推薦下載山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略-幾何分冊第24章密克爾定理

1、第24章密克爾定理定理1 (三角形的密克爾定理)設(shè)在一個三角形每一邊上取一點(diǎn)(可在一條邊、或兩條邊、或三條邊的延長線上取),過三角形的每一頂點(diǎn)與兩條鄰邊所在線上所取的點(diǎn)作圓,那么這三個圓共點(diǎn).沈文選.三角形的密克爾定理及應(yīng)用 J.中等數(shù)學(xué),2021 (11): 5-8.證實在 4ACF 中,令 ZCAF =3,ZACF =ct2 , /CFA =%.如圖24-1 (1), B、D、E分別在 4ACF的三邊 AC, CF , FA上.設(shè)4ABE與4BCD的外接除交于點(diǎn) B外,另一交點(diǎn)為M ,聯(lián)結(jié) BM , DM , EM ,那么 ZBME =180°- a1 ,/BMD =180 a2

2、 .于是,/DME =360©-NBME /BMD =必 +ot2 =1803o(3,從而知 M , D , F , E四點(diǎn)共圓.A(3)圖 24-1故4ABE, ACDB , FED的外接圓共點(diǎn)于 M .對于圖24-1 (2), B、D分別為4ACF的邊AC, CF上的點(diǎn),E在邊AF的延長線上.設(shè) ABE與 BCD的外接圓除交于點(diǎn) B外,另一交點(diǎn)為 M ,聯(lián)結(jié)BM , DM , EM ,那么/BME =180.3,/BMD =a2,于是,/DME =/BME /BMD =180°3% =%=180*/DFE ,從而知 M , D , F , E 四點(diǎn)共圓.故 ABE, A

3、CDB , AFED的外接圓共點(diǎn)于 M .對于圖24-1 (3). B、D、E分別為4ACF的三邊CA, CF , FA延長線上的點(diǎn).設(shè)4ABE與4BCD的外接圓除交于點(diǎn) B外,另一交點(diǎn)為 M ,聯(lián)結(jié)BM , DM , EM ,那么/BMD =%,ZBMD =% ,于是,/DME =NBME +NBMD =必 +% =180°"3 =/DFE .從而知 M , F ,D, E四點(diǎn)共圓.故 4ABE, ACDB , AFED的外接圓共點(diǎn)于 M .對于其他取點(diǎn)情形均可類似于上述情形而證.特別地,假設(shè)有一點(diǎn)取在三角形的頂點(diǎn), 那么過兩個重合的點(diǎn)之圓與這兩點(diǎn)所在的邊相切. 又假設(shè)

4、取的三點(diǎn)共直線,如圖 24-1 (2)、(3)中的點(diǎn)B、D、E共直線,那么對 4ACF來看,直線 BDE截其三邊時,三圓l_ ABE , L CDB , L FED共點(diǎn)于M ;對 ABE來看,直線CDF截 其三邊時,三圓L ACF , L CDB , L FED也共點(diǎn)于 M ;此時四圓l_ ABE、L ACF、L CDB、 l_ FED共點(diǎn)于M ,因而可得如下推論：定理2 (完全四邊形的密克爾定理)四條一般位置的直線形成的四個三角形,它們的外接圓共點(diǎn).如圖24-2,四條直線兩兩相交又沒有三線共點(diǎn)而構(gòu)成四個三角形的圖形稱為完全四邊形,其交點(diǎn)記為 A,B,C,D,E,F.在完全四邊形 ABCDEF

5、中,4ACF , AABE, BCD , DEF的外接圓共點(diǎn)于 M ,也可這樣推證：設(shè)4ACF和 ABE的外接圓的另一交點(diǎn)為 M , 聯(lián)結(jié) AM , BM , DM , EM , FM ,那么由圖 24-2.FCM = . FAM =. EAM =. EBM =. DBM ,即知D , B , C , M四點(diǎn)共圓.同理,E , F , D , M四點(diǎn)共圓.或者也可這樣推證：設(shè) 4BCD和4DEF的外接圓的另一交點(diǎn)為 M ,作M分別在直線AC、 CF、BE、AE上的射影P, Q, R, S ,那么由西姆松定理及其逆定理來證第 14章性質(zhì)3） .定理1中的點(diǎn)M稱為三點(diǎn)B , D , E關(guān)于4ACF

