漩渦理論與勢流理論

1、Cha pter 4Vortex Theory and Poten tial Theory第四章漩渦理論與勢流理論流體由于具有易變形的特性，因此流體的流動要比剛體的運動復雜得多。在流 體運動中，有旋流動和無旋流動是流體運動的兩種類型。 由流體微團運動分析可知， 有旋流動是指流體微團旋轉角速度0的流動，無旋流動是指=0的流動。實際上,粘性流體的流動大多數(shù)是有旋流動。流體的無旋流動雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但 無旋流動比有旋流動在數(shù)學處理上簡單得多，因此，在流體力學中無旋流動的研究 具有重大的意義。對工程中的某些問題，在特定條件下對粘性較小的流體運動進行 無旋處理，用勢流理論去研究其運動規(guī)律，特別是

2、繞流物體的流動規(guī)律，對工程實 踐具有指導意義和應用價值。本章首先對流體微團的運動進行分析，同時得出無旋運動和有旋運動的概念。 然 后討論理想流體運動的基本方程和求解。在此基礎上本章側重討論旋渦基本理論和 平面勢流基本理論。4.1流體微團的運動分析在流體流動時，流體微團除了可以像剛體那樣平動和轉動之外，還伴有變形運動，如圖4-1所示。由于有變形運動，流體微團的旋轉也不像剛體轉動那樣簡單。 如果從流體微團中引 出若干條直線，它們的 旋轉角速度可以各不 相等，所以流體微團的 旋轉角速度是指過同 一點，若干條直線旋轉 角速度的平均值。y*Rukilion直轉由于流體所具有的易流動性，流體微團 即使是在

3、一個很小的 力的作用下，只要時間 足夠長，就可以發(fā)生足 夠大的變形。因此，在 對流體微團進行變形rinnskHii>n 平移near det(*nna(ii>n線變形AnmiLir detnniiaiiouFluid Llunicjit 流體做團Fig. 4-1流體微團運動運動分析時，不是看其變形量的大小，而是看其變形速度的大小。作為分析流體微 團運動的基本量，引入線變形速度，剪變形角速度和平均旋轉角速度。4.1.1線變形速度如圖4-2所示，首先考慮最簡單的一維流動情況。在 t時刻，在x軸上取一微 小線段AB= x,A點的速度為vx,按泰勒級數(shù)展開，B點的速度可表示為 經(jīng)過t時間之

4、后，AB線段運動到新的位置 A B。AB線段經(jīng)過t時間之后，其長 度的改變量為X.1 * AtAxifI事|di-,g十d*山）加Fig. 4-2 Lin ear Deformati on Velocity單位長度在單位時間內長度的改變量為(4.1)把x叫做線段AB的線變形速度。x是正值時為拉伸，負值時為壓縮。將上述推廣到三維空間的情況。三維空間 的流體微團，不僅具有x方向上的線變形速度，還有y方向和z方向上的線變形速 度。在三維空間中，流體微團的速度是空間坐標的函數(shù)，即所以，流體微團在x、y、z方向上的線變形速度分(4.2)下標X、y、z表示變形發(fā)生的方向。所以流體微團的線變形速度是單位長度

5、在 單位時間內長度的改變量。d;'IV V I 氓 AJ) d *估“）dy(1 +£ At) dz（1 *£山）山J + e, Al) djr（I +兀川2窩< t )C b)Fig. 4-3 Fluid Eleme ntDeformati on-44-3所示，圖（a）為初始狀態(tài)。作若在流場中取一平行六面體的流體微團，如圖為一種特殊情況，當時，流體微團變形之后仍為平行六面體，當時，為膨脹變形，變形如圖（b）所示，當時，為壓縮變形。當時，變形情況如圖（C）所示。對于不可壓縮流體，由于在變形過程中，體積不發(fā)生改變，所以有展開上式，并略去高階無窮小量，得(4.3a

