=0，x=1或x=4， 第15頁（共19頁） 當(dāng)x4時(shí)，g（x）0，故g（x）為減函數(shù)； 當(dāng)4x1時(shí)，g（x）0，故g（x）為增函數(shù)； 當(dāng)1x0時(shí)，g（x）0，故g（x）為減函數(shù)； 當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，故g（x）為增函數(shù)； 綜上知g（x）在（，4）和（1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（4，1）和（0，+）內(nèi)為增函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題 ABC=，點(diǎn)D、平面PAC平面ABC，（2012分）如圖，三棱錐PABC中，E在線段AC上，且AD=

23、DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EFBC （）證明：AB平面PFE （）若四棱錐PDFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng) 【分析】（）由等腰三角形的性質(zhì)可證PEAC，可證PEAB又EFBC，可證ABEF，從而AB與平面PEF內(nèi)兩條相交直線PE，EF都垂直，可證AB平面PEF =SABC，求得SEFBC可得AFE，由（）設(shè)BC=x，可求AB，SAFEABC AD=AE，可求S，從而求得四邊形DFBC的面積，由（）知PE為，由AFDABC =，由體積VDFBC的高，求得PE?PE=7S，即可解得線段四棱錐PDFBCDFBCPBC的長(zhǎng) 【解答】解：（）如圖，由DE=EC，PD=PC知

24、，E為等腰PDC中DC邊的中點(diǎn)，故PEAC， 又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE?平面PAC，PEAC， 第16頁（共19頁） 所以PE平面ABC，從而PEAB ABC=，EF因?yàn)锽C， ，故ABEF 都垂直，AB與平面PEF內(nèi)兩條相交直線PE，EF從而 所以AB平面PEF ，AB=ABC中，=（）設(shè)BC=x，則在直角 ，從而S=xAB?BC= ABC ，知ABC，得AFE由EFBC 2=故S）S，=，即（ ABCAFE =AD=AE=S，=，x由S=S AFDABCABC x=S=從而四邊形DFBCx的面積為：xS=SAFDABCDFBC 由（）知，PE平面ABC，所以PE為四棱錐PDFBC的高 =2=在直角PEC中，PE= =7?PE=x故體積VS=， DFBCPDFBC4222 x=3x=3或x0，可得36x+243=0，解得x=9或x=27，由于故得x BC=3所以：BC=3或 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直