上海市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.01一、填空題：（共48分，每小題3分）1．的角是第________象限角．2．已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3．已知，則________．4．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．5．給出下列說(shuō)法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，則是第一象限的角；④小于的角是銳角．其中錯(cuò)誤的序號(hào)．是________．6．已知，則________．7．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______．8．已知，則________．9．如圖，若扇形的中心角，扇形半徑，則陰影表示的弓形面積為_(kāi)_______．10．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)_______．11．不等式的解集為_(kāi)_______12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿(mǎn)足條件：存在，使得在上的取值范圍是，則稱(chēng)為“半縮函數(shù)”．若函數(shù)為“半縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．二、選擇題：（共12分，每小題3分）13．若實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，則（）．A． B． C． D．14．函數(shù)（，且）的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限，則、滿(mǎn)足的條為（）．A．， B．，C．， D．，15．已知冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖像是一族曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)，，連接，線段恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)，的圖像三等分，即有，那么（）．A． B． C．1 D．316．已知為定義在上的函數(shù)，則“（既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)”是“存在，使得”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件三、解答題：（共52分）17．（本題10分）已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求的取值范圍．18．（本題10分）在平面直角坐標(biāo)系中，角、的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，．（1）求的值：（2）求的值．19．（本題10分）設(shè)，其中．（1）若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20．（本題10分）已知一輛城際列車(chē)滿(mǎn)載時(shí)為550人，人均票價(jià)為4元，十分適合城市間的運(yùn)營(yíng)．城際鐵路運(yùn)營(yíng)公司通過(guò)一段時(shí)間的營(yíng)業(yè)發(fā)現(xiàn)，每輛列車(chē)的單租營(yíng)業(yè)額（元）與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（分鐘）相關(guān)；當(dāng)間隔時(shí)間到達(dá)或超過(guò)12分鐘后，列車(chē)均為滿(mǎn)載狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額與成正比：當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額會(huì)在時(shí)的基礎(chǔ)上減少，減少的數(shù)量為．（1）求當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額關(guān)于發(fā)車(chē)間隔時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；（2）由于工作日和節(jié)假日的日運(yùn)營(yíng)時(shí)長(zhǎng)不同，據(jù)統(tǒng)計(jì)每輛車(chē)日均次單程運(yùn)營(yíng)．為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車(chē)間隔時(shí)間，則當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少分鐘時(shí)，每輛列車(chē)的日均營(yíng)業(yè)總額最大？求出該最大值．

21．（本題12分）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為＂不動(dòng)點(diǎn)＂函數(shù)，而稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)新定義：若滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的次不動(dòng)點(diǎn)。

（1）判斷函數(shù)是否是＂不動(dòng)點(diǎn)＂函數(shù)，若是，求出其不動(dòng)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）已知函數(shù)，若是的次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 參考答案一、填空題1.二；2.；3.；4.；5.②③④；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿(mǎn)足條件：存在，使得在上的取值范圍是，則稱(chēng)為“半縮函數(shù)”．若函數(shù)為“半縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為＂半縮函數(shù)＂，

所以存在，使得在上的取值范圍是，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，

所以，即

所以，所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且兩根都大于0，所以，解得．故答案為：．二、選擇題13.D；14.B；15.C；16.B15.已知冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖像是一族曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)，，連接，線段恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)，的圖像三等分，即有，那么（）．A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】

將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入,得到，故選C16.已知為定義在上的函數(shù)，則“（既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)”是“存在，使得”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【解析】題目解答為定義在上的函數(shù)，又存在，使得，

所以，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，則必要性成立；

若為非奇非偶函數(shù)，對(duì)，均有，充分性不成立．所以＂既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)＂是＂存在，使得＂的必要不充分條件。故選：B．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.已知一輛城際列車(chē)滿(mǎn)載時(shí)為550人，人均票價(jià)為4元，十分適合城市間的運(yùn)營(yíng)．城際鐵路運(yùn)營(yíng)公司通過(guò)一段時(shí)間的營(yíng)業(yè)發(fā)現(xiàn)，每輛列車(chē)的單租營(yíng)業(yè)額（元）與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（分鐘）相關(guān)；當(dāng)間隔時(shí)間到達(dá)或超過(guò)12分鐘后，列車(chē)均為滿(mǎn)載狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額與成正比：當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額會(huì)在時(shí)的基礎(chǔ)上減少，減少的數(shù)量為．（1）求當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額關(guān)于發(fā)車(chē)間隔時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；（2）由于工作日和節(jié)假日的日運(yùn)營(yíng)時(shí)長(zhǎng)不同，據(jù)統(tǒng)計(jì)每輛車(chē)日均次單程運(yùn)營(yíng)．為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車(chē)間隔時(shí)間，則當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少分鐘時(shí)，每輛列車(chē)的日均營(yíng)業(yè)總額最大？求出該最大值．【答案】（1）（2）時(shí)，【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，設(shè)營(yíng)業(yè)額

根據(jù)時(shí)滿(mǎn)載，得，解得，所以營(yíng)業(yè)額的表達(dá)式為

根據(jù)，

整理得到，，

設(shè)，故可以得到，

所以，即時(shí)，．21.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為＂不動(dòng)點(diǎn)＂函數(shù)，而稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)新定義：若滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的次不動(dòng)點(diǎn)。

（1）判斷函數(shù)是否是＂不動(dòng)點(diǎn)＂函數(shù)，若是，求出其不動(dòng)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）已知函數(shù)，若是的次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1