6、) (4.3b)這就是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，與方程4.1.2剪變形角速度首先仍以最簡單的平面問題為例。如 圖4-4所示，圖中OACB為初始狀態(tài)的流體 微團。（3.29） 一致。廠,A經(jīng)過t時間之后，流體微團變形如圖4-4（ b）中虛線所示，0B邊轉過的角度； 0A邊轉過的角度為。4.1.3平均旋轉角速度Fig. 4-5在t時間內，流體微團中直角 AOB的改變量的一半為單位時間內改變量的一半為對于三維空間，類似有(4.4)上式就是流體微團的剪變形角速度。剪變形角速度是流體微團中某一直角的減 小速度的一半。下標x、y、z表示剪切變形發(fā)生面的法線方向。由于流體微團在運動過程中發(fā)生 變形，在流體微

7、團中某一點引出的若干 條直線所轉過的角度各不相等。流體微 團的旋轉，是指過同一點，若干條直線 旋轉的平均值，等于過該點的直角角平 分線轉過的角度。在圖4-4中，當= 時，角平分線沒有發(fā)生轉動，這是一種 純剪切運動狀態(tài)。作為一般情況，如圖 4-5所示，矩形OACB是初始位置。經(jīng) 過t時間之后，流體微團運動到 OA C B根據(jù)幾何關系，在t時間內， 角平分線轉過的角度單位時間內角平分線轉過的角度為將這一結果推廣到三維空間，則有(4.5)上式就是流體微團的平均旋轉角速度三個分量表達式?？蓪⒎匠?4.5)用矢量式表示為(4.6)流體微團在運動過程中，可同時發(fā)生線變形運動，剪切變形運動和旋轉運動。 而線

8、變形速度、剪變形角速度、平均旋轉角速度分別是度量這三種運動的特征量。 Exa mple 4.1It is known that the velocity distributi on of a planar flow field isAn alyze the deformati on and rotati on happen duri ng the motio n of fluid eleme nt. 例4. 1已知平面流場的速度分布為試分析流體微團在運動過程中所發(fā)生的變形與旋轉。Solutio n:Lin ear deformatio n velocity解：線變形速度An gular vel

9、ocity of sheari ng deformati on剪變形角速度Average an gular rotat ing velocity平均旋轉角速度4.2理想流體的有旋流動和無旋流動4.2.1有旋流動和無旋流動的定義流體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團本身是否旋轉來決定的。流體在流 動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉運動，則稱為有 旋流動。如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉運動，則稱為無 旋流動。這里需要說明的是，判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動，僅僅由流體 微團本身是否繞自身軸線的旋轉運動來決定，而與流體微團的運動軌跡無關。在圖 4-6(

10、a)中，雖然流體微團運動軌跡是直線，但微團繞自身軸線旋轉，故它是有旋流動; 在圖4-6(b)中，雖然流體微團運動軌跡是圓形，但由于微團本身不旋轉，故它是無 旋流動。004hlrTPlLitionLil Flow無旋流動Fig. 4-6 Rotati onal and Irrotati onal Flow速度場是一個矢量場，根據(jù)矢量場的旋度的概念，速度矢量的旋度為將上式與平均旋轉角速度相比較，得(4.7)所以，平均旋轉角速度不僅是分析流體微團在運動過程中旋轉運動的特征量, 也是判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動的標準。判斷流體微團無旋流動的條件是：流體中每一個流體微團都滿足對于無旋流動=0or

11、或rotv=0對于有旋流動0 or或rotv 0422旋渦的基本概念在第三章我們給出了描述速度場的流線、流管、流量等基本概念。速度場和旋 渦場都是體現(xiàn)流動特征的矢量場，因此，描述速度場和旋渦場的基本概念之間，具 有對應的關系。例如速度場（V） 速度 流線 流管旋渦場（） 平均旋轉角速度 渦線 渦管這樣，就很容易理解旋渦的一些基本概念了。1.渦線某一瞬時的渦線是這樣的一條曲線，在該曲線上 各點的平均旋轉角速度矢量與該曲線相切，如圖4-7 所示。與流線一樣，在定常流場中，渦線的形狀保 持不變，在非定常流場中，渦線的形狀是變化的。 類似流線方程，渦線的方程可寫為Fig. 4-7 Vortex Lin