6、的密克爾點(diǎn), 4BDE是點(diǎn)M的密克爾三 角形,三個圓稱為密克爾圓.假設(shè)點(diǎn)M為4ACF三邊AC , CF , FA上的點(diǎn)B, D, E關(guān)于該三角形的密克爾點(diǎn),那么有結(jié)論1 ZMDF C =ZMEAF尸/MBC A,即密克爾點(diǎn)與所取三點(diǎn)的聯(lián)線與對應(yīng)邊所成的銳角相等.這個結(jié)論可由四點(diǎn)共圓時,同弧上的圓周角相等或四邊形的外角等于內(nèi)對角即得.又對于圖24-1 2其他圖類似推導(dǎo)有ZCMF = ZCMD /DMF =/CBD /DEF=：/BDA dBAD ： ：/ADE /DAE = ZA d BDE,等三式得到如下的密爾克等式對于圖 24-1 2、3亦有類似等式：結(jié)論 2/CMF =/A+/BDE ,

7、/FMA =/C+/DEB , /AMC =/F+/EBD .我們可以密克爾點(diǎn) M作出任一組3條直線與三邊成等角,或過M與三角形的一個頂點(diǎn)任作一圓.從而有窮多種方法定出它的密克爾三角形.因而,有結(jié)論：結(jié)論3假設(shè)點(diǎn)M為4ACF所在平面上一定點(diǎn),那么有無窮多種方法定出它的密克爾三角形.對于三角形的密克爾圓,也有如下結(jié)論：結(jié)論4設(shè) ACF的三個密克爾圓ABA'、L CDB、FED與 ACF的外接圓依次交于點(diǎn)A'、C'、F',那么 A'BCsa'EF, CBAsc'DF, FbCsFEA.事實上,如圖24-3,由相交兩圓的性質(zhì) 2的推論1即證.A

8、圖 24-3結(jié)論5設(shè)D、E、B分別是 AACF的CF, FA、AC上的點(diǎn),自A、C、F各引一直線a , c, f 分別交密克爾圓 ABF、|_CDB、FED 于點(diǎn) A'、C'、F'.那么(1)當(dāng) a, c, f 交 于一點(diǎn)P時,A', C',F', P, M五點(diǎn)共圓；(2)當(dāng) a/ c/ f ,時,A'、 C'、M、 F四點(diǎn)共線.證實(1)如圖 24-4 (1),由么 NPAM =/MEA = /MBC=/MDF =ZFFM =/PFM,知 M、P、A '、F'四點(diǎn)共圓.圖 24-4同理,M、P、F'、C四

9、點(diǎn)共圓.故A'、C'、F'、P、M五點(diǎn)共圓.(2)如圖 24-4 (2).聯(lián)結(jié) AM、MC',由 NAA'M =/MEF =/MFF ,知 A'、M、F共線.聯(lián) 結(jié) MC' 與 直 線 a 交 于 點(diǎn)A, 那么乙A ' A1 =陷 0s A N A1 C= 0 ' © 'A3 即A、C、AM 四 M-B£點(diǎn)共圓,而A"又在直線a上,從而知A"與A'重合,故C'、A'、M三點(diǎn)共線.由于A'、M公用,這兩條直線重合,故 A'、C'、

