關(guān)于高等數(shù)學(xué)?？茝?fù)習(xí)題及答案

1、高等數(shù)學(xué)期末試卷一、填空題（每題2分，共30分）1 .函數(shù)y門勺定義域是解.(，2 2,)2 .若函數(shù) f(x 1) x2 2x 5,則 f(x)解.x2 63.x lim 一xsin x x答案：1正確解法：lim x-sinx lim (1 x xx2,4.已知 lim x2 ax b 2 ,則 ax 2 x x 2sin xsinx)lim 1 lim 1 0 1 x x x x, b o由所給極限存在知，4 2a b 0得 b 2a 42 x ax b x a 2 a 4lim lim 2, 知 a 2,b8x 2 x2 x 2 x 2 x 13x5 .已知 lim eb,則 a ,

2、b ox 0 (x a)(x 1)e b(x a)(x 1) alim , 即 11mAx 0, a 0,b 1x 0 (x a)(x 1)x 0 e b 1 b,1八6 .函數(shù)f(x) xsin； x 0的間斷點(diǎn)是xx 1 x 0解：由f（x）是分段函數(shù)，x 0是f（x）的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x 0處的連續(xù)性。1因?yàn)?lim xsin1 0 lim (x 1) 1 f(0) 1x 0 x x 0所以函數(shù)f(x)在x 0處是間斷的，又院）在（，0）和（0,）都是連續(xù)的，故函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)是x 08 . f (x) x,則 f(f (x)1)答案：(2x1)2或 4x2 4x9 .函數(shù)zln(

3、1x2的定義域?yàn)榻猓汉瘮?shù)z的定義域?yàn)闈M足下列不等式的點(diǎn)集。的定義域?yàn)椋?x, y) |0 x2 y2 1且y2 4x10.已知f(xy,x y) x2y xy2,則 f(x,y)u v u vx ,y 22,f(x y)(x y) xy(x y)uf (u,v)11 設(shè) f (x,y) xy xv u u / (u2 4，則fyv2), f(x,y)x 22 -(x y )4(0,1)fy (0,1)f(0,1) 0 0 0fy(0，1)lym0f(0, y 1) f(0,1)0 0lim 0。y 0 y12 .設(shè)z x2 sin y, x cost, y t3,貝Udz=?dt 一解 dz

4、2xsint 3t2 cosy dtd13 . d d f (x)dx dx解：由導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算得,dd d f (x)dx f (x). dx14 .設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且x3 1f(t)dt x,則 f(7)解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)得3x2f(x31)1,令x3 1 7,得x 2,所以f011215若 0kx dx答案：:L則k2e kxdxlimb1 b .1 e kxd( kx) k 0(n 1)!7.設(shè) y x x 1 x 2二、單項(xiàng)選擇題（每題 2分，共30分）X1 .函數(shù) f(x) xM(a 0,aax 11)(A.是奇函數(shù);B.是偶函數(shù);C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù);D.是非奇非偶函

5、數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。所以B正確。2 .若函數(shù) f(x 1) x4.已知 lim ( ax b)x x 1 a 0,a b 0, a 1,b1 答案：C ，,則 f (x)() x xA. x2; B. x2 2 ;C. (x 1)2 ; D. x2 1 o解：因?yàn)?x24x22 42 (x 1)22,所以 f(x 1)(x 1)22xxxx x則f (x) x2 2 ,故選項(xiàng)B正確。3 .設(shè) f (x) x 1 ,則 f (f (x) 1)=().A.x B . x + 1 C.x + 2 D. x + 3解 由于 f(x) x 1,得 f(f(x) 1) (f(x) 1) 1

6、= f(x) 2將 f(x) x 1 代入，得 f (f (x) 1)=(x 1) 2 x 3正確答案：D0,其中a, b是常數(shù)，則（(A) a 1,b 1,(B)a 1,b 1(C) a 1,b1(D)a 1,b1解.lim (x x 11 a x a b x b ax b) lim 0,5.下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中,（）是無(wú)窮小量xx 11A. ex, (x );sinxB.,(x );xC. ln(1 x), (x 1);D.解：無(wú)窮小量乘以有界變量仍為無(wú)窮小量，所以 而A, C, D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為 0,故選項(xiàng)B正確。6.(A)xsin1(xx）；(B)1 (n）；(C)ln

7、x(x0)；(D)limn(D).lim xsin1lim sin 1 1(A).11 /-cos(xx x取m 2k0)kim答案:12k 10,故不選（B）.1,貝4 limncos- 0, 故不選 xnxn1xsin -,xx, x，則f（x）在x 0處（A連續(xù)且可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.不連續(xù)但可導(dǎo)D.既不連續(xù)又不可導(dǎo)解：（B）lim f (x) lim x x 0x 00,xim f(x)limx 0xsin一 x0, f(0) 0F列函數(shù)中，在給定趨勢(shì)下是無(wú)界變量且為無(wú)窮大的函數(shù)是（因此f（x）在x 0處連續(xù)f(x) f (0) f (0) limx 0x 0從而f (0)不存在，故

8、fJxsin 一 lim-x 0 x 0（0）小存在limx 01sin -,此極限不存在 x8.曲線y x3 x在點(diǎn)（10）處的切線是).y 2x 2B. y2x 2D.y 2x 2解 由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知, 是曲線y x3 x在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率，故切線方程是y 0 2(x 1),即 y 2x 2正確答案：A9.已知 y 1x4,則 y =().4A.x3 B. 3x2 C. 6x D. 6解直接利用導(dǎo)數(shù)的公式計(jì)算：14332y (-x ) x , y (x) 3x4正確答案：B11,10.右 f(-) x ,則 f (x)()。x1 11A. 1 B .g C .- D