12、e2. 渦管在旋渦場中通過任一不是渦線的封閉曲線的 每一點作渦線，這些渦線所形成的管狀表面稱為 渦管，如圖4-8所示。3. 渦束截面積無限小而強度（渦通量）為有限值的 渦管。cFig. 4-8 Vortex Bun4.2.3速度環(huán)量為了進一步了解流場的運動性質，引入流體力學中重要的基本概念之一 度環(huán)量。在流場中任取封閉曲線K，如圖4-9所示。速度j 速度沿封閉曲線K的環(huán)量，簡稱速度環(huán)量，用 表示，速.8)式中在封閉曲線上的速度矢量；速度與該點上切線之間的夾角。速度環(huán)量是個標量，但具有正負號。 速度環(huán)量的正負不僅與速度方向有 關，而且與積分時所取的繞行方向 有關。通常規(guī)定逆時針方向為K的 正方向

13、，即封閉曲線所包圍的面積 總在前進方向的左側 示。當沿順時針方向應加一負號。實際上， 表征的是流體質點沿封閉 動的總的趨勢的大小，或 映的是流體的有旋性。由于4.2.4旋渦強度ig.4-9 Velocity Circulation和則代入式（4.8），得(4.9)V,淚須閉曲線的連廈11不量4-7所 式(4.8)F. +沿封閉曲線K的速度環(huán) 旋流動之間有一個重要的關系， 以平面流動為例找出這個關系。 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩 形封閉曲線，其面積A=dxdy ,流體在A 點的速度分量為 Vx和vy，貝U B、C和D點 的速度分量分別如下： dr 1Q"w1輕V +=b1B

14、AVleiocify Ci/rtiktr/tfii tjioE/eruc t itutyfiectangie Path沿餓矩比的速S師量ex3眄Fig. 4-10于是，沿封閉曲線反時針方向 ABCDA的速度環(huán)量(4.5)的第三式,將點的速度值代入上式，略去高于一階的無窮小各項，根據(jù)方程 得(4.10)然后將式(4.10)對面積積分，得(4.11)上式即為所謂的反映速度環(huán)量與旋轉角速度之間關系的斯托克斯定理，其表明:沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內所有的旋轉角速度的面積積分的二倍，稱 之為旋渦強度I，即或式中n 在微元面積dA的外法線n上的分量。(4.12)由式(4.8)可導出另一個表示有旋

15、流動的量，稱為渦量，以表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個矢量。它在z軸方向的分量為疋對于流體的三維流動，同樣可求得 x和y軸方向渦量的分量。于是得(4這意味著，在有旋流動由此可見，在流體流 流動。如果在一個流動 速度環(huán)量都等于零，則如果渦量的三處的渦量分量區(qū)域內的流動一有旋在此舉兩個簡單的例子來說明速度環(huán)量 和旋渦強度的物理意義，以及有旋流動和無 旋流動的區(qū)別。Exa mple 4.2As shown in Fig. 4-11, a flow rotates coun terclockwise like a rigid body at an gular velocity . Find

16、 velocity circulation along a closed curve in the flow field, and dem on strate the flow is rotati onal flow.例4.2 個以角速度按反時針方向作像 剛體一樣的旋轉的流動，如圖4-11所示。試 求在這個流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并 證明它是有旋流動.Fig. 4-11Exam pie 4.2Solutio n:Randomly take two circles of radius nand r2 in flow field, their velocities are andrespect

17、ively, velocity circulation along the circumfereneeABCDA of the sector area highlighted by in cli ned lines is 解：在流場中對應于任意兩個半徑r1和r2的圓周，其速度各為 沿圖中畫斜線扇形部分的周界 ABCDA的速度環(huán)量It is obvious that flow in the regi on is rotati on al. Since the sector area is可見，在這個區(qū)域內是有旋流動。又由于扇形面積Thus上式正上結論可用于圓內任意區(qū)域內。VAo radint,o

18、rse prreThe above equati on is just a dem on strati on of Stocks theorem, and the con clusi on may be popu larized to any regi on in the circle.Exa mple 4.3 A planar point O, the m at each point is that is shown in Fig. circulati on of a clos and an alyze the flotates cone of perily aboutvelocity/4于