10、M、F'四點(diǎn)共線.在定理1中,任意一組在三角形三邊所在直線上共線點(diǎn),它們的密克爾點(diǎn)在其外接圓；反之,外接圓上任一點(diǎn)的密克三角形(所取的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)化為一條直線段.由此可知,三角形的西姆松線段也是一個特殊的密克爾三角形.定理2中的點(diǎn)M稱為完全四邊形的密克爾點(diǎn),點(diǎn)M在完全四邊形各邊的射影共線,此線稱為完全四邊形的西姆松線.假設(shè)點(diǎn)M是完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn),即 AACF , ABCD , ADFF , 4ABE的外接圓共點(diǎn),假設(shè)注意到這些三角形的外心,那么有結(jié)論：結(jié)論6完全四邊形的四個三角形的外心及密克爾點(diǎn)五點(diǎn)共圓.事實上,如圖 24-2,設(shè) O1, O2, O3 , O

11、4分別為 AACF , ABCD , ADEF , 4ABE 的外1心,那么汪忌到 CM 為L Oi 與1O2 的公共弦,有 ZO1O2M =180 3/CO2M =180./CDM ,21汪息到 MF 為 L O1 與 L O3 的公共弦,有 /O1O3M = NMO3F =NFEM =180NFDM .2從而,NO102M +/0103M =360©-jCDM /FDM =180°,即知 O1 , O2 , M , O3 四點(diǎn)共圓.同理,O2, M, O3, O4四點(diǎn)共圓.故O1, O2 , M1, .3,.4五點(diǎn)共圓.由于完全四邊形中,既有凸四邊形,又有凹四邊形及折四

12、邊形,而其密克爾點(diǎn)唯一確定,因而,有結(jié)論：結(jié)論7假設(shè)完全四邊形中的凸四邊形或折四邊形滿足特殊條件時,那么其密克爾點(diǎn)處于特殊位 置,且兩個三角形外接圓的另一交點(diǎn)即為密克爾點(diǎn).注意到結(jié)論3,結(jié)論7,我們可得到三角形密克爾定理的一系列推論,下面僅以定理 3,定 理4為例介紹之.定理3在4ABC中,點(diǎn)D, E, F分別在邊BC , CA , AB上,設(shè) M為箕密克爾點(diǎn),那么(1)當(dāng)AD _LBC ,且M在AD上時,點(diǎn)E , F與密克爾BDF、 DCE的圓心.1、.2四點(diǎn)共圓的充要條件是 M為 ABC的垂心；(2)當(dāng)D , E , F分別為內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn),4ABC的外接圓與其密克爾圓AFE ,L BD

13、F , L CED依次交于點(diǎn) P, Q, R時,M為4ABC的內(nèi)心,且直線PD , QE , RF共 點(diǎn).證實(1)如圖 24-5,由結(jié)論 1 知,ME_LAC, MF _LAB.此時,B, D , M , F 及 D , C, E, M分別四點(diǎn)共圓,有 AF AB = AM AD=AE AC ,即知B, C, E, F四點(diǎn)共 圓.A圖 24-5又 AD _LBC ,知 O1 ,.2分別為 BM , CM 的中點(diǎn),即有 OQ? / BC ,從而 /MO2Q =/MCB .充分性.當(dāng)M為4ABC的垂心時,由九點(diǎn)圓定理即知O1, O2, E, F四點(diǎn)共圓.或者注意到B, Q, M, E及C, O2

14、, M, F分別四點(diǎn)共線,有/FO2O1 =/FCB =/FEB =/FEO1,即知 O1,O2 , E , F 四點(diǎn)共圓.必要性.當(dāng)O1, O2 , E, F四點(diǎn)共圓時,即有 /O1O2E+/EFO1 =1801 (*)由 B, C , E , F 共圓,有 ZAFE = ZACB ,又/MO2 E =2/MCA , NBFO1 =NABM ,那么 由(*)式,有 R/ACB _/MCA )+2/MCA+(90o_NABM )+(90 立/ACB g=180 土 于是,得 /ABM =/MCA,即知 RtABMF RtACME .從而有AM cosCAC -AM sinCMF ME 口 AM

