高三數(shù)學文湘教版一輪復習5年高考真題備考題庫函數(shù)模型及其應用

1、20092013年高考真題備選題庫第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用考點一函數(shù)模型的實際應用1（2013陜西，5分）在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為_(m)解析：本題主要考查構建函數(shù)模型，利用基本不等式求解應用問題的能力如圖，過A作AHBC于H，交DE于F，易知AFxFH40x.則Sx(40x)2，當且僅當40xx，即x20時取等號所以滿足題意的邊長x為20(m)答案：202（2013重慶，12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設建造成本僅與表面積有關

2、，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大解：本題主要考查導數(shù)在實際生活中的應用、導數(shù)與函數(shù)單調性的關系等基礎知識，考查轉化思想及分類討論思想(1)因為蓄水池側面的總成本為100×2rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元根據(jù)題意得200rh160r212000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)由h>0，

3、且r>0可得0<r<5，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)(2)由(1)知V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因為r25不在定義域內，舍去)當r(0,5)時，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當r(5,5)時，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8，即當r5，h8時，該蓄水池的體積最大3(2009·浙江，4分)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表高峰月用電量(單位：千瓦

4、時)高峰電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668低谷時間段用電價格表低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為_元(用數(shù)字作答)解析：高峰時段電費a50×0.568(20050)×0.598118.1(元)低谷時段電費b50×0.288(10050)×0.31830.3(元)

5、故該家庭本月用電量為ab148.4(元)4.(2011山東，12分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元設該容器的建造費用為y千元(1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.解：(1)設容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0<r2.所以建造費用y2rl×34r2c2r

6、15;(r)×34r2c，因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0<r<2.由于c>3，所以c2>0，當r30時，r.令m，則m>0.所以y(rm)(r2rmm2)當0<m<2即c>時，當rm時，y0；當r(0，m)時，y<0；當r(m,2)時，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點當m2即3<c時，當r(0,2)時，y<0，函數(shù)單調遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點綜上所述，當3<c時，建造費用最小時r2；當c>時，建造費用最小時r.考點二函數(shù)與其他知

7、識的交匯1（2013安徽，12分）設函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1)求I的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為)；(2)給定常數(shù)k(0,1)，當1ka1k時，求I長度的最小值解：本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導數(shù)的應用等，意在考查考生恒等變形能力和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力(1)因為方程ax(1a2)x20(a>0)有兩個實根x10，x2，故f(x)>0的解集為x|x1<x<x2因此區(qū)間I，I的長度為.(2)設d(a)，則d(a).令d(a)0，得a1.由于0<k<1，故當1ka<1

8、時，d(a)>0，d(a)單調遞增；當1<a1k時，d(a)<0，d(a)單調遞減所以當1ka1k時，d(a)的最小值必定在a1k或a1k處取得而<1，故d(1k)<d(1k)因此當a1k時，d(a)在區(qū)間1k,1k上取得最小值.2（2012陜西，14分）設函數(shù)f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)設n2，b1，c1，證明：f(x)在區(qū)間(，1)內存在唯一零點；(2)設n為偶數(shù)，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)設n2，若對任意x1，x21,1，有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范圍解：(1)證明：當b1，c1，n2時，f(

9、x)xnx1.f()f(1)()×1<0，f(x)在(，1)內存在零點又當x(，1)時，f(x)nxn11>0，f(x)在(，1)上是單調遞增的，f(x)在(，1)內存在唯一零點(2)法一：由題意知即由圖象知，b3c在點(0，2)處取到最小值6，在點(0,0)處取到最大值0，b3c的最小值為6，最大值為0.法二：由題意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，×2得62(bc)(bc)b3c0，當b0，c2時，b3c6；當bc0時，b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.法三由題意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，當b0，c2時，b3c6；當bc0時，b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.(3)當n2時，f(x)x2bxc.對任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等價于f(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：()當|>1，即|b|>2時，M|f(1)f(1)|2|b|>4，與題設矛盾