19、是例4.3 流體繞0點作同心圓的平面流動，流場中各點的圓周速度的大小與該點 半徑成反比，即，其中C為常數(shù)，如圖4-12所示。試求在流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情況。Solutio n:The velocity circulati on along the boun dary of the sector area is解：沿扇形面積周界的速度環(huán)量Fig. 4-12Exam pie 4.3It can be see n that flow in this regi on is irrotati on al. This con clusi on may be popu larized

20、to any area that does not in clude the circle cen ter O, such as ' '' A'.lf the area in cludes point 0( r=0), since its velocity is infin ite, it should be dis po sed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumferenee of radius r可見，在這區(qū)域內是無旋流動。這結論可

21、推廣適用于任何不包圍圓心0的區(qū)域內，例如A'B'C'D''若包有圓心(r=0)，該處速度等于無限大，應作例外來處理。 現(xiàn)在求沿半徑r的圓周封閉曲線的速度環(huán)量The above expression circumfere ntial curve in flow fie flow is rotati on al. But the velo in clude point O must equal zero sin gular point.上式說明，繞任何一個圓周的流 所以是有旋流動。但凡是繞不包括圓 圓心0點處必有旋渦存在，圓心是strates that no

22、t be zer irculatio n centeelocity circulation along any quals a con sta nt, therefore the any circumfere nee that does not isolated vortex point, and is called量都不等于零，并保持一個常數(shù), 圓周的速度環(huán)量必等于零，故在 ,稱為奇點。4.3無旋流動的速度勢函數(shù)如前所述，在流場中流體微團的旋轉角速度在任意時刻處處為零，即滿足的流動為無旋流動，無旋流動也稱為有勢流動。4.3.1速度勢函數(shù)引入由數(shù)學分析可知，是成為某一標量函數(shù)全微分的充分必要條

23、件。則函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。因此，也可以說，存在速度勢 函數(shù) 的流動為有勢流動。根據(jù)全微分理論，勢函數(shù)的全微分可寫成于是有(4.15)按矢量分析(4.16)對于圓柱坐標系，則有(4.17)從而從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動還 是非定常流動，只要滿足無旋流動條件，必然存在速度勢函數(shù)。4.3.2速度勢函數(shù)的性質1.不可壓縮流體的有勢流動中 將式(4.15)代入到不可壓縮流體式中數(shù)為拉普拉斯算方程，是調和函數(shù)。，則有(4.18)X為拉普拉斯方程，所以在不可壓流體的有勢流動中，速度勢必定滿足拉普 函數(shù)，在數(shù)學分析中稱為調和函數(shù)，所以速從上可見，在不可壓流體的有勢流動

24、中，拉普拉斯方程實質 特殊形式，這樣把求解無旋流動的問題，就變?yōu)榍鬂M定邊 斯方程的問題。12.任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端I 形狀無關。根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線m立斯方程的程的一種 的拉普拉而凡是滿 是一個調和函這樣，將求環(huán)量問題，變?yōu)榍?若A點和B點重合，速度勢函數(shù)是 度環(huán)量等于零，即曰差，而與曲線的3.等勢面與流線垂直將流場中速度勢相等的點連接起來, 流動中，稱為等勢線。在等勢面上為等勢面。在平面勢函數(shù)值之差的問題于任意封寸閉曲線，(封閉曲線的速(X, y, Z) = C因為代入上式，得(4.19)因為dl是等勢面上的有向線段，所以上式說明4.速度勢在任何方向上的偏導數(shù)，等于速度

25、在該根據(jù)數(shù)學上方向導數(shù)的概念，速度勢 在任意方所以與流線垂直。的投影 的方向4.4平面流動的流函數(shù)4.4.1流函數(shù)的引入對于流體的平面流動，其流線的微分在不可壓縮流體的平面流動中，速度場:1函數(shù)稱為流場的流函數(shù)。由式(4.2|可由式(4.22)，令d =0，即=常數(shù)，可 (x,y)=常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)彳或簇。由數(shù)學分析可知，式(4.21 )是 表示該函數(shù)，則有改寫成下列形式(4.20)呈，(4.23)由此，只1.對于不可壓縮流體的平面流動，流函數(shù)將式(4.23)代入式(4.21),得即流函數(shù)永遠滿足連續(xù)性方程。ble fluid, strea足拉普拉斯方程,對于平面無旋流動，因

