初中數(shù)學(xué)重點梳理：換元法

1、86換元法很多時候，我們遇到的問題直觀比較復(fù)雜，在這種情況下把某個式子看成一 個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元法乂稱 輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱 含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜 的計算和推證簡化。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量 代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非 標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。.知識梳理知識梳理1:換元法在因式分解中的運用利用換元法分解因式，就是將多項式中的某一部分用一個新字母（元）來代替

2、，進(jìn)行變 量替換，將問題轉(zhuǎn)化，從而起到化繁為簡、化隱為顯、化難為易的作用。知識梳理2：換元法在解方程中的運用換元法在解方程中是一種常用的方法，特別是解特殊方程中經(jīng)常能產(chǎn)生事半功倍的 效果，下而介紹解特殊方程時應(yīng)用換元法的幾種常見的方法。例,，卜'精講【試題來源】【題目】分解因式:(a2 + 4 + 1)(/ 64 + 1) + 12/【答案(， 34+【解析】直接換元設(shè)/+1 = ?，則原式=(m + a)(m - 6a) + 2a2=nr - 5am + 6ci1=(-2a)(?-3a)=(a1 + 1 - 2a)(r + 1 - 3a)=儲 一%+ 1)(一1)2【知識點】換元法【

3、適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式：（4一一4（/?一。）（。一。）【答案】【解析】雙元換元設(shè)-c = fib c-a = n原式=-0 + )一 4?=(7- )2= (Z?-C)-(C-67)2= （"+/?-2c）2【知識點】換元法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解四式：(a + b- 2ab)(a +b-2) + (-ab)2【答案】(1f)8T)2【解析】和積換元設(shè)。=加，ah = n原式=。- 2n)(m-2) + (1-«)2=(m 一1 一 2(m n) + 1=(“ I)2=(a + b ab - )2=(

4、1-幻23-1)2【知識點】換元法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式：(ab - I)2 -(a + b 2ab)(2 -a -b)答案(1-)地-1)?【解析】和差換元設(shè) +Z7 2ab = m + n2ab=mn則? = 1- ab, n = a + b - ab - 原式=m2 - (? + )(， - n)7 z 7)、,=nr (nr ，"，廠=(a + b - ab - I)2= (j)2(2【知識點】換元法【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式：a4 + 200M 2 + 2002« + 2003r較未】（

5、/+。+ 1）（。工一。+ 2003）k t 1 J【解析】常值換元設(shè)2003 = ?，則2002 = ?一1,原式=a4 + ma2 + （m - l）a + ni= (44 -a) + m(a2 +a + 1) =(a2 +a + )(a2 -a + ?)= (cJ +a + )(a2 - a+ 2003)【知識點】換元法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式：(x + m)(x + 2m)(x + 3m)(x + 4rn) + m4【答案】【解析】均值換元原式=(x2 + 5?x + 4 m2 )(x2 + 5mx + 6m2) + m4設(shè) =1 (x2 + 5/

6、ztv + 4/) + (/ + 5mx + 6m2) 2=x2 + 5mx + 5nr則原式=(一)(n + nr) + m4=九一=(x2 +5mx + 5m2)2【知識點】換元法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】分解因式：2a4-9。3 + 1/94 + 2【答案(。-1y3_2乂2。_1)【解析】倒數(shù)換元o o原式=2(22 -967 + 14- + )a cr=a2 2(a2 + -X) - 9(a + ) + 14 cra設(shè)a+ ' = /，則原式=“22(?2 一2)-9? + 14= a2(2m2 -9m+0)=a2(m 2)(2m 5)= ：(“

7、+ 2)(2t/ + - -5) aa= (a2 -2a+ 1)(2/-5a+ 2)= (a l)2(a 2)(2a l)【知識點】換元法【適用場合】階段測驗【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式:8(a + b)(b + c)(c + a) + abc【答案(0方+【解析】變形后換元原式=(a+b + c c)(a + b + c a)(a +。+ c )+ abc設(shè)a+Z? + c =，貝ij原式=(m - c)(/n 一 a)(m - b) + abc=nr - (a + h + c)nr + (ab + be + ca)m - abc + abc=m - m nr + (ab +

8、be + ca)m=(ab + bc + ca)(a + b + c)【知識點】換元法【適用場合】課后兩周練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解四式：(.2 1)( 2)(4-4) 72【答案】3 + 2)(-5)(f-3& + 8)【解析】整體換元原式=(« +1)(6/ - 4)5 一 1)(4 - 2)- 72=儲 _3_4)(“2 _% + 2) 72設(shè)。2-%+2=2,則原式=("? - 6)m - 72=m1 - 6m - 72=(加一 12)(m + 6)=(cr -3a + 2-12)(cJ -3a+ 2+ 6)=(a + 2)( 一 5)(c/

9、 一 3a + 8)【知識點】換元法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】分解因式：(1 + ? + / +?一?【答案(1+物+如：！>(1 +立+初，+加=+加4)【解析】局部換元設(shè) 1 + in + nr = a ,貝ij原式=(a + nr )2 - nr=a2 + 2anr + mb -nr=a2 +2<, +nr(nr - 1)=a2 + 2anr + nV (in - 1)=a(a + 2nf +- "J)=(l + m + nr )(1+ m + nr + nr + m4)【知識點】換元法【適用場合】課后兩周練習(xí)9【試題來源】【題目】解

