高中數(shù)學(xué)競賽講義完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)一

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義+完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)(一)高中數(shù)學(xué)競賽講義（一）集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識定義1  一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例

2、如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。定義2  子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3  交集，定義4  并集，定義5  補集，若稱為A在I中的補集。定義6  差集，。定義7  集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1  集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），

3、其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2  加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理3  乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1  設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）若，則證明（1）因為，且，所以（2）假設(shè)，則存在

4、，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以（3）設(shè)，則（因為）。2利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2  設(shè)A，B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因為，所以，所以；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3分類討論思想的應(yīng)用。例3  ，若，求【解】依題設(shè)，再由解得或，因為，所以，所以，所以或2，所以或3。因為，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計數(shù)原理的應(yīng)用。例4  集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集

5、合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)?！窘狻浚?）集合I可劃分為三個不相交的子集；AB，BA，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5配對方法。例5 給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。【解】將I的子集作如下配對：每個子集和它的補

6、集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。6競賽常用方法與例問題。定理4  容斥原理；用表示集合A的元素個數(shù)，則，需要xy此結(jié)論可以推廣到個集合的情況，即定義8  集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個-劃分。定理5  最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6  抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一

7、個抽屜放有無窮多個元素。例6  求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)?！窘狻坑洠扇莩庠?，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個。例7  S是集合1，2，2004的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因為2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個

8、元素，另一方面，當(dāng)時，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。例8    求所有自然數(shù)，使得存在實數(shù)滿足：【解】  當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。下證當(dāng)時，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾，所以故當(dāng)時，不存在滿足條件的實數(shù)。（）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時，不存在滿足條件的實數(shù)。例9  設(shè)A=1，2，3，4，5，6，

9、B=7，8，9，n，在A中取三個數(shù)，B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合，求的最小值?！窘狻吭O(shè)B中每個數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不可能，所以20個中，B中的數(shù)有40個，因此至少是10個不同的，所以。當(dāng)時，如下20個集合滿足要求：1，2，3，7，8，   1，2，4，12，14，  1，2，5，15，16，  1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14，

10、0; 1，3，6，12，15，  1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11，   2，3，4，13，15，  2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10，   2，4，6，7，11，   2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9，    3，5，6，7，10，   4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以劃分成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)【解】設(shè)其中第個

11、三元集為則1+2+所以。當(dāng)為偶數(shù)時，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，有，所以，當(dāng)時，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為5。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1給定三元集合，則實數(shù)的取值范圍是_。2若集合中只有一個元素，則=_。3集合的非空真子集有_個。4已知集合，若，則由滿足條件的實數(shù)組成的集合P=_。5已知，且，則常數(shù)的取值范圍是_。6若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有_個。7集合之間的關(guān)系是_。8若集合，其中，且，若，則A中元素之和是_。9集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為_。10集合，則_。11已知S是由實數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1）若，則

12、。如果，S中至少含有多少個元素？說明理由。12已知，又C為單元素集合，求實數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1已知集合，且A=B，則_，_。 2，則_。3已知集合，當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是_。4若實數(shù)為常數(shù)，且_。5集合，若，則_。6集合，則中的最小元素是_。7集合，且A=B，則_。8已知集合，且，則的取值范圍是_。9設(shè)集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。10集合A和B各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：1）且C中含有3個元素；2）。11判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個點集，若對任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1已知

13、集合，則實數(shù)的取值范圍是_。2集合的子集B滿足：對任意的，則集合B中元素個數(shù)的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，則實數(shù)_。4已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則_。5集合，集合，則集合M與N的關(guān)系是_。6設(shè)集合，集合A滿足：，且當(dāng)時，則A中元素最多有_個。7非空集合，則使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數(shù)是_。9已知集合，問：當(dāng)取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結(jié)論如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。11S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個成立，并且

14、若，則，試確定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1是三個非空整數(shù)集，已知對于1，2，3的任意一個排列，如果，則。求證：中必有兩個相等。2求證：集合1，2，1989可以劃分為117個互不相交的子集，使得（1）每個恰有17個元素；（2）每個中各元素之和相同。3某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？4設(shè)是20個兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個不同的元素，求集合中不同元素個數(shù)的最小可能值。5設(shè)S是由個人組成的集合

