高等數(shù)值分析作用――面積坐標(biāo)(精)

1、i將三角形劃分為三個部分,?代表整個三角形單元的面積,?i、?j、?m分別代 表三角形？Pjm、？Pmi、？Pij的面積，它們分別與三角形單元的3個頂點(diǎn)i、j、m 相對應(yīng)。那么?i、?j、?m分別與？的比值L i、L j、L m則稱為P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。i j m L , L , L j i m ?=?又?=?i +?j +?m ,所以 L i +L j +L m =1根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，在平行于jm邊的直線上各點(diǎn)，其L i坐標(biāo)值等于該平行線 到j(luò)m邊的距離與i點(diǎn)到j(luò)m邊的距離之比。對于平行于ij ,im邊的直線，也有相同的 性質(zhì),于是三角形單元上三個節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為L i L j L m i 點(diǎn)

2、 1 0 0 j 點(diǎn) 0 1 0 m 點(diǎn)經(jīng)過二維一次插值，直角坐標(biāo)和面積坐標(biāo)的關(guān)系為i j m 1L (a +b x+c y,21L (a +b x+c y, 21L (a +b x+c y2i i i j j j m m m =?=?=?將(,(,(i j j m m i x y j x y m x y代入上式，上式也可以推導(dǎo)為1111 i i j m j ijm m L x x x x L y y y y L ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? 由上式可知，面積坐標(biāo)不僅把節(jié)點(diǎn)位移插值成內(nèi)位移，而且把節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值成內(nèi) 部坐標(biāo)，這樣面積坐標(biāo)把單元的節(jié)點(diǎn)插值成內(nèi)部量。通過直角坐標(biāo)到面積坐標(biāo)的

3、變換，可將三角形單元變換為直角三角形形態(tài)，如下L j i采用面積坐標(biāo)分析三角形單元的另一個突出優(yōu)點(diǎn)，是便于形成形狀函數(shù)，他可以 由下列兩個條件唯一確定，即(1形狀函數(shù)的階次和形狀與位移函數(shù)相同；(2形狀函數(shù)N i在節(jié)點(diǎn)i其值為1,在其余的節(jié)點(diǎn)(工其值為0下面針對六節(jié)點(diǎn) 三角形單元舉例說明面積坐標(biāo)下形狀函數(shù)的確定。i(1,0,0m(0,0,11(1/2,1/2,02(0,1/2, 1/2 3(1/2,0 , 1/20 0 01先求三角形頂點(diǎn)i ,j ,m的形狀函數(shù)。形狀函數(shù)N i在除了 i點(diǎn)之外的其余5個節(jié)點(diǎn)其值應(yīng)為0,顯然兩條直線j2m和 31通過這5個節(jié)點(diǎn)，其方程分別為1 i 1L 0, L

4、 =2這樣，構(gòu)建函數(shù)i i 1L (L2-，使其在這5個節(jié)點(diǎn)之值為0,又六節(jié)點(diǎn)三角形單元有12個自由度，位移函數(shù)u或v取為完全二次多項式，則形狀函數(shù)的階次與位移函 數(shù)相同也取為二次。再利用 N i在節(jié)點(diǎn)i之值應(yīng)為1的條件，即可得i i 12L (L2i N =-對于直線j2m ,即L i =0時,N i =0對于直線31,即L i =1/2時,N i =0對于點(diǎn)i ,即L i =1 時,N i =1同理可得,12L (L 2j j j N =-,12L (L 2m m m N =-2再來求副節(jié)點(diǎn)1,2,3的形狀函數(shù)。如N 1在除了 1點(diǎn)之外的其余5個節(jié)點(diǎn)上其值應(yīng)為0,顯然,直線j2m和i3m通過這5個節(jié)點(diǎn)，其方程分別為i L 0, L =0j =于是，構(gòu)建函數(shù)L i L j ,使其在這些節(jié)點(diǎn)上的值為0,且為二次函數(shù)，再利用N 1在節(jié)點(diǎn)1的值為1,立即可得1i 4L LjN =,24L L j m N =,34L L m i N =在點(diǎn) 1 時，即 L i =1/2,L j =1/2,則 1i 4L L j N =1 在點(diǎn) 2 時，即 L j =1