高數(shù)二知識點(diǎn)

1、專科起點(diǎn)升本科高等數(shù)學(xué)(二)知識點(diǎn)匯總常用知識點(diǎn)：一、常見函數(shù)的定義域總結(jié)如下：(1) '2般形式的定義域：x Ry ax bx ck(2) y -分式形式的定義域：x工0x(3) y .x根式的形式定義域：x>0(4) y log a x對數(shù)形式的定義域：x> 0二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)Xi X2時(shí)，恒有f(Xi) f(X2), f (x)在Xi, X2所在的區(qū)間上是增加的。當(dāng)Xi X2時(shí)，恒有f(Xi) f(X2) , f (x)在Xi, X2所在的區(qū)間上是減少的。2、函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)y f(x)的定義區(qū)間D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱(即若X D，則有 x D )

2、(i) 偶函數(shù) f (x)x D，恒有 f( x) f (x)。、基本初等函數(shù)1、 常數(shù)函數(shù)：y c，定義域是(，)，圖形是一條平行于x軸的直線。2、 幕函數(shù)：y xu，( u是常數(shù))。它的定義域隨著u的不同而不同。圖形過原點(diǎn)3、指數(shù)函數(shù)定義：yf(x)ax，(a是常數(shù)且a 0， a1).圖形過(0,1 )點(diǎn)。4、對數(shù)函數(shù)定義：yf (x)log a x，( a是常數(shù)且a 0，a 1)。圖形過(1,0 )點(diǎn)。5、三角函數(shù)(1) 正弦函數(shù)：ysinxT2，D(f)(,)，f(D) 1,1。(2) 余弦函數(shù)：ycosx.T2，D(f)(,)，f(D) 1,1。(3) 正切函數(shù)：ytanx.T ，

3、D(f) x|x R,x (2k 1)-,k Z， f (D)(,).(4) 余切函數(shù)：ycot x.).D(f) x|x R,x k ,k Z， f(D)(5、反三角函數(shù) 反正弦函數(shù)：y arcsinx, D(f) 1,1, f(D)，。2 2(2) 反余弦函數(shù)：yarccosc,D(f) 1,1, f(D) 0,。(3) 反正切函數(shù)：yarctanx ,D( f)(,) , f (D)(,)。2 2 反余切函數(shù)：y arccotx, D( f)(,), f (D)(0,)。極限一、求極限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函數(shù)在某點(diǎn)的極限，等于該點(diǎn)的函數(shù)值?！币虼擞龅酱蟛糠趾唵晤}目的

4、時(shí)候，可以直接代入進(jìn)行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法(1) 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限。(2) 利用等價(jià)無窮小量代換求極限。(3) 利用兩個重要極限求極限。(4) 利用羅比達(dá)法則就極限。二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則設(shè) lim u A， lim v B，貝Uxx(1) lim (u v)xlim u lim v A Bx(2) lim(u v)xlimxlim vxAB .推論(a) lim(Cxlim vx(C為常數(shù))(3)(4)(5)(b) lim unx(lim u)nxu lim u Axlim，(x v lim v Bx設(shè)P(x)為多項(xiàng)式P(x)0).設(shè)P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式,

5、且 Q(x)三、等價(jià)無窮小常用的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)ln(1 x) x， ex 1 x， 1x 0時(shí), 1 2 cosx x o2an ，對這些等價(jià)無窮小量的代換,四、兩個重要極限重要極限00晉1。則 lim P(x)P(x。)x x0limxsin x x，應(yīng)該更深一層地理解為:它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示：叫詈1P(x) P(X°) 冷 Q(x) Q(x°)tan x x， arctanx x，當(dāng)口 0時(shí)，si門口口arcsinx x，其余類似重要極限IIlim 1 -其結(jié)構(gòu)可以表示為:lim 1八、洛必達(dá)(L ' Hospital)法則A (或 )0 ”型

6、和“一”型不定式，存在有l(wèi)im 型 lim 30x a g(x) x a g (x)元函數(shù)微分學(xué)、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)X。的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在X。處取得增量x (點(diǎn)Xox仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量y f (x0x) f (x0)。如果當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)的增量y與自變量x的增量之比的極限lim y =lim -i0= f( xo)注意兩個符號x和X。在題目中可能換成其他的x 0 x x 0x符號表示。二、求導(dǎo)公式1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) (C)0 ( C 為常數(shù))(2) (x ) x 1(為任意常數(shù))(3) (ax) axlna(a 0,a 1) 特殊情

7、況(ex)ex(4)(lOga x)1 .log a ex1(x 0,a0,a1),xl n a(In x) 1x(5)(sin x)cosx(6)(cosx)sin x(7)1(ta n x)12cos x(8)1(cot x)12 sin x(9)(arcsin x)1(1x1)1 x21(10) (arccosx) ( 1x1)v'1 x2(11) (arctanx)1_1 x2(12) (arc cot x)11 x22、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式(1) u(x)v(x) u(x) v(x)(2) u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)(3) ku ku ( k 為常數(shù)