15、 cosB二,即有BF CEAB - AM sin B故AM = AB COsC -AC C0sB =2R cos A,其中R為ABC的外接圓半徑. sin B cosC -cosB sinC另一方面,當(dāng)H是ABC的垂心時,易得 AH =AC c0sA =2R .cosA .sin B從而,點(diǎn)H與M重合,即M為ABC的垂心.(2)加圖24-6,當(dāng)D , E , F分別為內(nèi)切圓與邊 BC , CA , AB的切點(diǎn)時,密克爾圓AFE、L BDF、L CED均過 ABC的內(nèi)心,此時密克爾點(diǎn) M即為其內(nèi)心.AVU圖 24-6聯(lián)結(jié) RE、 RD、 RA、 RB,那么 NERD = /ECD =/ACB

16、= /ARB,故/ARE = /BRD .又由 /REC=/RDC,有 ZAEB = /BDR,從而 AAREABRD.從而,ARAEAFBR BDBF即知RF平分/ARB.由上即知, RF過 ABC的外接圓U O的AB的中點(diǎn) W .同理,PD , QE分別平分ZBPC , ZCQA,且分別過O上弧BC , CA的中點(diǎn)U , V .又PU , QV , RW分別過D, E, F點(diǎn),那么只需證實 DU, EV, FW三線交于一點(diǎn).由于 MD _LBC , OU _L BC ,那么 MD II OU .同理,ME II OV , MF II OW .設(shè) ABC的外接圓、內(nèi)切圓半徑分別為R,那么配=

17、理=町=上OU OV OW r假設(shè)設(shè)直線OM與UD交于點(diǎn)K ,那么由上述比例式知,直線 VE , WF均過點(diǎn)K .故直線PD , QE , RF三線共點(diǎn)于 K .定理4在完全四邊形 ABCDEF中,設(shè)M為其密克爾點(diǎn),那么(1)當(dāng)A, B , D, F四點(diǎn)共圓于LlO時,M在直線CE上,且OM _LCE ;(2)當(dāng)B, C , E , F四點(diǎn)共圓于O時,M在直線AD上,且OM _LAD,又M為過點(diǎn)D的U O的弦的中點(diǎn).證實(1)設(shè)4BCD的外接圓交CE于M連結(jié)DM那么/CMC' =40 醛F, D, M '四點(diǎn)共圓,如圖 24-7.圖 24-7從而,M '為完全四邊形的密

18、克爾點(diǎn),故M '與M重合.設(shè) |_|0 的 半徑為 R ,那么 CM CE=CD CF =(CQ-R'(CO +R)= CO2 -R2 .同 理,_2_2EM EC =EO -R .于是,CO2- EO2 = EC( CM EM )=( CM+ EMf CM- EM)= CM - EM2,由定差哥線定理,即知OM _LCE .(2)如圖24-8,設(shè)4BCD的外接圓交直線 AD于M 那么AD AM ' = AB AC = AF AE , 即知E , F , D , M '四點(diǎn)共圓.AN 圖 24-8從而,M '為完全四邊形的密克爾點(diǎn),故 M '與M

19、重合.聯(lián)結(jié)CO , CM , EO, EM ,設(shè)N為AM延長線上一點(diǎn),那么/CME =/CMN +/NME=/CBE+/CFE=2/CBE = /COE ,即知 C , E, M, O 四點(diǎn)共 圓.1NOMN =/OMC +/CMN =4OEC +-ZCOE =90*.2故OM _LAD ,且M為過點(diǎn)D的U O的弦的中點(diǎn).由圖24-7,我們又可得如下結(jié)論類似地也可由圖24-8得到有關(guān)結(jié)論.結(jié)論8假設(shè)點(diǎn)D為4ACE的三邊CE, EA, AC上的點(diǎn)M , F , B關(guān)于該三角形的密克爾 點(diǎn),設(shè)O為密克圓L ABF的圓心,那么 OM _LCE .下面,介紹定理 4的兩個推論,這也是定理 2的應(yīng)用實例

