數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)(微分方程)

1、2.7.微分方程初步2.7.1概說涉及到量的變化率滿足的制約關(guān)系，通常是含有導(dǎo)數(shù)的方程一一微分方程。 簡單例子：dm d?0,速率為(1)放射性物質(zhì)，在每一時刻 t,衰變的速率 -dm (由于是減少，因此 dt標量，是正值)正比于該放射性物質(zhì)尚存的質(zhì)量，因此質(zhì)量應(yīng)滿足一下微分方程。dm dTkm(2)質(zhì)量為m的物體自由落體，取坐標軸沿豎直方向指向地心，下落距離y y(t)應(yīng)該滿足牛頓第二定律F ma,即mg m?(3)質(zhì)量為m的跳傘員下落，所受空氣阻力正比下降的速度，取坐標軸沿豎直方向指向地心，則t時刻下降距離y y(t)滿足,2,dyd ymg km2dtdt2(1)如下圖所示，鋼球在以水平

2、光滑桿上，受到彈力而來回整棟，原點位置為t時刻的坐標xx(t)滿足微分方程kxd2x dt2如果鋼球還受到一個與速度成正比, 方程是方向與速度相反的阻尼力的作用,那么它所滿足的微分,dxd2xkx h 一 m-rdtdt2總結(jié)：最簡單的一階微分方程是dxdt其中t是自變量，上述方程的一般解應(yīng)該是f (t)dt C最簡單的n階方程n i它等價于說d是f(t)的原函數(shù)，即 dtn1則再次積分，一直積分下去得到dnx dtnf(t)dndtn 1f(t)dt Cx L f(t)dtL dttn 1Ci(n 1)!L Cn it Cn2.7.2 一階線性微分方程考察下面的方程dx? a(t)x b(t

3、)dt方程中有未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為常數(shù)，其余部分未知函數(shù)最高層次數(shù)為一次，稱為線性，上述方程為一階線性微分方程。如果a(t) 0 ,則稱為一階線性常微分方程。試著求解上述方程，方程兩端都乘以e a(t)dt,得到a(t)dt dX edta(t)dta(t)e xb(t)ea(t)dt即為下面的形式即于是有那么有a(t) dt人 d ea(t)dt dXa(t)dte - x b(t)edt dta(t)dtd xedtb(t)ea(t)dta(t)dtxea(t)dtb(t)e dt Ca(t)dtx ea(t)dtb(t)e dt Ca(t)dt這就是一階線性微分方程的

4、 一般解。這個解法的關(guān)鍵部分是以e乘以方程兩端 簡單的例子(1)質(zhì)量為m的跳傘員下落，所受空氣阻力正比下降的速度，取坐標軸沿豎直方向指向地心，則t時刻下降距離y y(t)滿足mg k曳 dtm響 dt2由于速度v dydt,因此方程化為方程兩邊同時乘以k a(t)dt-dte e mdv dtktem ,則有即有得到ktemdv出-emt m4 d vemdtkt e mmgk-tgeJkt gemAt emkkt mg -tvem-gemCkmgkCek -t m所以則跳傘速度為跳傘的初始速度為 0,即t 0,v 0,則mgg C 0 kc mg kktmg tv 1 e m k由于v -y

5、,因此有dtk.k .mg t * mg i m , y vdt1 e m dt t e m C'kk k跳傘的初始位移為 0,即t 0,y 0 ,則mg mk kC'則因此有mg t m e。自然界有一些量，它的減少正比于該量本身數(shù)值，這樣的量x應(yīng)該滿足一下的微分方程dx dtkx即解這微分方程得到dx dtkx 0Cekt設(shè)t 0時x的值為x0,則有C 比，量x的變化規(guī)律為ktxx0e2.7.3變量分離型微分方程dx dta(t)x先看一個簡單的例子，考察一階線性方程我們把這個方程改寫為dx-a(t) dt x如果x x(t)是方程的解，那么它能使上式成為恒等式，兩邊求不定

6、積分得dxxa(t)dt C'因此得到ln|x| a(t)dt C'C' a(t)dtx e eC'令C e ,則得到因此我們可以得到結(jié)論，方程的一般解為(一般的變量分離型方程)對于一般的變量分離型方程a(t)dtx Cedx dta(t)xa(t)dtx Cedx dtf(t)g(x)事實上，如果g(x) 0,那么方程可以改寫為dxg(x)f (t)dt再對兩邊求不定積分得到dxg(x)f (t)dt C另外，如果有xo能使得g(xo) 0,那么常值函數(shù) x xo也是原方程的解。(經(jīng)過換元后得到變量分離型方程)(1)考察方程dxx f -dtt換元，引入新的未