8、)(4) u(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v(x)v2(x)3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)y f(u), u (x)，且f(u)及(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)為凹 dy du f'(u). (x)。dx du dx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性f '(x)0則f (x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。f '(x)0則f (x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。2、函數(shù)的極值f'(x)0的點(diǎn)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。設(shè)為X。(1) 若 xxo 時(shí)，f '(x)0 ；xxo時(shí)，f '(x)0，則 f(Xo)為 f (x)的極大值點(diǎn)。(2) 若

9、xX0時(shí)，f (x)0 ；xX0時(shí)，f (x)0，貝U f(X0)為 f (x)的極小值點(diǎn)。(3) 如果f (x)在X0的兩側(cè)的符號相同，那么f(X0)不是極值點(diǎn)。3、曲線的凹凸性f''(x) 0,貝U曲線yf(x)在(a,b)內(nèi)是凹的。f (x)0，則曲線y f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的。4、曲線的拐點(diǎn)(1)當(dāng)f (x)在X0的左、右兩側(cè)異號時(shí)，點(diǎn) (X0, f (X0)為曲線y f(x)的拐點(diǎn)，此時(shí)f ''(x0 ) 0.(2)當(dāng)f"(x)在Xo的左、右兩側(cè)同號時(shí)，點(diǎn)(Xo, f(x°)不為曲線y f(x)的拐點(diǎn)。5、函數(shù)的最大值與最小

10、值極值和端點(diǎn)的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dy f '(x)dx ，求微分就是求導(dǎo)數(shù)。一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1、 定義，不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，最后的結(jié)果是函數(shù)+C 的表達(dá)形式。公式可以用求導(dǎo) 公式來記憶。2、不定積分的性質(zhì)1) f (x)dx'f (x)或 d f (x)dx f (x)dx2)F ' ( x) dxF (x) C 或 dF (x) F (x) C3) f (x)(x)(x)dx f (x)dx (x)(x)dx4)kf (x)dxk f ( x)dx ( k 為常數(shù)且 k 0 )。2、基本積分公式(要求熟練記憶)（1）0d

11、x C（2）xadx xa 1 C (a1).a 1（3）1-dx in x C.x（4）axdx -ax C (a 0, a 1)ln a（5）exdx ex C（6）sin xdx cosx C（7）cosxdx sinx C（8）12x ta nx C . cos x（9）12xcot x C .sin x（10）1.dxarcs in x C .J1x2（11）1 xarcta n x C .1x23、第一類換元積分法對不定微分 g（x）dx，將被積表達(dá)式g（x）dx湊成g（x）dx f （x） （x）dx f （x）d （x），這是關(guān)鍵的一步。常用的湊微分的公式有:f (ax b)d

12、x f (ax b)d(ax b) af (axk b) xk 1dx 丄 f (axk b)d(axk b) ka*_1 ff_f (,x) 一dx 2 f、xd . xvrx1111f() dxf()dxxxxf(ex) exdx f(ex)d(ex)f(lnx)dxxf (In x)d(ln x)f (sin x) cosxdx f (sinx)d(sin x)f (cosx) sin xdxf (cosx)d(cosx)1f (tanx) dxf (tanx)d(tan x)cos x(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(13)(14)f (cot x

13、)Vdx sin xf (cot x)d(cot x)f (arcsin x).1x2dxf (arcsin x)d (arcsin x)f (arccos x)dxf (arccos x)d (arccosx)f (arcta nx)2 dx1 x2f (arcta nx)d (arcta nx)d(ln (x)( (x)0)4、分部積分法、定積分公式1、(牛頓一萊布尼茨公式)如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的任意一個原函數(shù),則有 f (x)dx F (b) F (a)。2、計(jì)算平面圖形的面積a如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線yi g(x), y2f (x)及兩條直線 X! a 和

14、 x2 b所圍成的(其中y1是下面的曲線，y2是上面的曲 線)，則其面積可由下式求出:3、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積所形成求出：設(shè)某立體是由連續(xù)曲線y f(x)(f(x)0)和直線x a,x b(a b)及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周 的旋轉(zhuǎn)體，如圖所示。則該旋轉(zhuǎn)體的體積 V可由下式 多元函數(shù)微分學(xué)1、偏導(dǎo)數(shù)，對某個變量求導(dǎo)，把其他變量看做常數(shù) 2、全微分公式：dz df (x, y) A x By。3、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一一利用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如果u(x,y)、v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)uuvv 且xyxy在對應(yīng)于(X, y)的點(diǎn)(u, v)處，函數(shù)z f(u,v)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),，

15、則復(fù)合函數(shù)u vz f (x, y), (x, y)在點(diǎn)(x, y)處存在對x及y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且zzuzvzzuzv, 0xuxvxyuyvy4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于方程F(x,y) 0所確定的隱函數(shù)y f (x)，可以由下列公式求出y對x的導(dǎo)數(shù)y':y Fx(x,y)Fy(x,y)，2、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對于由方程F(x,y,z) 0所確定的隱函數(shù)z f(x,y)，可用下列公式求偏導(dǎo)數(shù)：zFx(x,y,z)zFy(x, y,z)xFz(x,y,z)yFz(x, y,z)5、二元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)zf(xo, yo)在點(diǎn)(xo, yo)的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fx (xo, y0 ) 0 ， fy (x0 , y0) 0 又設(shè) fxx(xo,yo) A， f xy (x0 , Yo)B， f yy (xo , Yo) C ，則：(