初中數(shù)學用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式精講及答案_第1頁
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文檔簡介

1、用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式11知識梳理1. 一次函數(shù)與一元一次方程由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)為ax b 0 (a,b為常數(shù),a 0 )的形式,所以解一元一次方程可轉(zhuǎn)化為:當某一個函數(shù)的值為 0時,求 的彳1.從圖像上看,這相當于已知直線y ax b,確定它與軸交點的橫坐標的值.2. 一次函數(shù)與不等式由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)為ax b 0或ax b 0 ( a,b為常數(shù),a 0)的形式,所以解一元一次不等式可看作:當一次函數(shù)的值 時,求自變量相應的取值范圍.3. 一次函數(shù)與二元一次方程組一般地,每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù),于是對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看,解方程組相當于考

2、慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等,以及這個函數(shù)值是何值;從的“形”角度看,解方程組相當于確定兩 條直線 的坐標.參考答案:1 .相應的自變量2 .大(?。┯?3 .交點典例講練1、解一次函數(shù)與一元一次方程【例1】一個物體現(xiàn)在的速度是 5米/秒,其速度每秒增加 2米/秒,再過幾秒它的速度是 17米/秒?【解析】應用一次函數(shù)的與一元一次方程的方法即可求解解法1:設再過x秒物體的速度是17米/秒,列方程得2x 5 171* = 2ji -x 6解法2:速度y (單位:米/秒)是時間x (單位:秒)的函數(shù)y 2x 5萬 工由 2x 5 1712x 12 0由下圖可看出直線 y 2x 12與x軸的交點為

3、(6,0),得x 6總結(jié):解一元一次方程可轉(zhuǎn)化為:當某一個函數(shù)的值為0時,求相應的自變量的值.從圖像上看,這相當于已知直線y ax b ,確定它與軸交點的橫坐標的值練1.將方程x 3y 7全部的解寫成坐標(x, y)的形式,那么用全部的坐標描出的點都在直線()上.17171717A. y -xB. y - x C. y x d. y x33333333【解析】將方程轉(zhuǎn)化成直線y ax b的形式,即可求解解:x 3y 717 y - x 33故選C.1練2.(啟東市校級月考)一次函數(shù)y -x 4和y 3x 3的圖像的交點坐標是2【解析】采用帶入法,將其中一個一次函數(shù)帶入另一個,即可求解坐標一1解

4、:將y x 4代入y 3x 3 ,得21,ccx 43x 32x 2,交點坐標為(2, -3).2.解一次函數(shù)與一元一次不等式【例2】用畫函數(shù)圖像的方法解不等式5x 4 2x 10.【解析】化簡不等式,再畫出一次函數(shù)圖像,結(jié)合圖像即可求解解法1:原不等式為3x 6 0,畫出直線y 3x 6,可看出,當x 2時這條直線上的點在軸的下方,即這時y 3x 6 0,所以不等式的解集為 x 2.解法2:將原不等式為的兩邊分別看作兩個一次函數(shù),畫出直線 y 5x 4與y 2x 10 ,可看出,它們的交點的橫坐標為 2,當時,對于同一個,直線上的點在直線上相應點的下方,這時,所以不等式的解集為x 2.總結(jié)把

5、解不等式轉(zhuǎn)化為比較直線上點的位置的高低,數(shù)形結(jié)合即可求解練3.如圖,直線y kx b與x軸交于點(-4,0),則y 0時,x的取值范圍是 【解析】結(jié)合圖象,滿足 y 0時,即直線位于x軸的上方部分,即可求解解:二.直線與x軸交于點(-4,0),結(jié)合圖象特點,當 y 0時,x 4.練4.(江寧區(qū)校級月考)一次函數(shù)y kx b的圖象如下圖,則當 x時,y 4.【解析】根據(jù)函數(shù)圖象特殊點(-2,4),即可求解.解:由圖象可知,直線過點(-2,4),,當 x2時,y 4.3. 一次函數(shù)與二元一次方程組【例3】一家電信公司給顧客提供上網(wǎng)費的兩種計費方式:方式 A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費;方式

6、除收月基本費20元外,再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費.上網(wǎng)時間為多少分,兩種方式的計費相等?【解析】計費與上網(wǎng)時間有關,所以可設上網(wǎng)時間為x分,分別寫出兩種計費方式的函數(shù)模型,然后再考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等.解:設上網(wǎng)時間為x分方式A的計費y 0.1x元;按方式B的計費y 0.05x 20元.在同一直角坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像,1日*, EOSi+M2Dr 兩個函數(shù)的圖象交于點(400,40),這表示當時,兩個函數(shù)的值都等于40.因此,上網(wǎng)時間為 400分,兩種方式的計費相等(都是 40元).總結(jié)方程組、不等式與函數(shù)之間的相互聯(lián)系,用函數(shù)觀點可以把它們統(tǒng)一起來.解決問