26、為將式(4.23)代入上式，得給定流場中某一固定點的坐標(xo,yo)代入流函數(shù)，便可得到一條過該點的確定 的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場。對于極坐標系，方程(4.22)與(4.23)可寫成(4.24)(4.25)在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢一樣，可由曲線積分得出。至此可看到，在不可壓縮平面流動中，只要求出了流函數(shù)(x,y)，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流動滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程， 論流場是否有旋，流動是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù)。這里需說明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動時成立。對于三維

27、流動，不 存在流函數(shù)，但流線還是存在的。4.4.2流函數(shù)的性質數(shù)也是調和函，則永遠滿足連續(xù),ion satisfiesT2. For planar potential flow of inco Lap lace' equatio n, and is a harm onic func對于不可壓縮流體的平面勢流，流函 數(shù)。It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies LapI acesequati on, and is a harm onic fu

28、n cti on.可見，不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù) 也滿足拉普拉斯方程，也是一個調和函數(shù)。因此，在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可以轉化為求解一個滿 足邊界條件的拉普拉斯方程。3.平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的 流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。如圖4-13所示，在兩流線間任取一曲線 AB，則通過曲線AB單位厚度的體積 流量為(4.26)由式(4.26)可知，平面流動中兩條流線間單位寬度通過的流量等于這兩條流線上 的流函數(shù)之差。4.4.3和的關系1.滿足柯西-黎曼條件如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時存在著速度勢和流函數(shù)，比較 式

29、(4.15)和式(4.23)，可得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關系這是一對非常重要的關系式，在高等 數(shù)學中稱作柯西-黎曼條件。因此， 和互為共軛調和函數(shù)，這就有 可能使我們利用復變函數(shù)這樣有 力的工具求解此類問題。當勢函數(shù)和流函數(shù)二者知 其一時，另一個則可利用式(4.27) 的關系求出，而至多相差一任意常 數(shù)。(4.27)Fig. 4-14 Flow Net1.流線與等勢線正交式(4.27)是等勢線簇(x,y)=常數(shù)和流線簇(x,y)=常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場中繪出相應的一系列流線和等勢線，貝尼們必然構成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)， 如圖4-14所示。Exa mple 4.4Veloci

30、ty distribution of an incompressible planar flow is.Fi nd :(1) whether there exist stream fun ctio n and velocity poten tial in the planar flow; (2) the expressions of and if they do exist; (3) if the absolute pressure at point A(1m, 1m) in the flow field is 1.4 >105Pa, density of the fluid is 1.

31、2kg/m3, what is the absolute p ressure at point B(2m, 5m)?例4.4有一不可壓流體平面流動的速度分布為。(1)該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)；(2)若存在，試求出其表達式；(3)若在流場中A (1m, 1m)處的絕對壓強為1.4 X05Pa,流體的密度1.2kg/m3,貝U B (2m, 5m)處的絕對 壓強是多少？Solutio n:(1) From continuity equation of incompressible planar flow解由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程The flow meets con ti nui

32、ty equati on, thus there exist stream fun ctio n.該流動滿足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)。For planar flow,對于平面流動,and because，又因為So the flow is irrotati on al, there exist velocity poten tial fu該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。(2) According to the total differential of stream function, we o由流函數(shù)的全微分得：By in tegrati on, we have積分，得Accord ing to

33、 the total differe ntial of velocity poten tial , we obta in由速度勢函數(shù)的全微分得：By in tegrati on, we have積分，得Exa mple 4.5Assume velocity distributio n of a planar flow isFind: (1) whether it satisfies continu ity equati on; (2) velocity poten tial ; (3) stream fun cti on例4.5設平面流動的速度分布為求：（1）是否滿足連續(xù)方程；（2）速度勢；（

34、3）流函數(shù)。Solutio n:(1) Si nee 由于The flow satisfies con ti nu ity equati on.流動滿足連續(xù)方程。/x =x=(2) For planar flow, x= y=0. 對于平面流動，x= y=0。So the flow is irrotati on al, th potential :所以流動是無旋流動，存在速Take in tegral p ath as show n in sec ond term on the right-ha nd side is con sta nt, thus取積分路徑如圖4-15所示，上式 為常數(shù)，所

