全等三角形中結合圖形變換的提高題

1、全等三角形中結合圖形變換的提高題一請閱讀下列材料：問題：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）如圖1所示的方式擺放其中ACB=90°，CA=CB，F(xiàn)DE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DFAC于點M，DEBC于點N探究線段OM與ON的數(shù)量關系小聰同學的思路是：連接OC，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中線段OM與ON的數(shù)量關系；（2）將這幅直角三角板如圖2所示的方式擺放使點D落在BA的延長線上，DEAC，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線交于點M，BC的延長線與DE交于點N點O是AB的中點連接ON

2、、OM、MN請你判斷線段OM與ON的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的結論二四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個角都是90°）（1）如圖1，點G是BC邊上任意一點（不與點B、C重合），連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E求證：ABFDAE；（2）直接寫出（1）中，線段EF與AF、BF的等量關系  ；（3）如圖2，若點G是CD邊上任意一點（不與點C、D重合），連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E，則圖中全等三角形是  ，線段EF與AF、BF的等量關系是  ；如圖3，若點G是CD延長線上任意一點，連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點

3、E，線段EF與AF、BF的等量關系是  ；（4）若點G是BC延長線上任意一點，連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E，請畫圖、探究線段EF與AF、BF的等量關系一 小明、小敏兩人一起做數(shù)學作業(yè)，小敏把題讀到如圖（1）所示，CDAB，BEAC時，還沒把題讀完，就說：“這題一定是求證B=C，也太容易了”她的證法是：由CDAB，BEAC，得ADC=AEB=90°，公共角DAC=BAE，所以DACEAB由全等三角形的對應角相等得B=C小明說：“小敏你錯了，你未弄清本題的條件和結論，即使有CDAB，BEAC，公共角DAC=BAE，你的推理也是錯誤的看我畫的圖（2），顯然DAC與E

4、AB是不全等的再說本題不是要證明B=C，而是要證明BE=CD”（1）根據小敏所讀的題，判斷“B=C”對嗎？她的推理對嗎？若不對，請做出正確的推理（2）根據小明說的，要證明BE=CD，必然是小敏丟了題中條件，請你把小敏丟的條件找回來，并根據找出的條件，你做出判斷BE=CD的正確推理（3）要判斷三角形全等，從這個問題中你得到了什么啟發(fā)？四定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形探究：（1）如圖甲，已知ABC中C=90°，你能把ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要

5、順次連接三角形各邊中點，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形我們把DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）依次規(guī)則操作下去n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設此時小三角形的面積為Sn若DEF的面積為1000，當n為何值時，3Sn4？（請用計算器進行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）當n1時，請寫出一個反映Sn-1，Sn，Sn+1之間關系的等式（不必證明）五請閱讀下列材料：問題：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點B、C、E在同

6、一條直線上，M是線段AF的中點，連接DM，MG探究線段DM與MG數(shù)量與位置有何關系小聰同學的思路是：延長DM交GF于H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中線段DM與MG數(shù)量與位置有何關系  ；（2）將圖1中的正方形CEFG繞點C順時針旋轉，使正方形CEFG對角線CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）如圖3，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，寫出你的猜想六在課外小組活動時，小

7、慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流原問題：如圖1，已知ABC，ACB=90°，ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作ABD與BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90°，連接DE交AB于點F探究線段DF與EF的數(shù)量關系小慧同學的思路是：過點D作DGAB于G，構造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學說：我做過一道類似的題目，不同的是ABC=30°，ADB=BEC=60度小明同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關系；（2）如

8、圖2，若ABC=30°，ADB=BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；3）如圖3，若ADB=BEC=2ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明。七閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，ABC=BEF=60°，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關系小穎同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小穎同學的思路，探究并解決下列問題：（1）請你寫出

9、上面問題中線段PG與PC的位置關系；（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題申的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明，八四邊形ABCD是正方形（1）如圖1，點G是BC邊上任意一點（不與B、C兩點重合），連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E求證：ABFDAE；（2）在（1）中，線段EF與AF、BF的等量關系是  （直接寫出結論即可，不需要證明）；（3）如圖2，點G是CD邊上任意一點（不與C、D兩點重合），連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E那么圖中全等

