絕對(duì)值知識(shí)講解

1、絕對(duì)值(提高)撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的求法和性質(zhì)；2 進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的幾何意義；3. 會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，并會(huì)用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大??；4. 理解并會(huì)熟練運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行解題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、絕對(duì)值1. 定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù) a的絕對(duì)值，記作|a|.要點(diǎn)詮釋：(1) 絕對(duì)值的代數(shù)意義： 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0 .即對(duì)于任何有理數(shù) a都有：fa(a0)|a| = 0 (a = 0)I-a (a ： 0)(2 )絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是

2、表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距 離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小.(3 )一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來確定的.2. 性質(zhì)：絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.要點(diǎn)二、有理數(shù)的大小比較1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.女口： a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 av b.2. 法則比較法：-兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下:兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0:正數(shù)與0 :正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0 :負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋：禾U用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分

3、別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；(2)比較絕對(duì)值的大?。?3)判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若 a-b 0，則ab;若a- b= 0,則a= b;若a-b v 0, av b； 反之成立.aaa4. 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若 1，則a b ；若 1，則a = b ；若 1，則a b ；bbb反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于 0，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】 類型一、絕對(duì)值的概念1.計(jì)算：(1) -4I(2)卜4|+13| +|0|( 3) -|+(- 8)|5【答案與解析】運(yùn)用絕對(duì)值意義先求出各個(gè)絕對(duì)值再計(jì)算結(jié)果解：(1) _

4、/丄，5 I 5丿5(2) |- 4| +| 3| +| 0| = 4+3+0 = 7,(3) -| +(- 8)| = -(- 8) = -8.【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法： 一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解，一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解，后種方法的具體做法：首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身，是它的相反數(shù)，還是0.從而求出該數(shù)的絕對(duì)值.2. 如果 | x| = 6, | y| = 4,且 xv y.試求 x、y 的值.【思路點(diǎn)撥】6和-6的絕對(duì)值都等于 6, 4和-4的絕對(duì)值都等于4,所以要注意分類討論. 【答案與解析】解：因

5、為| x| = 6,所以x = 6或x = -6; 因?yàn)閨 y| = 4,所以y = 4或y = -4; 由于xv y，故x只能是-6,因此x = - 6, y= 4.【總結(jié)升華】 已知絕對(duì)值求原數(shù)的方法：(1)利用概念；(2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出 來.無論哪種方法但要注意若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)此外，此題 x= -6, y = 4,就是 x = -6, y = 4 或 x = -6, y = -4.舉一反三：【變式1】(1)如果| x| = 6, | y| = 4,且xy,則x、y的值各是多少？【答案】x= 6, y = 4【變式2】如果數(shù)軸上的點(diǎn) A到原點(diǎn)

6、的距離是6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為 .如果| X 2 |= 1,那么x =;如果I x | 3，那么x的范圍是.【答案】6或-6; 1或3; x3或XV- 3【變式3】已知| a | = 3, | b | = 4，若a, b同號(hào)，則| a +b | =；若a, b異號(hào)，則| a+b | =.據(jù)此討論| a+b |與| a | + | b |的大小關(guān)系.【答案】7, 1 ；若a, b同號(hào)或至少有一個(gè)為零，則| a+b| =| a| +|b| ;若a, b異號(hào)，則| a+b| v|a|+|b| , 由此可得：| a+b| -|- 5| .(2)化簡(jiǎn)得：-(+3) = -3因?yàn)樨?fù)數(shù)小于零，所以-(+3)

7、V 0.(3)化簡(jiǎn)得：這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，4 _上_丄65 一5 一203_3 _15 , 且 16 15 .所以 4 3. 14,所以-nV-|- 3. 14| .【總結(jié)升華】 在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，再比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小，最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷.舉一反三:【高清課堂：絕對(duì)值比大小例(簡(jiǎn)單舉例)】【答案】；【高清課堂：絕對(duì)值比大小典型例題2 (最后兩個(gè))】【變式1】比大小:(1)0.31(2)-1 13; 0, n V 0,且|m| | n|，用“”把 m, -m, n, -n連接起來. 【答案】解法一：I m0, n

8、v0, m為正數(shù)，-m為負(fù)數(shù)，n為負(fù)數(shù)，-n為正數(shù). 又 正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，且| m| |n| ,. m -nn-m.解法二：因?yàn)?m0, nv 0 且|m| | n| ,把m, n, -m, -n表示在數(shù)軸上，如圖所示.-m n 0 -n/ 數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大， m -nn-m.類型三、含有字母的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)4. 把下列各式去掉絕對(duì)值的符號(hào).(1)| a-4|( a4) ; (2)| 5-b|( b 5).【答案與解析】(1) / a4,. a-4 0| a-4| = a-4.(2) / b5,. 5-bv 0,. | 5- b| = -( 5-b) = b-5.【總結(jié)升華】由

9、字母的取值范圍來判斷絕對(duì)值里面的符號(hào)情況，再根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)舉一反三：【變式1】已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：c*b .-3 -2 -I 02化簡(jiǎn)：|3a-e|+|2a+i|-|c-A .【答案】解：由圖所示，可得；.二 3a -c 0，一 一 .1,，3a-c+2a+b-e-b =li-c+(2fl+fc)+(c-i) =3ac+2a+b+cb = 5a原式.j-.i【變式2】求|.：的最小值.【答案】解法一：當(dāng)x ： -2時(shí)，貝yx+2 + x_3 =_(x+2)+(x_3) = _x_2_x+3 = _2x + 15當(dāng) - 2X3 時(shí)，則 x+2 +

10、|x_3 =(x + 2)+(x_3)= x+2_x + 3 = 5 當(dāng)時(shí)，貝x+2+|x_3=(x+2)+(x_3) = x + 2 + x_3=2x_15綜上：當(dāng)時(shí)，|x+2 + i_3|取得最小值為：5.解法二：借助數(shù)軸分類討論：x ： -2 ；二； 一.|x+2| + |x-3|的幾何意義為J對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與I對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離和.由圖明顯看出 -2x3 時(shí)取最小值.5.所以，-2MM3時(shí)，1+2|+|才-？|取最小值類型四、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用已知a、b為有理數(shù),且滿足:11 2口+11+1 2 - E |二 0 ,則 a=【答案與解析】由12a+1|20 , 12-0

11、|20 , 12+1|+|2-古卜0 ,可得J 肋+1 二 02-b = Q【總結(jié)升華】 由于任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于或等于o,要使這兩個(gè)數(shù)的和為 o,需要這兩個(gè)數(shù)都為0 .幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0，則每一個(gè)數(shù)均為 0.舉一反三:【變式1】已知14x-3|= 3-4x，貝U x的取值范圍是.3 3 【答案】乳一 ；提示：將43看成整體必，即IM二p , 則沐0，故4x-30，.4 4【變式2】已知b為正整數(shù)，且a、b滿足二-J - I ,求的值.2d( - 4 = 0 (a 2所以，a2【答案】解：由題意得彳 i = 1b = l類型五、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用6. 正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定

12、，下面是6個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測(cè)結(jié)果（單位：克）：-25,+10,-20, +30, +15,-40.裁判員應(yīng)該選擇哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢？請(qǐng)說明理由.【答案與解析】解：因?yàn)樨?+10 | | +15 | | -20 | -25 | | +30 | | -40 丨，所以檢測(cè)結(jié)果為 +10 的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽.【總結(jié)升華】絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn)舉一反三：【變式】一只可愛的小蟲從點(diǎn) O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正 數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程（單位：cm）依次記為：+5 , -3, +10 ,-8,