20、.推論1在完全四邊形 ABCDEF中,凸四邊形 ABDF內(nèi)接于O , AD與BF交于點(diǎn)G ,那么 LcDB , L CFA , L EFD , L EAB , L OAD , L OBF 六圓共點(diǎn)；L CFB , L CDA , L GAB,LGDF , L OBD , L OFA六圓共點(diǎn)；EFB , L EAD , L GBD , L GFA , L OAB , L ODF 六圓共點(diǎn).證實如圖24-9,設(shè)M為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn),那么由定理4 (1),知M在CE上, 且 OM _LCE .于是,C,M,D,B&M,E,F, D 分別四點(diǎn)共圓,有/BMO =90.NBMC

21、 =90"/ BDC=90 180一/BDF =. BDF -901 八1八1180 BOF -90 =90BOF2 2=/BFO .A圖 24-9從而,知點(diǎn)M在|_ OBF上.同理,知點(diǎn)M在L OAD上.由密克爾點(diǎn)的性質(zhì),知|_CDB, CFA, EFD , EAB四圓共點(diǎn)于 M .故以上六圓共點(diǎn)M .同理,設(shè)N為完全四邊形 CDFGAB的密克爾點(diǎn),那么CFB CDA GAB GDF OBD , |_OFA六圓共點(diǎn)于N .設(shè)L為完全四邊形 EFAGBD的密克爾點(diǎn),那么EFB , EAD , GBD , GFA , OAB , L ODF六圓共點(diǎn)于L .推論2在完全四邊形 ABCDE

22、F中,凸四邊形 ABDF內(nèi)接于O , AD與BF交于點(diǎn)G , CDB 與 L CFA, L CDA 與 L CFB , L OBD 與 L OFA , L ODA 與 L OBF , L EAB 與 L EFD , L EAD 與EFB , L OAB與ODF , L GAB與GDF , L GBD與GFA共九對圓的連心線分別記為 11, 12, 13,19,那么 11 , 12 , 13, 14 , OC 五線共點(diǎn)于 OC 的中點(diǎn);14, L 16, 17, OE五線共點(diǎn)于OE的中點(diǎn)；13, 17, 18, 19 , OG五線共點(diǎn)于OG的中點(diǎn).證實如圖24-10,設(shè)M, L, N分別為完全四

23、邊形 ABC-DEF , EFAGBD , CDFGAB的密 克爾點(diǎn),那么 OM_LCE 于 M, OL_LEG 于 L, ON _LCG 于 N .A圖 24-10由推論1中證實,知OM是ODA寫L OBF的公共弦,那么14是0吊 的中垂線,從而知14過0. 的中點(diǎn),14也過0E的中點(diǎn).因CN是|_CDA與LCFB的公共弦,那么12是CN的中垂線,而 ON _L CN ,從而過0C的中 點(diǎn)；由CM是CDB與CFA的公共弦,那么li是CM的中垂線.又OM_LCM,那么li過OC的 中點(diǎn)；由ON是OBD與OFA的公共弦,那么13是ON的中垂線.又 ON_LCN,那么I3過OC 的中點(diǎn),故1i,

24、12, & I, OC五線共點(diǎn)于OC的中點(diǎn).同理,注意到 LE , ME , OL 分別是 L EAD 與EFB、L EFD 與EAB , L OAB 與 ODF 的公共弦,推知14, 1, 16, 17, OE五線共點(diǎn)于OE的中點(diǎn).注意到 GN、LG、OL、ON 分別是GAB 與 GDF , GBD 與1GFA , OAB 與ODF , l_OBD與|_OFA的公共弦,推知13, 17, 18, 19, OG五線共點(diǎn)于OG的中點(diǎn).下面,運(yùn)用上面的定理、結(jié)論、推論處理一些問題.例1 2007年全國高中聯(lián)賽加試題在銳角 ABC中,AB<AC, AD是邊BC上的高,P 是線段 AD內(nèi)