35、以(3) Since continuity equation is satisfied, there must exist stream function . Because the in tegratio n is independent of in tegral p ath, we may take the same in tegral p ath show n in Fig. 4-15.因為滿足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)。由于積分與路徑無關，可以取圖4-15 相同的積分路徑。Exa mple 4.6Stream function of incompressible planar flow

36、is =5xy, (1) Prove the flow is a poten tial flow, the n find velocity poten tial fun cti on; (2) Fi nd velocity at point (1,1); (3) If pressure at point (1, 1) is 105Pa, the density of the fluid is =1000kg/m3. Find the p ressure at the stag nati on point in flow field.例4.6不可壓縮平面流場的流函數(shù)為=5xy，( 1)證明流動有

37、勢，并求速度勢函數(shù)；(2)求(1,1)點的速度(單位為m/s);( 3)如果點(1,1)的壓強為105Pa, =1000kg/m3。 試求流場中的駐點壓強。Solutio n:(1) Si nee解： 因為And because the flow istwo-dime nsio nalflow, x=0, y=0,therefore the flow is potential flow, there existvelocity poten tial fun cti on.,故流動為有勢又因為是平面流動，x= y=0,流動，存在速度勢函數(shù)。(2)velocity components at po

38、int (1, 1) are v=5(m/s) and vy=-5(m/s)(1，1)點的速度分量為 vx=5(m/s), vy=-5(m/s)(3) Suppose pressure at the stagnation point is po, from Bernoulli ' equation for incomp ressible fluid, we obta in設駐點的壓強為P0，由不可壓縮流體的伯努利方程，得4.5基本平面勢流及其疊加4.5.1直均流所謂直均流，就是流體質點以相同的速度相互平行地作等速直線運動。如圖4-16所示，取流體運動方向為ox軸，其速度分布為Vx=V0

39、，Vy=0.因為=vox所以是無旋運動，存在速度勢(4.29)當=常數(shù)時，x=常數(shù)，所以等勢線是 x = C的一族與y軸平行的直線 口圖4-16 中的虛線所示。將速度分布函數(shù)代入人連續(xù) 因為滿足存在流函數(shù)=V0y(4.30)當=常數(shù)時，y=常數(shù)，所以流線是平4.5.2源和匯如果在無限平面上流體不斷從一 流動稱為點源，這個點稱為源點，如圖 均勻地從各方流入一點，則這種流動稱 顯然，這兩種流動的流線都是從原點 都只有徑向速度Vr?，F(xiàn)將極坐標的原點Fig. 4-16 Parallel Flow 軸的直線族，如圖4-16中箭頭線所示。這個點稱勺放射線，即從原點或匯點,向各方流出，則這種 流體不斷沿徑向

40、直線如圖4-12(b)所示。在出和向匯點流入系中的速度分布(4.31)可以證明該流場滿足速度勢和流函數(shù) 的存在條件，速度勢為(4.32)SinkCiD(b) Si nkSource < 源)Fig. 4-17 (a) Source或者(4.33)當=常數(shù)時，r=常數(shù)，所以等勢線是r= C的一族同心圓。C為任意常數(shù)。 流函數(shù)為(4.34)當=常數(shù)時，=常數(shù)，所以流函數(shù)的等值線是 =常數(shù)的射線族，如圖4-17所示。列出流場中任一點與無窮遠點間的伯努利方程，得式中P為無窮遠處(速度為零)的壓強，則任意一點的壓強可表示為(4.35)由上式可知，壓強隨距離r減小而減小，在處壓強變?yōu)榱恪?0Fi圖4

41、-18為匯的壓強分布圖4.5.3點渦設有一旋渦強度為I的無限長直線渦束，該 渦束以等角速度 繞自身軸旋轉，并帶動渦 束周圍的流體繞其環(huán)流。由于直線渦束為 無限長，所以可以認為與渦束垂直的所有 平面上的流動情況都一樣。也就是說，這 種繞無限長直線渦束的流動可以作為平面 流動來處理。由渦束所誘導出的環(huán)流的流 線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯 托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的 速度環(huán)量等于渦束的旋渦強度，即Fig. 4-19于是(4.36)因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 樣的流動稱為點渦，又稱為純環(huán)流。但當 時,，則成為一條渦線，這，所以渦點是一個奇點。向。現(xiàn)在求點渦的速度勢