7、題時,應根據(jù)具體情況靈活地把它們結(jié)合起來考慮.練5.如下圖,li反映了某公司的銷售收入與銷售量的關系,12反映了該公司產(chǎn)品的銷售成本與銷售量的關系,當該公司贏利(收入大于成本)時,銷售量()A.小于3噸 B.小于4噸 C.大于3噸D.大于4噸【解析】根據(jù)圖象兩直線交點的坐標,贏利時即為li的y值大于的12的y值.解:由題意可知,要使得公司贏利,即li的y值大于的12的y值x 4.選 D.練6.(天一學校期中)一次函數(shù)yikixbi與y2k2xb2的圖象如下圖,則當x 時,yiy2;當 x 時,yi y2;當 x 時,yi y2.【解析】根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點坐標,即可求解解:由圖象可知,兩函數(shù)

8、的交點坐標為(1,-3)1時,yiy2;1時,yiy2;1時,yiy2.【例4】小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時,在同一直角坐標系內(nèi)作出了相應的兩個一次函數(shù)的圖象L1 ,L2,如圖所示,他解的這個方程組是(2x1-x2B.2x3x2xC.D.【解析】根據(jù)函數(shù)圖象特殊點坐標,即可求解.解:由圖象可知,兩個函數(shù)均過點(2,-2且直線L1過點(1,0),直線L2過點(-20)將點坐標帶入選項中的一次函數(shù),即可得,故選D.練7.如下圖,已知函數(shù)y x b和y ax 3的圖象交點為P,則不等式x b ax 3的解集為【解析】根據(jù)圖象交點坐標,求出直線y x b在直線y ax 3上方的部分即可.解:由

9、圖象交點橫坐標可知,x 1時,兩直線的值相等,,當 x 1 時,x b ax 3.練8.(濟寧市聯(lián)考)如圖,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A,B兩點,則kxb 0的解集是A. x 0 B. x 2 C. x 3 D.【解析】根據(jù)一次函數(shù)直線特殊點坐標,求出直線位于x軸上方的部分,解:由圖象可知,直線過點A (-3,0), B (02)要使kx b0,故選C.【例5】已知如圖,一次函數(shù)kx b的圖象與x軸交于點M ,則點M的橫坐標xM總結(jié):(1)(2)0,則當【解析】根據(jù)函數(shù)圖象,與xm 時,yxm 時,y解:由函數(shù)圖象可知,當 ykx(1)(2)利用一次函數(shù)直線與0;當x xm 時,y0;0;當x軸交點坐

10、標,及為當0時,即練9.已知直線x 2y故xmx軸的交點坐標,x xm 時,x xm 時,即可求出0;當 x xm 時,y0;當 x xm 時,yy與0的大小關系.k 6和x 3y 4k 1 ,若它們的交點在第四象限內(nèi),0;k的取值范圍.【解析】可以根據(jù)已知條件列出方程組解題.解:依題意有x 2y k 6x 3y 4k 1則解得 因為兩條直線的交點在第四象限內(nèi),.k 4 0k 1 04 k 1 ,即k的取值范圍是4 k 1練10.已知直線y kx b經(jīng)過點 5 0 ,且與坐標軸圍成的三角形的面積為差,求該直線的函數(shù)解析式.24一 ,5, , ,一 , . .一 、一一 【解析】由點 5,0在直

11、線y kx b上,可以得到一個關于 k,b的方程,再求出直線與兩坐標軸的交點 2一 ,一 一 ,25 一 * 、,一 * .,.坐標,由三角形面積為 25可列出第二個方程,由兩個方程組成的方程組可以解出k,b的值.4解::直線y kx b過點,0250 5 k b ,一直線與x軸、y軸的交點坐標分別為b25A( 一,0), B(0,b),SvABC 一 (O為原點),k42OAOB 2評與由和組成的方程組解得k 2,k12, k22,1bl5b5則所求直線的解析式為 y 2x 5或y4.實際應用題【例6】.一個有進水管與出水管的容器,從某時刻開始的 出水,每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù),容器

