因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

1、第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結(jié)OM，求AOM的大小；（3）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標(biāo)圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，ABC

2、與AOM相似點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準(zhǔn)確位置。思路點撥1第（2）題把求AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求BOM的大小2因為BOMABO30°，因此點C在點B的右側(cè)時，恰好有ABCAOM3根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論ABC與AOM相似滿分解答（1）如圖2，過點A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30°，所以AH1，OH所以A因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設(shè)yax(x2)，代入點A，可得 所以拋物線的表達式為（2）由，得拋物線的頂點M的坐標(biāo)為所以所以BOM30°所以AOM150°（3）由A、B(2,0)、M，得，所以AB

3、O30°，因此當(dāng)點C在點B右側(cè)時，ABCAOM150°ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時，此時C(4,0)如圖4，當(dāng)時，此時C(8,0) 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點C的坐標(biāo)如圖5，因為BOM是30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC也是底角為30°的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對稱性，點C的坐標(biāo)為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用

4、含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在OQAB的時刻，也存在OQAB的

5、時刻思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造

6、矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B

7、的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但

8、是BFC在無限遠處也不等于45°觀察右圖，可以體驗到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為

9、（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時，BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，

10、0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運

11、動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在

12、沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時， 解得 此時點A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GE

13、Q中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OA

14、C相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示

15、圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的

16、坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動表示a的點在y軸上運動，可以體驗到，當(dāng)拋物線經(jīng)過點E1和E3時，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個點G，此時POBPG

17、N當(dāng)拋物線經(jīng)過點E2和E4時，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個點G，可以體驗到，這個點G在點N右側(cè)較遠處思路點撥1求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有符合題意的點E，寫出點E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出a3當(dāng)E在x軸上方時，GNP45°，POBPGN，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)E在x軸下方時，通過估算得到大于10滿分解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為因此MN的中點D的坐標(biāo)為（2，0），DN3因為AOB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標(biāo)為E1（2，3）或E2（2