9、.xxx答案：D 先求出f(x),再求其導(dǎo)數(shù)。11 . z ln ex2 y2的定義域?yàn)?).2A. x2222V 1?B. x y C. x2,22y 1? d x y 0解z的定義域?yàn)?x,y)x2 y2 0個(gè)，選D。12 .設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) un(x),下列結(jié)論中正確的是(). n 1(A)若函數(shù)列Un(x)定義在區(qū)間I上，則區(qū)間I為此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(B)若S(x)為此級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則余項(xiàng)rn(x) S(x) Sn(x), limrn(x)n 1Un(x)收斂(Q若x I使 Un(x0)收斂，則|x| |x0|所有x都使 n 1(口若S(x)為此級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則Un(x)必收斂于1S(xo)

10、解：選(B).13.設(shè)a 0為常數(shù)，則級(jí)數(shù) (1)(1a、( cos)(n(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)斂散性與a有關(guān)解：因?yàn)?1)n(1a、 o -cos) 2sinna2n2 而2當(dāng)收斂，因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.故1 2n2選(A).14.若級(jí)數(shù)1)n-在x 0時(shí)發(fā)散,nx 0處收斂，則常數(shù)a(A) 1(B) -1(C) 2(D) 2解：由于n(1)nLa_收斂，由此知a 1.當(dāng)1 a1n1時(shí)，由于 (n 1n1)nx) 的收n斂半徑為1,因此該帚級(jí)數(shù)在區(qū)間(a 1, a 1)內(nèi)收斂,特別地，在(0,a 1)內(nèi)收斂，此與募級(jí)數(shù)在x 0時(shí)發(fā)散矛盾，因此a1.故選(B)15. y 2

11、y 5y e (Q y xe Acos2x Bsin 2x ;解：C 三、解答題(任選4題完成，每題10分，共40分)1.設(shè)函數(shù)問(wèn)(1) a,b為何值時(shí)，“*)在乂 0處有極限存在?cos2x的特解可設(shè)為z *V-(A) y e Acos2x;(B) yxxe Acos2x;(D) y*e x Acos2x Bsin2x.(2) a,b為何值時(shí)，f(x)在x 0處連續(xù)?解：(1)要f(x)在x 0處有極限存在，即要lim f (x) lim f(x)成立。1 .因?yàn)?lim f (x) lim (xsin b) x 0x 0xsinxlim f (x) lim 1lim f(x)成立，即b 1

12、時(shí)，函數(shù)在x 0處有極限 x 0x 0x 0 x所以，當(dāng)b 1時(shí)，有l(wèi)im f (x) x 0存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)，所以此時(shí)a可以取 任意值。(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是于是有b 1 f (0) a ,即a b 1時(shí)函數(shù)在x 0處連續(xù)。2.求方程中y是x的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) xy ex ey1, y解：方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，即整理得(2)設(shè)sin(x y),求去d2y.,2 dx解:cos(x y)(1 y)cos(x y)1 cos(x y)sin(x y) (12y) cos(x y) y ,xe yx eyF(

13、x)至少有一個(gè)零點(diǎn).F(c2)0，c1，c20，1，7 求函f ( ) 10 f ( ) 1,x.3.設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上可導(dǎo)，且0 f(x) 1,對(duì)于(0 ,1 )內(nèi)所有x有f(x) 1,證明在(0,1 )內(nèi)有且只有一個(gè)數(shù)x使f (x) x.設(shè) F(x) f (x) x,在0,1上用零點(diǎn)定理，得 反設(shè) F(x)在0,1上存在兩個(gè)零點(diǎn) c1,c2,即F(c1) 由Rolle定理可得至少有(c1，c2)，使F ( ) 0即與題設(shè)矛盾，故在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)x,使f (x)數(shù)y x2(1 x)1的單調(diào)區(qū)間和極值.解 函數(shù)yx2 (1x) 1的定義域是(，1) ( 1,)令 y絲3 0,得

14、駐點(diǎn)x12, x20(1 x)-20+0-0+極大值極小值故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(，2)和(0,),單調(diào)減少區(qū)間是(2, 1)及(1,0),當(dāng)x -2時(shí)，極大值f( 2)4;當(dāng)x 0時(shí)，極小值f(0) 0.4.求下列積分1 1xx yd , D 由 x y 1,x y 1,x 0 的圍成。 D解 關(guān)于x軸對(duì)稱，且f(x,y) y是關(guān)于y的奇函數(shù),由I幾何意義知， yd 03 二lim -(b3 1)b 2I 舊 x2 y2d的幾何意義知I二V半球Db 21b解：1 1dx blim : 1dx blim 1x3 33xx31極限不存在，則積分發(fā)散.(2) a2x2y2 d222x y a解 f

15、 (x,y)后x2y2是D上的半球面，由2 3= a5 .判別級(jí)數(shù)（i）n上的斂散性.如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂n 2 ln nVn解：記 Un ( 1)n1 1一,則 Unln(n 1)顯見(jiàn)1去掉首項(xiàng)后所得級(jí)數(shù)n 1 nVn仍是發(fā)散的，由比較法知 n 1Un發(fā)散，從而 n 1Un發(fā)散.又顯見(jiàn) （1）n11一是Leibniz型級(jí)數(shù)，它收斂.即（1）n， n 2n 1ln（n 1）n 2 In n收斂，從而原級(jí)數(shù)條件收斂.6 .求解微分方程（1） 2x71 ydx ydy 0 的所有解.解原方程可化為rydy_2xdx,（當(dāng)y2 1）,兩邊積分得加 y2x2 c,即1 y2x2y2 c為通解。當(dāng)y2 1時(shí)，即y 1,