7、知數(shù)我們得到代入原方程得到這又是一個變量分離型方程，我們有x utdx d(ut) , du u t-dt dt dtdu t dtf(u)du f (u) udt tdu dt f(u) u tdu dt 八-Cf (u) u t則有(2)考察方程變換方程換元，令我們得到duf (u) uIn |t| Cdxxt f dtx t代入原方程，我們有dx dtxf t-Xtx utdx , du u t一dtdt這是一個分離變量型的方程，得到兩邊取積分得到則得到(3)考察方程這個方程可以化成(2)作如下變換則有作換元，令du r u t f dtdudududX dt中的形式，取dXdtdtTd

8、tTln|t|Xo和to滿足(Xo)( (Xo)(xoXoto toXo tod(to) to)Xo) to)(Xoto)to)0我們得到du代入原方程，我們有dudududuln| | C求解方程后只要將值還原為還原前的值。2.7.4實變復(fù)值函數(shù)對于代數(shù)方程式，我們已經(jīng)有過這樣的經(jīng)驗：即使是實系數(shù)的代數(shù)方程，為了弄清楚它的根的狀況，最好到更廣泛的復(fù)數(shù)范圍內(nèi)加以討論。在處理微分方程的某些問題時，例如求解高階常系數(shù)線性微分方程的時候也會遇到類似的問題：雖然是“實”的微分方程， 所求的也是實解(實值函數(shù)解)，但中間過程卻需要在更廣泛的復(fù)值函數(shù)范圍內(nèi)進行討論。本節(jié)為 這一討論做準備。(1)復(fù)數(shù)與平面

9、向量，復(fù)數(shù)序列的極限我們把形狀如w u iv的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，這里i 戶是虛單位，而u,v都是實數(shù)，分別稱為實部和虛部，記為Rew u, Im w v復(fù)數(shù)的加法和乘法定義如下:(u1 iv1) (u2 iv2) (u1 u2) i (v1 v2)(u1 iv1) (u2iv2) (u1u2) i (V| v2)(uiivi) (u2iv2)u1 u2iv2u1iv1u2v1v2(u1u2 v1V2) i(v2u1v1u2)u1iv1(u1 iv1)(u2 iv2)u2iv2(u2 iv2)(u2iv2)(u1 u2 v1V2) i(v1u2 v2u1)u1u2 v1v222u2v222u2v2,v

10、1u2v2u1i 22"u2V2作除法時要求u2 iv2 0 ,即u22V20。復(fù)數(shù)w u iv可以解釋為平面直角坐標系中坐標為(u, v)的點，這點的極坐標為(r,),y(i)(u,v)Jr其中22r Vu v , cos我們把w r (cos i sin )稱為復(fù)數(shù)的極坐標表示，r和 分別稱為復(fù)數(shù)的模和幅角，分別用符號 |w |和Argw表示。采用這種表示來計算復(fù)數(shù)的乘方特別方便:rn(cos ni sin n )證明：當n 1時明顯成立，假設(shè)當 n k時成立，有wk rk(cosk i sin k )則當n k 1時，有)sin k cos )k 1 kk,w w w r (c

11、os k i sin k ) r (cos isink 1 ，r (cos k i sin k )(cos i sin )k 1r (cosk cos sin k sin ) i (cos k sink 1r cos(k 1) i sin(k 1)所以對n k 1也成立，故而有n _ nw r (cos n i sin n )復(fù)數(shù)w u iv還可以解釋為長為|w|方位角為Argw的一個平面向量，多個復(fù)數(shù)之和就可以理解為多個平面向量之和。復(fù)數(shù)的模正好是向量的長度，它滿足一下不等式：| w1 w2 | | w1 | | w21意味著三角形的兩邊之和大于第三邊。也可以用代數(shù)方式證明這個不等式。化為代

12、數(shù)表達， 也就是證明：(U1 U2)2 (V1 V2)2 52 V12 . U22 v22這個采用逆向證明法很容易證明，不等式還可以推廣到m個復(fù)數(shù)的情形，則|w1w2Lwm| w1|w2 |L| wm |定理1：復(fù)數(shù)序列wn Un iVn收斂于C A iB的充分必要條件是序列 之和序列Vn分別 收斂于A和B。(實變復(fù)值函數(shù))設(shè)D R , E C ,我們把從D到E的映射w f (t)稱為實變復(fù)值函數(shù)，設(shè)w u iv, f(t) (t) i (t),、函數(shù)wf(t)相當于一對實函數(shù)u (t)，V (t)引入實變復(fù)值函數(shù)作為工具，是為了更方便地研究實函數(shù)。定理1：設(shè)實變復(fù)值函數(shù)f(t) (t) i