10、三角形是 ，線段EF與AF、BF的等量關系是  （直接寫出結論即可，不需要證明）九把兩個大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的規(guī)則放置：“在同一平面內將直角頂點疊合”（1）圖1是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，B、C、D在同一條直線上，連接EC請找出圖中的全等三角形（結論中不含未標識的字母），并說明理由；（2）圖2也是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，A、C、D在同一條直線上，連接BD、連接EC并延長與BD交于點F請找出線段BD和EC的位置關系，并說明理由；（3）請你：畫出一個符合放置規(guī)則且不同于圖1和圖2所放位置的幾何圖形；寫出你所畫幾何圖形中線段BD和EC的位置和數(shù)量關系

11、；上面第題中的結論在按照規(guī)則放置所抽象出的幾何圖形中都存在嗎？十【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到ADCEDB的理由是  ASSS      BSAS      CAAS       

12、60;DHL（2）求得AD的取值范圍是  A6AD8   B6AD8  C1AD7  D1AD7【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中【問題解決】（3）如圖2，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF 求證：AC=BF十一。閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖（1），等邊ABC內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則APB=  ，由于PA，PB不在一個三角形中，為

13、了解決本題我們可以將ABP繞頂點A旋轉到ACP處，此時ACP  這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉化到一個三角形中從而求出APB的度數(shù)（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），ABC中，CAB=90°，AB=AC E、F為BC上的點且EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2十二。如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E（1）寫出圖1中的一對全等三角形；寫出圖1中線段DE、AD、BE所具有的等量關系；（不必說明理由）（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時

14、，請說明DE=AD-BE的理由；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE又具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不必說明理由）十三。如圖，在RtABC和RtDEF中，ABC=90°，AB=4，BC=6，DEF=90°，DE=EF=4（1）移動DEF，使邊DE與AB重合（如圖1），再將DEF沿AB所在直線向左平移，使點F落在AC上（如圖2），求BE的長；（2）將圖2中的DEF繞點A順時針旋轉，使點F落在BC上，連接AF（如圖3）請找出圖中的全等三角形，并說明它們全等的理由（不再添加輔助線，不再標注其它字母）十四. 復習“全等三角形”的知識時，老師布

15、置了一道作業(yè)題：“如下圖，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC內部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ，使得QAP=BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP”（1）小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP請你幫小亮完成證明（2）之后，小亮又將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ=CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖給出證明若不成立，請說明理由十五 問題：如圖，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC試探究PG與PC的位置關系及 PGPC的值小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造

16、全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及 PGPC的值；（要有具體過程）（2）若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD矩形BEFG”其它條件不變，畫圖試探求線段PG與PC的關系十六 已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點P是邊CD上的一個動點（不與點C重合，把這張矩形紙片折疊，使點B落在點P的位置上，折痕交邊AD于點M，折痕交邊BC于點N（1）寫出圖中的全等三角形設CP=x，AM=y，寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）試判斷BMP是否可能等于90°如果可能，請求出此時C

17、P的長；如果不可能，請說明理由。 十七。如圖，矩形ABCD沿直線MN折疊，使點D落在點B處，點E、F分別是邊AD、BC與MN的交點，Q是MM與對角線BD的交點，P是對角線BD上任意一點，PHBE于H，PGAD于G（1）不添加輔助線，找出圖中的全等三角形；（至少找出兩組，不要求證明）（2）請你猜想PH、PG、AB它們之間有什么關系？并證明你的結論十八。兩個全等的RtABC和RtDEF重疊在一起，其中A=60°，ACB=DFE=90°且AC=1固定ABC不動，將DEF作如下操作：（1）如圖1，DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDB

18、F的面積會變嗎？若不變請求出其面積；（2）如圖2，當D點移到AB中點時，連接DC、CF、FB，BC與DF相交于點O除RtABCRtDEF外，請找出圖中其他所有全等三角形，不必寫理由；（3）如圖3，DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，求：sin的值答案一全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形分析：（1）連接OC，證CON和CMO全等即可；（2）連接OC，證CNMDMN，推出CN=DM=AM，證NCOMAO即可解答：解：（1）OM=ON；（2）OM=ON，OMON，證明：連接OCAC=BC，O是AB中點，ACB=90