25、一點(diǎn),過 P作PE _L AC ,垂足為E ,作PF _LAB ,垂足為F . O1 , O2分別是 BDF , 4CDE的外心.求證：Oi, O2 , E, F四點(diǎn)共圓的充要條件為 P是4ABC的垂 心.事實上,此即由定理 3 1即證.例2 2007年第39屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 ABC的內(nèi)切圓分別切三邊 BC , CA , AB 于點(diǎn)D , E , F , AABC的外接圓O與 AEF的外接圓O1 , ABFD的外接圓U O2、CDE的外接圓l_ O3分別交于點(diǎn) A和P , B和Q , C和R.求證：1 l_ O1 , U O2, U O3 交于一點(diǎn)；2 PD, QE , RF三線交于一點(diǎn)

26、.事實上,此即由定理 3 2即證.例3 (2021年土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克題) 圓r和直線l不相交,P , Q , R, S為圓上 的點(diǎn),PQ與RS, PS與QR分別交于點(diǎn)A, B,而A, B在直線l上.試確定所有以AB為 直徑的圓的公共點(diǎn).證實如圖24-11,由定理4 (1),知4ASP和4BRS的外接圓交于點(diǎn) K,且K在邊AB上.設(shè) 圓r的圓心為O ,半徑為r ,那么OK 1AB .Q圖 24-11注意到圓嘉定理,有BO2 -r2 =(BOr (BO +r/ BS BP =BK BA = BK.(BK +AK尸 BK 2 +AK KB .從而,AK KB =BO2 -BK2 -r2 =OK2

27、-r2 .對任何一對滿足條件的點(diǎn) A, B,由于O, K , r是固定的,所以,以 AB為直徑的圓一定過直線OK上的兩點(diǎn),每點(diǎn)到直線l的距離為AK KB的幾何平均值,即為 JOK2 -r2 .例4 (2021年第35屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克題)A和&分別是平行四邊形 ABCD的邊AB和BC上的點(diǎn),線段 ACi和CA1交于點(diǎn)P , AAAiP和ACCF的外接圓的第二個交點(diǎn)Q位于 ACD 內(nèi)部.證實： /PDA=/QBA.證實如圖24-12,由于 AAP和ACCiP的外接圓的第二個交點(diǎn)為 Q,那么由定理2知,Q為 完全四邊形BCiCPAAi的密克爾點(diǎn),從而知Ai, B, C, Q共圓,有 /Q

28、BA =/QBA1 =/QCA1 .AA2D圖 24-12由于Q位于 ACD內(nèi),可設(shè)直線CQ交AD于4,由/DAQ VQCC 1=4PQ 1 ,知點(diǎn)A2在 U APQ 上.聯(lián)結(jié) A2P ,注意 A , A , P , A 共圓及 AB / DC ,有 ZA2PC = ZA1AA, =1804- ZADC ,即知 A2, P, C, D 四點(diǎn)共圓,從而, NPDA =/PDA2=2PCA2 =NQCAi .由,知,/PDA=/QBA.例5 (IMO26試題)AABC,以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過三角形的頂點(diǎn) A , C且與邊AB , BC 分別交于另外的點(diǎn) K, N. 4ABC和4KBN的外接圓交于點(diǎn) B

29、M .試證：/OMB是直角.證實如圖24-13 (1),假設(shè)三個圓的圓心共線時,4ABC為等腰三角形(BA=BC),此時,R與M重合.因此,三個圓的圓心必不共線,如圖 24-13P A(1)(2)圖 24-13(2) .不妨設(shè)它們的根軸交于點(diǎn) P .在完全四邊形CAPKBN中,顯然M為其密克爾點(diǎn),從而 OM_LPB.故/OMB是直角.例6 (1992年CMO試題)凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ,對角線AC與BD相交于P, AABP , CDP的外接圓相交于 P和另一點(diǎn)Q,且O, P, Q三點(diǎn)兩兩不重合. 試證：NOQP=90©. 證實由題設(shè),O, P, Q三點(diǎn)兩兩不重合知,四邊形 AB