13、(t)在J(t0,)有定義，而C A iB ,則 lim f(t) C的充分必要條件是 t %lim (t) u, lim (t) v(t)在U(to,)有定義，則f (t)在t0點連續(xù)的充分(t)在lU (to,)有定義，則f (t)在t0點可導(dǎo)的充分t %t %定理2：設(shè)實變復(fù)值函數(shù) f (t)(t) i必要條件是：(t)和(t)在to點連續(xù)。定理3：設(shè)實變復(fù)值函數(shù) f(t)(t) i必要條件是：(t)和(t)在t0點可導(dǎo)。且f '(to)'(to)i'(to)實函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則同樣適用于實變復(fù)值函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。定理4：為使實變復(fù)值函數(shù) F(t) (t)

14、i(t)是實變復(fù)值函數(shù)f(t) (t) i (t)的原函數(shù)，必須而且只許(t)和 (t)分別是 (t)和(t)的原函數(shù)。記為f(t)dt F(t) Cf(t)dt (t)dt i(t)dt(t) i (t) C其中C可以是復(fù)數(shù)。(歐拉Euler公式)在推導(dǎo)過程中，會用到下面幾個常見的極限ln(1 ) / arctane, lim 1, lim00n當 a 0時，lim 1 a lim nn當 a 0時，lim 1 a因此有定義：對于卜面來求解將復(fù)數(shù)其中那么有l(wèi)im 1c a ib C,我們規(guī)定c寫成極坐標的形式 n由前面的知識可得因此有eclimlimlim r ncoslim卜面分別求出各部

15、分的極限:ln rn21n2acosb22 nlimi sincosni sin lim2a因此有（可用其同階的無窮小替代）cosarctanisincosncos i sini sin ncosnisin ni sinb22 nlim rn lim cosn i sin nlimln r n lim2a2/a b2nlimn 空2 n2,2a ba n則有l(wèi)imlimln rn elimln elim nlimn arctan n1 a nlimn-1因此得到cceclim 1 nlimcos lim ni sinlimea cosb i sinbcosbi sinb ,其中cib或者(1)

16、如果a 0,那么有ib e(2)(3)a ib ecosb令b分別為b和b,我們得到推廣到復(fù)數(shù)的指數(shù)運算cosbib eea cosbisinbi sin bibe,sin b2ib eib e證:c2al ibla2 ib2e eea1 (cos b1 isinbjea1 a2 (cosb1cosb2ea2(cosb2i sin b2)sin bi sin b2)i (sin b1 cosb2cosb1 sin b2)ea1 a2 cos(b a2) i(bi b2) eb2)ec1 c2isin(b1 b2)(4)令a 0, b 一,則得到21 -2 ecosi sin - i22令a 0

17、, b ,則得到cosi sin1令a 0, b 2k ,則得到i2kecos2ki sin 2k 1它將數(shù)學(xué)中最重要的五個數(shù)字1,2,i2e,e, i聯(lián)系在一起。利用歐拉公式，我們將復(fù)數(shù)的極坐標形式r(cos i sin )寫成rei這里r為復(fù)數(shù)的模，為幅角,是一個模為1的復(fù)數(shù)，它表示與極軸夾角為再看復(fù)數(shù)iei i(cos i sin ) sin因為. iiecosi sin的一個單位向量。|eii cosei 2cosi sin -2ei 2如下圖所示。這里t Ri C ( , R),根據(jù)歐拉公式有所以iei是與ei垂直的一個單位向量。(應(yīng)用歐拉公式討論實變復(fù)值函數(shù)) 考察實變復(fù)值函數(shù)f(

18、t) ete( if(t)e t(cos t i sin t)那么求導(dǎo)數(shù)得到f'(t) et '(cosi sint)t (cost (cosi sini sint)t)tcos 一2t i 2 t)e對于t(cos ti sint)t(sini sincos t)卜面的求導(dǎo)公式也成立。因此得到關(guān)于原函數(shù)不定積分的相應(yīng)公式。t 1 te dt e C(1)例如，已知a,b R,試求下面的不定積分。eat cosbtdt ,eat sin btdt令 a ib ,則所求的不定積分恰好為下式的實部和虛部eat (cosat i sin bt)dt e tdt-e t C1(e a iba ib2-2a b戶 ib)t Aeat (cos btiBi