15、。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。6對于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對于任何正整數(shù)，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互質(zhì)的元素。7設(shè)集合S=1，2，50，求最小自然數(shù)，使S的任意一個元子集中都存在兩個不同的數(shù)a和b，滿足。8集合，試作出X的三元子集族&，滿足：（1）X的任意一個二元子集至少被族&中的一個三元子集包含；（2）。9設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對A的任意一個14-分劃，一定存在某個集合，在中有兩個元素a和b滿足。高中數(shù)學(xué)精神講義（二）二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識1二次函數(shù)：當(dāng)0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函

16、數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當(dāng)a<0時，情況相反。3當(dāng)a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c>0及ax2+bx+c<0與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記=b2-4ac）。1）當(dāng)>0時，方程有兩個不等實根，設(shè)x1,x2(x1<x2)，不等式和不等式的解集分別是x|x<x1或x>x2和x|

17、x1<x<x2，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。3）當(dāng)<0時，方程無解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點。當(dāng)a<0時，請讀者自己分析。4二次函數(shù)的最值：若a>0，當(dāng)x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當(dāng)x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間m,n上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當(dāng)x0

18、m, n時，f(x)在m, n上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0<m時。f(x)在m, n上的最小值為f(m)；當(dāng)x0>n時，f(x)在m, n上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義1  能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注1  “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2 

19、原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2  原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3  反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3  如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例1  設(shè)方程x2-

20、x+1=0的兩根是，求滿足f()=,f()=,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】  設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知f()=,f()=相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因為方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因為f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。

21、例2  已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范圍?！窘狻?#160; 因為-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+f(3)×5+×4,所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3  已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x)=x也無實根。【證明】若a>0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開

22、口向上，所以對任意的xR,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x)>f(x)。所以f(f(x)>x，所以方程f(f(x)=x無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例4  設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0<x1<x2<,（）當(dāng)x(0, x1)時，求證：x<f(x)<x1；（）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對稱，求證：x0<【證明】因為x1, x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f

23、(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng)x(0, x1)時，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+<0，所以f(x)<x1.綜上，x<f(x)<x1.（）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0=,所以，所以5構(gòu)造二次函數(shù)解題。例5  已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大?！咀C明】  方程化為2a2x2+2a

24、x+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即>0，所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6  當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值?！窘狻縴=1-,令u,則0<u1。y=5u2-u+1=5,且當(dāng)即x=3時，ymin=.例7  設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】  由x2+bx-x(b

25、<-1)，得0x-(b+1).)-(b+1)，即b-2時，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。) ->-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問題的解法。例8  已知不等式組  的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。【解】  因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,若a0，則x1<x2.的解集為a<x<1-a，由得x>1-2a.因為1-2a1-a，所以a0,所以不等式組無解。

26、若a>0，）當(dāng)0<a<時，x1<x2,的解集為a<x<1-a.因為0<a<x<1-a<1，所以不等式組無整數(shù)解。）當(dāng)a=時，a=1-a，無解。）當(dāng)a>時，a>1-a，由得x>1-2a，所以不等式組的解集為1-a<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個，所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3，所以1<a2，并且當(dāng)1<a2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0，1。綜上，a的取值范圍是1<a2.8充分性與必要性。例9  設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-

27、x)+C(z-x)(z-y)0    對一切實數(shù)x,y,z都成立，問A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）【解】  充要條件為A，B，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA).先證必要性，可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20   若A=0，則由對一切x,y,zR成立，則只有B=C，再由知B=C=0，若A0，則因為恒成立，所以A>0，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，

28、即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再證充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，則由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A>0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分性得證。9常用結(jié)論。定理1  若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】  因為-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m>0，則-mxm等價于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+

29、b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證。定理2  若a,bR, 則a2+b22ab；若x,yR+,則x+y(證略)注  定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個命題中屬于真命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。2由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；p:3+2=6,q:p