30、CD必不為矩形(困圓內(nèi)接平行四邊形必為矩形),那么不妨設(shè) AB DC ,此時,可設(shè)直線 BA與直線CD交于點(diǎn)S.在完全四邊形 SABPCD中,點(diǎn)Q為其密克爾點(diǎn),于是 OQ_LSP,故/OQP=90 0.巾 / 11圖 24-14例7 ( IMO 35試題) ABC是一個等腰三角形,AB = AC .假設(shè)(i) M是BC的中點(diǎn),O是直線AM上的點(diǎn),使得 OB垂直于AB;(ii) Q是線段BC上不同于B和C的任意點(diǎn)；(iii) E是直線AB上,F在直線AC上,使得E, G和F是不同的三個共線點(diǎn). 求證：OQ垂直于 EF當(dāng)且僅當(dāng)QE =QF .證實如圖24-15,對4AEF及截線BQC應(yīng)用梅涅勞斯定

31、理,A圖 24-15" AB EQ FC .有=1 . BE QF CA因 AB=AC ,那么 EQ =QF - BE =FC .由題設(shè)對稱性知A, B, O, C四點(diǎn)共圓.于是,OQ _LEF ,注意OB_LABu B , E, O, Q四點(diǎn)共圓仁O為完全四邊形ABEQCF的密克爾點(diǎn) y Q , O , C , F F四點(diǎn)共圓.從而 BE = FC仁BEOQ與 UQOCF為等圓,且EO與直徑=OQ _LEF .為等圓.且 EO為直徑8 0Q上EF.例8 2021年全國高中聯(lián)賽題如圖 24-16,銳角三角形 ABC的外心為O, K是邊BC上一 點(diǎn)不是邊BC的中點(diǎn),D是線段AK延長線上

32、一點(diǎn),直線 BD與AC交于點(diǎn)N ,直線CD 與AB交于點(diǎn)M .A圖 24-16求證：假設(shè)OK _LMN ,那么A , B, D, C四點(diǎn)共圓.證實用反證法,假設(shè)A, B, D, C四點(diǎn)不共圓,設(shè) ABC的外接圓LIO與直線AD交于點(diǎn)E, 直線CE交直線AB于點(diǎn)P ,直線BE交直線AC于點(diǎn)Q .由定理4 2知,完全四邊形 PECKAB的密克爾點(diǎn)G在直線PK上,且OG _L PK ;完全四邊形QCAKBE的密克爾點(diǎn) H在直線QK上,且OH _LQK .聯(lián)結(jié)PQ .于是,注意到 G, H分別為過K的圓的弦的中點(diǎn),知 O, G, Q及O, H, P分別三點(diǎn) 共線,從而知點(diǎn) O是WQ的垂心,即有 OK

33、_LPQ .由題設(shè),OK _LMN ,從而知PQ / MN ,即有股=-AP .QN PM對ANDA及截線BEQ ,對MDA及截線CEP分別應(yīng)用梅涅勞斯定理, 有NB,里,絲=1BD EA QN及也DE"=1.CD EA PM由.得吧=也.再應(yīng)用分比定理,有 ND =吧,即知4DMN sDCB . BD CDBD DC于是,ZDMN =/DCB ,即知BC II MN,從而OK _L BC ,得到K為BC的中點(diǎn)與矛盾.故A, B, D, C四點(diǎn)共圓.例9 ( 2007年國家集訓(xùn)隊測試題)凸四邊形 ABCD內(nèi)接于|_| O , BA , CD的延長線相交于點(diǎn)H ,對角線AC , BD相