42、和流函數(shù)。由于積分后得速度勢又由于積分后得流函數(shù)時，環(huán)流為反時針方向，如圖4-14所示;(4.37)時,(4.38)順時針由式(4.37)和式(4.38河知，點渦的等勢線簇是經(jīng)過渦點的放射線，而流線簇是 同心圓。而且除渦點外，整個平面上都是有勢流動。設渦束的半徑為ro,渦束邊緣上的速度為，壓強為P0；時的速(4.40)度顯然為零，而壓強為P。代入伯努里方程(3.41),得渦束外區(qū)域內的壓強分布為(4.39)由上式可知，在渦束外區(qū)域內的壓強隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓 強為所以渦束外區(qū)域內從渦束邊緣到無窮遠處的壓強降是一個常數(shù)。又由式(4.39)可知，在處，壓強，顯然這是不可能的。所以在

43、渦束內確實存在如同剛體一樣以等角速度旋轉的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。由式(4.40)可得渦核的半徑。以dx和得積分得將渦核內任一點的速度vx=- y和vy=由于渦核內是有旋流動，故流體的壓強可以根據(jù)歐拉運動微分方程求得。平面 定常流動的歐拉運動微分方程為在r=ro處，p=p0、v =v0，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內的壓強分布為(4.41)(4.42)于是渦核中心的壓強所以可見，渦核內、外的壓強降相等，都等于用渦核邊緣速度計算的動壓頭。渦核 內、外的速度分布和壓強分布如圖 4-20所示。t/ore.4-204.6基本平面勢流的疊加的"CVelocity and rnes:sin but

44、mi既然在上述章節(jié)所給出的基本流函數(shù) 那么也可以將這些基本流動進行疊加，從而得到由方程(4.15)與(4.23)可知，速度是流函數(shù)或勢函數(shù)的線性函數(shù)。另外，拉普拉 斯方程也是線性函數(shù)。根據(jù)拉普拉斯方程的線性關系可知，如果已知兩個解，則該兩個解的任何線性 組合也構成一個解。這意味著通過疊加、即將簡單的解相加，可以構造出方程更復 雜的解。換句話說，如果存在兩個無旋不可壓的速度場，則速度的矢量合也是無旋不可 壓流動方程的有效解。設有勢函數(shù)1、 2、3等等，這些函數(shù)的疊加便構成一個新的勢函數(shù)1+ 2+ 3+?(4.43)從而因此(4.44)流函數(shù)也存在類似的關系。由于所有勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則(4

45、.45)類似有(4.46)4.6.1螺旋流回旋式燃燒室或離心式除塵器內的流動可視為匯流與渦流的疊加，稱為螺旋流。如環(huán)流的方向是逆時針方向，貝»加后的勢函數(shù)與流函數(shù)可表示為式中q為流量，r為半徑，為轉角， 為速度 等勢線與流線的方程為(4.48)(4.49)(4.47)(4.50)z0二CFig. 4-21P 二 CSpiral Flow 螺旋流該兩方程構成了相互正交的對數(shù)螺旋線，如圖4-21所示。徑向速度及切向速度為(4.51)(4.52)利用伯努利方程，可導出壓強分布的表達式為(4.53)4.6.2偶極偶極被定義為等強度的源和匯的極限情況。當源與匯相互靠攏時，其強度與間距的乘積為一

46、常數(shù)。如圖4-22(a)所示，源位于點A(-a,0)，而等強度的匯位于點B(a,0)。偶極的強度為(4.54)式中M為一常數(shù)，具有體積流量單位。y屮=ClPAi.-'A, 0)/v<p=cFig.4-22 Doublet 偶極偶極的軸線為由匯到源、也就是它們相互靠攏的直線。速度勢為° 0 )Z/(4.55)式中。注意，式中為無窮由圖4-22(a)的幾何關系有 小。貝U所以勢函數(shù)為(4.56)等勢線的方程為等勢線為一族通過原點且圓心在 x軸上的圓，如圖4-22(b)所示。 利用關系對偶極，有積分，得4.58)流線方程為(4.59)流線為一族通過原點且圓心在 y軸上的圓。原