10、方程：x，+(x-4)4=626.【答案】x=5：或x=-LY + 丫 一 4【解析】(用平均值代換，可化為雙二次方程.)2設(shè) y= x2 9 則 x=y+2.原方程化為(y+2)4+(y2)4=626.(y+2)2-(y-2)2)2 + 2(y+2)2(y-2)2-626=0整理，得 /+24¥2-297=0.(這是關(guān)于y的雙二次方程)(y2+33)(y2-9)=0.當(dāng)y2+33=0時，無實根：當(dāng) 丫2 一 9=0 時，y=±3. 即 x -2二±3, Ax=5：或 x=T【知識點】換元法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程：2x4+

11、3x3-16x2+3x+2=0 .【答案】x= -2+J5； x= -2 V3 ；x=2；或 x=L2【解析】這是個倒數(shù)方程，且知xWO,兩邊除以并整理 得2(x24-L)+3(x+1)-16=0.尸X設(shè) x+ L =y,則 x2+ -4- =y2-2.x廠原方程化為2y2+3y - 20=0.解得y=4；或y=±.2由 y= -4 得 X= -2+V3 ；或 X= - 2-由y=2.5得 x=2：或乂='.2【知識點】換元法【適用場合】課后兩周練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程組2x2 + 5沖 + 2y2 + x + y +1 = 0x2 +4xy + y2 +

12、 12x +12y +10 = 0I-1 + 2V3 x =【答案】3 -1-2V3 V =-1-273：或，卜=2+同.v = 2W T% = 2-溝y = 2 + a/JT【解析】（這個方程組的兩個方程都是二元對稱方程，可用基本對稱式代換.） 設(shè)x+y=u, xy=v.原方程組化為：2hr + w + v +1 = 04/解得Ww2+12n + 2v + 10 = 0"Au ="=43： 或I 一v = -3711v =一9即x + y = 4xy = -37或，2 x + y = -311xy =9解得:【知識點】換元法【適用場合】隨堂課后練習(xí)#【難度系數(shù)】3【試題來

13、源】【題目】解方程五+ VFT7 + 2JM/+7) =35-2x.841【答案】 - 144【解析】4 + /x 4- 7 + x2 4 lx = 35 - 2x/x + Vx 4 7 + 2,xx + 7) = 35 2i2x + 7)+ (y/x + Vx + 7) = 35十 2/x/x + 7 +(/ + 7) + (/ + !* 十 7) = 35 + 7衣一+ 2 石，卜 + 7 +，q + 7- + fx + 7) = 42(/x + Ji + 7)2 + x/x + 7) 42 = 0換元令4 + 4才+ 7-e則原式變?yōu)閠? +f - 42 = 0,解得t=-7或6I解得f

14、x + Sw + 7 = 7 或 fx + Vx + 7 = 6 Vx + 7 > 0 故 /x 4 fx + 7 = 6lx 4- 7 = 6 Va?兩邊同時平方得：x + 7 = 36 12 石 + x化簡得12五=29841x =144【知識點】換元法【適用場合】課后兩周練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程(16x2-9)2+(16x2-9)(9x2-16)+(9x2-16)2=(25x2-25)2.x=-3/4 區(qū)=3/4 x=-4/3 x=4/3L合菜【解析】可以換元令 16x2-9 = a , 9x2 -16 = b , 25x2-25 = a + b則原式變?yōu)閍2

15、+ab + b2 = (a + 6)，化簡得ab = O即(16x-9)(9xa-16)a=0(4x+3)(4x-3)(3x+4)(3x-4)=0Ax=-3/4 x=3/4 x=-4/3 x=4/3【知識點】換元法【適用場合】階段測驗1【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程(2 VTTT 一 1)%(2 VTTT - 3 )4=16.【答案】1，3【解析】設(shè)y=2(/1) “(1/5),原方程化為(y-l) 4+ (y-3) 4=16展開化簡，得 y 4-8 Xy 3+30 x y 2-56 Xy+33=0可以化為(y-l) X (y-3) x (y 2-4y+11)=0得 y=L 3【知識

16、點】換元法【適用場合】階段測驗【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程2x + l【答案】無實數(shù)解【解析】I原方程變?yōu)? 3&:+ 一 =.t 2【知識點】換元法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】解方程組= 42r- ?/+ - = 10/【答案】原方程組的解為二【解析】設(shè) J少 + : = 6>0 ,則 2.1-7/+ - = 10 化為金+ ； +(x-y-2) = 8 ,即/ + 戶=8 , 1V!二原方程組變?yōu)椋嚎?1=4 ,計算得出a = b = 2,I 0-46' = 8Ji+ L = 2 , y/x-y-l = 2 ,化為J ”弋=4

17、，計算得出j_5, xij = 61,經(jīng)過檢驗滿足原方程組.原方程組的解為1 -【知識點】換元法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】a表示不大于a的最大整數(shù)，如、回=1,-、歷=-2,那么方程3x+1=2x-L的所有根的和是.2【答案】-2【解析】1設(shè)I=幾+ a（n為整數(shù)，0<a < 1）,代入原方程得：3n + 3。+ 1 = 2n 4- 2a - ，即 3 + 1 + 3a = 2幾 + 2a -,：.n + 1 + |3a = 2a - ： (1), 貝U 幾 + 3a = 2a ，于是2a - g是整數(shù),又03。 1 ,/.2a - ' = 0 或-1,當(dāng)2"-，=0時，計算得出°=?， 24把.=3代入（D式，打+自=0, 44：.n = -2 .于是得叼=2+； 4當(dāng)2“一（ = 一1時，代入（D式，“十白二一1, 24l4J：.n = -1 .于是得工,=-1+