19、°，OA=OB，COAB，ACO=BCO=45°，CAB=CBA=45°，CAB=ACO，B=BCO，OC=OA=OB，MAO=NCO=135°，DEMC，F(xiàn)DE=90°，DMC=FDE=90°，DNM=NMCCAB=DAM=45°，MDA=DAM=45°DM=AM，DEMC，CMN=DNM，在DMN和CNM中NDMNCMDNMCMNMNMN，DMNCNM（AAS），CN=DM=AM，DM=NC即CNO=ODM=45°，CN=DM，NCO=MAO=135°，OC=OA，AMOCNO（SAS），O

20、M=ON，MOA=NOC，NOC+NOA=90°，MOA+NOA=90°OMON點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質，三角形的外角性質等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度二全等三角形的判定與性質；正方形的性質分析：（1）根據正方形性質得出AB=AD，DAB=90°，根據垂直定義得出AED=AFB=90°，求出ADE=BAF，根據AAS證出兩三角形全等即可；（2）根據全等得出AE=BF，代入即可求出答案；（3）ABFDAE，EF=BF-AF，證法與（1）（2）類似；EF=AF+BF，證明過程類似；（4）根據正方形性

21、質得出AB=AD，DAB=90°，根據垂直定義得出AED=AFB=90°，求出ADE=BAF，根據AAS證出兩三角形全等即可解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAE=90°，DEAG，BFAG，AED=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；（2）解：線段EF與AF、BF的等量關系是EF=AF-BF，理由是：由（1）知：ABFDAE，BF=AE，EF=AF-AE=AF-BF，故答案為：EF=AF-BF

22、；（3）解：ABFDAE，EF=BF-AF，理由是：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAE=90°，DEAG，BFAG，AED=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE-AF=BF-AF，故答案為：ABFDAE，EF=BF-AF；解：EF=AF+BF，理由是：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAF=180°-90°=90°，DEAG，BFAG，AE

23、D=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE+AF=AF+BF，故答案為：EF=AF+BF；（4）解：與以上證法類似：ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE-AF=AF-BF；即EF=AF-BF點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似三直角三角形全等的判定專題：閱讀型分析：明顯小敏的推理不正確，因為在判定三角形全等的過程中沒有邊的參與要判定兩個三角形全等，必須有邊的參與解答：解：（1）小敏的推理不正確

24、因為僅憑兩個角不能判定兩三角形全等（2）條件為AB=AC或AE=AD證明：CDAB，BEAC；ADC=AEB=90°；公共角DAC=BAE，AB=AC；DACEAB（AAS）BE=CD（全等三角形的對應邊相等）（3）要判斷兩個三角形全等，不可缺少的元素是邊，至少要有一組對應邊相等點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角四相似三角形的判定與性質專題：規(guī)律型分析：（1）過直角頂點作斜邊的垂線即可得出兩個

25、與原直角三角形相似的三角形由于這兩個三角形都與原三角形共用一個銳角，又都有一個直角，因此有兩個對應角相等，因此都與原三角形相似（2）由圖可知，每分割一次得到的圖形的小三角形的個數(shù)都是前面一個圖形中小三角形的個數(shù)的4倍，因此當?shù)趎個圖時，如果設原三角形的面積為S，那么小三角形的面積應該是Sn= S4n，按所求的公式進行計算，看n是多少時Sn的值在3和4之間Sn= S4n= S22n，Sn-1= S4n1= S22n2，Sn+1= S4n+1= S22n+2，由此可看出Sn2=Sn-1Sn+1解答：解：（1）正確畫出分割線CD（如圖，過點C作CDAB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線）理由：B=

26、B，CDB=ACB=90°BCDACB；（2）DEF 經N階分割所得的小三角形的個數(shù)為14nSn=10004n當 n=3時，S3=1000S315.62當 n=4時，S4=1000S43.91當 n=4時，3S44Sn=S4n=S22n，Sn-1=S4n1=S22n2，Sn+1=S4n+1=S22n+2S 2n=Sn-1×Sn+1，Sn-1=4Sn+1點評：本題考查的是相似形的識別，關鍵要聯(lián)系實際，根據相似圖形的定義得出要根據前面幾個簡單圖形得出一般化規(guī)律，然后用得出的規(guī)律來求解五旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的