30、:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|<a時，不等式|x2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是_.4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，則a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件，而-2<m<0且0<n<1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的_條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個，則m的取值范圍是_.8. R為全集，A=x|3-x4, B=, 則(CRA)B=_.9. 設(shè)a,

31、 b是整數(shù)，集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，點（2，1）A，但點（1，0）A，（3，2）A則a,b的值是_.10設(shè)集合A=x|x|<4, B=x|x2-4x+3>0，則集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12對任意x0,1,有成立，求k的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1若不等式|x-a|<x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是_.2使不等式x2+(x-6)x+9>0當(dāng)|a|1時恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_.4若集合A=x|x+7

32、|>10, B=x|x-5|<k，且AB=B，則k的取值范圍是_.5設(shè)a1、a2, b1、b2, c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_條件。6若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_.7已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_條件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的

33、取值范圍是_.9已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)<f(1+2x-x2)，求x的取值范圍。10已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 當(dāng)|x|1時，|f(x)|1,(1)求證：|c|1;(2)求證：當(dāng)|x|1時，|g(x)|2;(3)當(dāng)a>0且|x|1時，g(x)最大值為2，求f(x).11.設(shè)實數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a0,m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0<x0<1.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+3

34、<0的解集是_.2如果實數(shù)x, y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_.3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1），（3，5），f(0)>0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1，方程f(f(f)(x)=x有_個實根。5若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個實根，則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.7. 對一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒為非負(fù)實數(shù)，則的最小值為_.8函數(shù)f(x)=ax2+

35、bx+c的圖象如圖，且=b-2ac. 那么b2-4ac_4. （填>、=、<）9若a<b<c<d，求證：對任意實數(shù)t-1, 關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個不等的實根。10某人解二次方程時作如下練習(xí)：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1。證明：這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。11已知f(x)=ax2+bx+c在0，1上滿足|f(x)|1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)f

36、(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, a>100，試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個？2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。3設(shè)x1,x2,xna, a+1，且設(shè)x=, y=, 求f=y-x2的最大值。4F(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, 且|F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,則對于|x|1，求|F(x)|的最大值。5已知f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù)m，使得|f(m)|,|f(m+1)|,求=a2-4

37、b的最大值和最小值。6設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR, a0)滿足下列條件：1）當(dāng)xR時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；2）當(dāng)x(0, 2)時，f(x);3）f(x)在R上最小值為0。求最大的m(m>1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。8設(shè)a,b,A,BR+, a<A, b<B，若n個正數(shù)a1, a2,an位于a與A之間，n個正數(shù)b1, b2,bn位于b與B之間，求證：9設(shè)a,b,c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列條件

38、同時滿足的a, b, c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.高中數(shù)學(xué)競賽講義（三）函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1  映射，對于任意兩個集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f: AB為一個映射。定義2  單射，若f: AB是一個映射且對任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。定義3  滿射，若f: AB是映射且對任意yB，都有一個xA使得f(x)=y，則稱f: AB是A到B上的滿射。定義4  一一映射，若f: AB既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一

39、一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: AB。定義5  函數(shù)，映射f: AB中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若xA, yB，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為x|x0,xR. 定義6  反函數(shù)，若函數(shù)f: AB（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：

40、在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).定理1  互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。定理2  在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義7  函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2I并且x1< x2，總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為

41、D，且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的xD，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8  如果實數(shù)a<b，則數(shù)集x|a<x<b, xR叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合x|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集

42、合x|a<xb記作半開半閉區(qū)間（a,b，集合x|ax<b記作半閉半開區(qū)間a, b)，集合x|x>a記作開區(qū)間（a, +），集合x|xa記作半開半閉區(qū)間（-,a.定義9  函數(shù)的圖象，點集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f

43、(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。定理3  復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+）上是減函數(shù)，所以y=在（-,2）上是增函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法與例題1數(shù)形結(jié)合法。例1  求方程|x-1|=的正根的個數(shù).【解】分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。 例2  求函數(shù)f(