34、交于點(diǎn)G , Oi, O2分別為4AGD , 4BGC的外心,設(shè)OQ?與OG相交于點(diǎn)N ,射線HG分別交Oi, O2于點(diǎn)P , Q .設(shè)M為PQ的中點(diǎn),求證：NO= NM .證實如圖24-17,過點(diǎn)G作GT_LOQ,那么知TG切|_.1于6,HQ圖 24-17即有 /AGT = ZADG = ZACB ,從而 TG II BC .于是,01G _L BC .而 OO2 _L BC ,那么知 01G / OO2 .同理,OO1 / GO2.即知01002G為平行四邊形.于是,N分別為OG, 0Q2的中點(diǎn).由定理4 (2)知,完全四邊形 HABGCD的密克爾點(diǎn) M '在直線HG上,且OM

35、'_LHG .設(shè)E, S, F分別為點(diǎn).1, N,.2在直線HG上的射影,那么知 E為PG的中點(diǎn),F為GQ的中點(diǎn),S為EF的中點(diǎn),且 S為GM'的中點(diǎn).于是,PM =PG+GM '=2EG+2GS = 2ES,QM '=QG -GM '=2FG 2GS = 2ES .從而M '為PQ的中點(diǎn),即知 M'與M重合,亦即知OM _LGM .故NM =1OG =NO .2練習(xí)題二十四1. .設(shè)AB是圓的直徑,在直線AB的同側(cè)引射線AD和BD相交于點(diǎn)C .假設(shè) 2ZA E B+ / A D=H8 0貝U AC AD + BC BC = AB .2.

36、 2001年北方數(shù)學(xué)邀請賽題設(shè)圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊的延長線分別交于點(diǎn)P, Q,兩對角線交于點(diǎn) R,那么圓心O恰為4PQR的垂心.3. 1990年全國高中聯(lián)賽題四邊形ABCD內(nèi)接于O ,對角線AC與BD交于點(diǎn)P , PAB、 PBC、PCD、APDA 的外心分別為Oi ,O2,O3 ,O4 .求證：O1O3,O2O4 與 OP 三 線共點(diǎn).4. 2006年中國國家集訓(xùn)隊測試題四邊形 ABCD內(nèi)接于O,且圓心O不在四邊形的邊上,對角線 AC與BD交于點(diǎn)P, AOAB> AOBC > AOCD > 4ODA的外心分別為.1、.2、O3、O4 .求證：O1O3、O2O4與OP三線共

37、點(diǎn).5. 1997年CMO試題四邊形 ABCD內(nèi)接于圓,AB與CD的延長線交于 P點(diǎn),AD , BC 的延長線交于Q點(diǎn).由點(diǎn)Q作該圓的兩條切線 QE和QF ,切點(diǎn)分別為E, F.求證：P,E, F三點(diǎn)共線.6. 2002年IMO43預(yù)選題圓Si與圓&交于P , Q兩點(diǎn),Ai , B1為圓&上不同于P,Q的兩個點(diǎn),直線 AP, BF分別交圓&于A2, B2,直線AB1和AB2交于點(diǎn)C.證實：當(dāng)A和B1變化時, AA2c的外心總在一個定圓上.7. 九=1時為IMO46試題給定凸四邊形 ABCD, BC=KAD,且BC不平彳T于AD ,設(shè)點(diǎn) E和F分別在邊BC和AD的內(nèi)部,滿足 BE=,uDF ,直線AC和BD相交于點(diǎn)P ,直線EF 和BD相交于點(diǎn)Q ,直線EF和AC相交于點(diǎn)R .求證：當(dāng)E和F變動時, PQR的外接圓 經(jīng)過點(diǎn)P外的另一個定點(diǎn).8. 2005年國家集訓(xùn)隊練習(xí)題 E, F是ABC邊AB, AC的中點(diǎn),CM, BN是 邊AB, AC上的高,聯(lián)結(jié) EF , MN交于點(diǎn)P .又設(shè)O、H分別是 ABC的外心、垂心, 聯(lián)結(jié) AP、OH .求證：AP1OH .9. ?數(shù)學(xué)教學(xué)?2005 8數(shù)學(xué)問題652在4ABC中,AD為BC邊上的中線,BE , CF 分別為AC , AB上的高,設(shè)BE