27、性質專題：幾何綜合題分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得DAM=HFM，然后利用“角邊角”證明ADM和FHM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DM=HM，AD=FH，再求出GD=GH，然后根據等腰直角三角形的性質解答；（2）延長DM交CF于H，連接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，再利用“邊角邊”證明CDG和FHG全等，根據全等三角形對應邊相等可得GD=GH，CGD=FGH，然后根據等腰直角三角形的性質解答；（3）過點F作FHAD交DM的延長線于H，交DC的延長線于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，根據等角的余角相等求出DCG=HFG，然后利用“邊角邊”證明CDG和F

28、HG全等，根據全等三角形對應邊相等可得GD=GH，然后根據等腰直角三角形的性質解答解答：（1）解：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，ADBCGF，DAM=HFM，M是線段AF的中點，AM=FM，在ADM和FHM中，DAMHFMAMFMAMDFMH，ADMFHM（ASA），DM=HM，AD=FH，GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，GD=GH，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG；（2）如圖2，延長DM交CF于H，連接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，DCG=90°-45°

29、=45°，HFG=45°，DCG=HFG，在CDG和FHG中，CDFHDCGHFGCGFG，CDGFHG（SAS），GD=GH，CGD=FGH，DGH=CGD+CGH=FGH+CGH=CGF=90°，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG；（3）如圖3，過點F作FHAD交DM的延長線于H，交DC的延長線于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，易得NCE=EFN，DCG+NCE=180°-90°=90°，HFG+EFN=90°，DCG=HFG，在CDG和FHG中，CDFHDCGHFGCGFG，CDGFHG（SAS），G

30、D=GH，CGD=FGH，DGH=CGD+CGH=FGH+CGH=CGF=90°，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，在正方形中證明三角形全等，并運用全等的性質解題是中考的熱點，本題作輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵六全等三角形的判定與性質專題：壓軸題；閱讀型分析：本題的解題思路是通過構建全等三角形來求解先根據直角三角形的性質，等邊三角形的性質得到一些隱含的條件，然后根據所得的條件來證明所構建的三角形的全等；再根據全等三角形的對應邊相等得出DF=EF的猜想解答：解：（1）DF=EF（2）猜想：DF=FE證明

31、：過點D作DGAB于G，則DGB=90度DA=DB，ADB=60度AG=BG，DBA是等邊三角形DB=BAACB=90°，ABC=30°，AC=12AB=BGDBGBACDG=BCBE=EC，BEC=60°，EBC是等邊三角形BC=BE，CBE=60度DG=BE，ABE=ABC+CBE=90°DFG=EFB，DGF=EBF，DFGEFBDF=EF（3）猜想：DF=FE證法一：過點D作DHAB于H，連接HC，HE，HE交CB于K，則DHB=90度DA=DB，AH=BH，1=HDBACB=90°，HC=HBEB=EC，HE=HE，HBEHCE2=3

32、，4=BEHHKBCBKE=90°ADB=BEC=2ABC，HDB=BEH=ABCDBC=DBH+ABC=DBH+HDB=90°，EBH=EBK+ABC=EBK+BEK=90°DBHE，DHBE四邊形DHEB是平行四邊形DF=EF證法二：分別過點D、E作DHAB于H，EKBC于K，連接HK，則DHB=EKB=90度ACB=90°，EKACDA=DB，EB=EC，AH=BH，1=HDB，CK=BK，2=BEKHKAC點H、K、E在同一條直線上下同證法一點評：此題考查了全等三角形的判定和性質；等邊三角形的性質的性質及直角三角形的性質等知識點，在做題時要注意隱

33、含條件的運用七菱形的性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質；解直角三角形分析：（1）根據題意可知小穎的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件；（2）思路同上，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明GFPHDP（得到P是HG中點）外還需證明HDCGBC（得出三角形CHG是等腰三角形）解答：解：（1）線段PG與PC的位置關系是PGPC理由：延長GP，交CD于點H，四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，CDABGF，PDH=PFG，DHP=PGF，P是線段DF的中點，DP=PF，在DPH和FGP中，PDHPFG