44、x)=的最大值?！窘狻?#160; f(x)=，記點P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。因為|PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。所以f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例3  設(shè)x, yR，且滿足，求x+y.【解】  設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實上，若a<b，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)遞增。由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=

45、1-y，所以x+y=2.例4  奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍。【解】  因為f(x) 是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)<f(a2-1)。又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。例5  設(shè)f(x)是定義在（-，+）上以2為周期的函數(shù)，對kZ, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當(dāng)xI0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式?！窘狻?#160; 設(shè)xIk，

46、則2k-1<x2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以當(dāng)xIk時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6  解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】  令m=3x-1, n=2x-3，方程化為m(+1)+n(+1)=0.     若m=0，則由得n=0，但m, n不同時為0，所以m0, n0.)若m>0，則由得n<0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=

47、)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。綜上，方程有唯一實數(shù)解x=3.配方法。例7  求函數(shù)y=x+的值域?！窘狻?#160; y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當(dāng)x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+）。4換元法。例8  求函數(shù)y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因為x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以該函數(shù)值域為2+，8。5判別式法。例9  求函數(shù)y=的值域?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng)y

48、1時，式是關(guān)于x的方程有實根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當(dāng)y=1時，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域為，7。6關(guān)于反函數(shù)。例10  若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)?！咀C明】設(shè)x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，則因為f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設(shè)矛盾，所以y1<y2。即y=f-1(x)在(-,+ )遞增。例11  設(shè)函數(shù)f(x)=，解方

49、程：f(x)=f-1(x).【解】  首先f(x)定義域為（-，-）-，+）；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x1<x2<-;=>0,所以f(x)在（-，-）上遞增，同理f(x)在-，+）上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，設(shè)x<y，則f(x)=y<f(y)=x，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因為x0，所以3x

50、4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY滿足：對任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_個。2給定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f為單射，則f有_個；若f為滿射，則f有_個；滿足ff(x) =f(x)的映射有_個。3若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_個交點。4函數(shù)y=f(x)的值域為，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_。5已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=ff(x)的值域為_。6已知f(

51、x)=|x+a|，當(dāng)x3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_。7設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_。8若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對稱。9函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_。10. 函數(shù)y=, x(1, +)的反函數(shù)是_。11求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在R上，對任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x2,3時，f(x)=x，則當(dāng)x-2,0時，求f(x)的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題1已知a,

52、 f(x)定義域是（0,1，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_。2設(shè)0a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_。3映射f: a, b, c, d1，2，3滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，這樣的映射f有_個。4設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，ff(x)=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_Q（填=、）。5下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=

53、；（4）y=6. 設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR且x0)，對任意非零實數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)0的解集為_。7函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)=y|y=f(x), xP, f(M)=y|y=f(x), xM，給出如下判斷：若PM=，則f(P) f(M)=；若PM，則f(P) f(M)；若PM=R, 則f(P) f(M)=R；若PMR，則f(P) f(M)R. 其中正確的判斷是_。8函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)= _。

54、9已知y=f(x)是定義域為-6，6的奇函數(shù)，且當(dāng)x0，3時是一次函數(shù)，當(dāng)x3，6時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x3，6時，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。10設(shè)a>0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為，（<），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求證：f(x)在，上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1, x2，求證：<2|-|. 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關(guān)于直線y

55、=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是_.2若a>0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.設(shè)函數(shù)f：RR滿足f(0)=1，且對任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=_.5已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= _.6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù)f(x

56、)=的奇偶性是：_奇函數(shù)，_偶函數(shù)（填是，非）。8. 函數(shù)y=x+的值域為_.9設(shè)f(x)=,對任意的aR，記V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求V(a)的最小值。10解方程組：（在實數(shù)范圍內(nèi)）11設(shè)kN+, f: N+N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對任意nN+, 有ff(n)=kn，求證：對任意nN+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x0, f(x)=x·f；（2）對所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設(shè)f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（）f(x)在（0，+）是增函數(shù)；()任意x>0, f(x)f=1，試求f(1).3. f:0,1R滿足：（1）