12、內(nèi)的水量 圖所示.(1) 求0 x 4時y隨x變化的函數(shù)關系式.4分鐘內(nèi)只進水不出水,在隨后的8分鐘內(nèi)既進水又y (單位:升)與時間x (單位:分)之間的關系如(2) 求4 x 12時y隨X變化的函數(shù)關系式(3) 每分鐘進水、出水各多少升?【解析】根據(jù)容器內(nèi)每分鐘水量=進水量-出水量建立關系式,再根據(jù)前 數(shù)關系式,結(jié)合圖象特殊點坐標,即可求解.解:由函數(shù)圖象可知,4分鐘只有進水,即可得到進水的函(1)當 0 X 4時,直線過點(0,0)、(4,20);y 5x(2)當 4 X 12 時,直線過點(4,20)、(12,30)ix 15(3)每分鐘進水量=20 5L;4一,10每分鐘出水量=5 1

13、0 3.75L.練11.如圖,某公司專銷 A產(chǎn)品,第一批A產(chǎn)品上市40天內(nèi)全部售完,該公司對第一批A產(chǎn)品上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如圖所示,其中甲圖中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系;乙圖中的折線表示的是每件 A產(chǎn)品的銷售利潤與上市時間的關系 .(1) 試寫出第一批A產(chǎn)品的市場日銷售量與上市時間的關系式:(2) 第一批A產(chǎn)品上市后,哪一天這家公司市場日銷售利潤最大?最大利潤是多少萬元?【解析】根據(jù)圖象特殊點坐標,對應X的變化范圍建立函數(shù)關系式,即可求解.解:(1)由甲圖可知,圖象過點(30, 6)第一批A產(chǎn)品的市場日銷售量與上市時間的關系式為:當 t 30 時,y

14、5t當 30 t 40 時,y3t 245(2)結(jié)合甲、乙兩圖可知,. 日銷售利潤=日銷售量X每件產(chǎn)品銷售利潤.當 t 30 時,y 6 30 180 (萬元).練12.(德州市期中)某商場計劃投入一筆資金購一批緊銷商品,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果月初出售,可獲利15%,并可用本和利再投資其他商品,到月末又可獲利10%;如果月末出售,可獲利 30%,但要付出倉庫儲存費用700元,請根據(jù)商場投資情況,分析如何購銷獲利較多?【解析】根據(jù)題意建立一次函數(shù)關系式,再采用數(shù)形結(jié)合法,即可求解.解:設商場投資x元,月初出售獲利:y1 15%x 10%(x 15%x)y1 0.265x月末出售獲利:y2 0.3

15、x 700在直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象:為(20000, 5300)=世3,門加10.26S兩圖象的交點坐標.方程組的0.265X0.3x700x的解是 y200005300,由圖象可知:當 0 x 20000 時y1 y2,選擇在月初出售;當 x 20000 寸 y1y2 ,兩種方式任意選;當x 20000時,y1 y2,選擇在月末出售當堂檢測4,48 ,1.若一次函數(shù)y x -中,x的取值為 2 x 2,則y的取值范圍是;若丫的取值為 4 y 4 ,33則x的取值范圍是.2 . 一次函數(shù)y=kx+3 ,當x減少2時,y的值增加6,則此函數(shù)的解析式為 .3 .已知直線 y=kx+3 和

16、y=3x+p 交于(-J3,2%/3),貝U k=,p=x y 34 .用作圖象的方法解方程組2x 3y 6= ax3的圖象交于點P(-2,5), 則 3x+bax3 的解集是家庭作業(yè)1 .已知直線y=kx與直線y=- 1 x 1平行,則k=.22 .直線 y=(3k-2)x+b-12 與 y=kx-3-2b 重合,則 k=, b=.3 .一次函數(shù)y=mx+n(mw 0)的圖象過點(-2 ,3),且m n=2: 3,那么這個圖象的函數(shù)解析式為 4 .兩個函數(shù) y1=2x+1 和 y2=4x-7 ,當 x 時,y2y1.5.用作圖象的方法解方程組3x y 4 x y 16.如圖,在平面直角坐標系中,點A, B的坐標分別為(-3,0), (0, 3). 一次函數(shù)圖象上的兩點P, Q在直線AB的同側(cè),且直線 PQ與y軸交點在y軸正半軸上,若 QAB的面積都等于3,求這個一次函數(shù)的解析式.參考答案:當堂檢測1 . - W y W 0 -1 W xW 5 分析:由題意得 X=,所以-2 W W 2 ,解得-W y W 0 ,同理,由-4 W344348-x - W4 得-1 x4 分析:由 y2y1 得 4x-7 2x+1 ,解得 x4.5.答案

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