47、點為奇點，其速度為無窮大，如 圖4-22(b)所示。4.7繞圓柱體流動4.7.1繞圓柱體無環(huán)流流動偶極與均勻流的疊加可用來表征繞圓柱體流動，見圖 數(shù)為4-23。此時勢函數(shù)與流函(4.60)(4.61)流線方程為y3DFig. 4-23 Flow around5 =0的流線可由y=o及的圓。對于定常流動的流線, 表示了繞半徑為r0的圓柱體流動。根據(jù)勢函數(shù)或流函數(shù)，可得流場中任一'(4.62)這即為這速為軸和半徑方程(4.61)x可能的,(4.63)由方程(4.63)可知，在無窮遠處Vx= V、Vy= 0。這說明在無窮遠處仍然為均勻流。 在點A與B處速度為零，分別稱為前駐點與后駐點。在極坐

48、標系中速度表示為(4.64)繞圓柱體的速度環(huán)量為(4.65)圓柱體表面r=ro，速度為(4.66)在=0與=(駐點)處速度為零，在=/2及=3 /2處速度達到最大值2v 。 由伯努利方程得從而(4.67)定義壓強系數(shù)為此時，壓強系數(shù)(4.68)(4.69)Fig. 4-24 P ressure Coefficie nt壓強系數(shù)可知壓強系數(shù)與圓柱體的半徑、無窮遠處的速度及壓強無關。如圖4-24所示,對于理想流體，壓強系數(shù)是對稱的。故圓柱體的升力及阻力都為零。事實上，沒有粘性，根本就不會有升力及阻力。理想流體繞任何物體的流動， 會在該物體的前端與尾部產生對應的駐點，壓強在流動方向上的增量永遠為零。

49、1： (deal lluid： 2:屁AR廣氐4.7.2繞圓柱體有環(huán)流流動承接上節(jié)的例子，在偶極均勻流中加上渦流，可表征繞圓柱體有環(huán)流流動, 圖4-25所示。在極坐標系中，勢函數(shù)與流函數(shù)為(4.70)繞圓柱體由環(huán)流流動Fig. 4-25 Flow around a Cyli nder with Circulati on 流場中任一點的速度為(4.72)在圓柱體表面r= ro,流函數(shù)為,表明圓柱體表面為一條流線。y'a )由伯努利方程，圓柱體表面壓強;通過對壓強在表面進行積分，可得作用(h )Fig. 4-26 P osition of Stagn圓柱體表面的速度為(4.73)這說明流體

50、繞圓柱體表面流動時不會分離。無窮遠處vx=v，vy=0,即無窮遠處的流動為均勻流動。如果渦流順時針流動，即 <0，則速度在圓柱體上半部增加而在下半部減小, 其關于x軸的對稱性被破壞，從而導致駐點偏離 x軸，駐點的位置由下式確定(4.74)如果環(huán)量的絕對值I |<4 r0v，貝U |sin | <1，駐點位于如圖4-26(a)所示的位置。 如果| |<4 r0v，駐點位于y軸的負方向，如圖4-26(b)所示。如果| |<4 r0v，駐點 將脫離圓柱體的表面。y1(4.76)將(4.75)式代入(4.76)式，得(4.77)(4.78)方程(4.78 )表明，升力與流

51、體的密度、速度及環(huán)量成正比，這就是庫塔-儒可夫斯基定理。Dd is describethetionId itis suggested thatvz=2z4.6 It is known that streaconcen tric &y方程給出vz=2zv=x2yi xmp ressible fl equati ons2yvy=該流動是否無旋？(有旋)ntthe con ti nuitation isvelocityity distributio n isP roblems4.1 The velocity field of a rotati onal flow is give n byFi nd the average an gular rotat ing velocity at point (2,2,2).已知有旋流動的速度場為求在點(2,2,2)處平均旋轉角速度。(x=0.5，