34、DHPPGFDPPF，DPHFGP（AAS），PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，即PGPC；（2）猜想：（1）中的結論沒有發(fā)生變化證明：如圖，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，P是線段DF的中點，F(xiàn)P=DP，ADFG，GFP=HDP又GPF=HPD，GFPHDPGP=HP，GF=HD，四邊形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60°由ABC=BEF=60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，GBC=60°HDC=GBC四邊形BEFG是菱形，GF=GBHDCGBCCH=CGPH=

35、PG，PGPC點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數(shù)的定義此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用八 無九 全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形分析：（1）可證BAD=CAE，運用SAS證明ABD與ACE全等；（2）根據SAS證明ABD與ACE全等，得BD=CE；ADB=AEC根據三角形內角和定理證明CFD=CAE=90°可判斷位置關系；（3）當ABC繞點A旋轉與ADE重疊時結論仍成立解答：解：（1）ABDACE（1分）ABC是直角三角形，AB=AC，BAC=90°（1分）同理 AD=AE，EAD=90&#

36、176;（1分）BAC=EADBAC+CAD=EAD+CAD即BAD=CAE（1分）在ABD和ACE中，ABACBADCAEADAEABDACE（2）在ABD和ACE中，ABACBADCAEADAEABDACEADB=AEC（全等三角形對應角相等）（1分）ACE=DCF，（對頂角相等）ADB+DCF+EFD=180°，（三角形內角和180°）AEC+ACE+EAC=180°，（三角形內角和180°）（1分）EAC=EFD（1分）BAC=90°，EAC=90°即EFD=90°BDEC（垂直定義）（1分）（3）如圖：（1分）BD

37、=EC，BDEC（2分）存在（1分）點評：此題考查全等三角形的判定和垂直的定義，把實際問題抽象成數(shù)學模型是難點十全等三角形的判定與性質；三角形三邊關系分析：（1）根據AD=DE，ADC=BDE，BD=DC推出ADC和EDB全等即可；（2）根據全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關系定理得出8-62AD8+6，求出即可；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，根據SAS證ADCMDB，推出BM=AC，CAD=M，根據AE=EF，推出CAD=AFE=BFD，求出BFD=M，根據等腰三角形的性質求出即可解答：（1）解：在ADC和EDB中ADDEADCBDEBDCD，ADCEDB（S

38、AS），故選B；（2）解：由（1）知：ADCEDB，BE=AC=6，AE=2AD，在ABE中，AB=8，由三角形三邊關系定理得：8-62AD8+6，1AD7，故選C（3）證明：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，AD是ABC中線，BD=DC，在ADC和MDB中BDDCADCBDMADDM，ADCMDB，BM=AC，CAD=M，AE=EF，CAD=AFE，AFE=BFD，BFD=CAD=M，BF=BM=AC，即AC=BF點評：本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力十一 無十二全等三角形的判定與性質分

39、析：（1）證明ADCBEC（AAS）即可：已知已有兩直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等證明DAC=BCE即可；（2）根據垂直定義求出BEC=ACB=ADC，根據等式性質求出ACD=CBE，根據AAS證出ADC和CEB全等即可；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關系，根據位置尋找和差的關系解答：解：（1）ADCCEB理由如下：ACB=90°，ADC=90°，BEC=90°ACD+DAC=90°，ACD+BCE=90°，DAC=BCE，在ADC與BEC中，ADCBEC90°  DACBCE  AC

40、BC，ADCBEC（AAS）；DE=CE+CD=AD+BE理由如下：由知，ADCBEC，AD=CE，BE=CD，DE=CE+CD，DE=AD+BE；（2）ADMN于D，BEMN于EADC=BEC=ACB=90°，CAD+ACD=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCE在ADC和CEB中CDABCEADCBECACCB，ADCCEBCE=AD，CD=BEDE=CE-CD=AD-BE（3）同（2），易證ADCCEBAD=CE，BE=CDCE=CD-EDAD=BE-ED，即ED=BE-AD；當MN旋轉到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE-AD

41、（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，垂線的定義等知識點的應用，解此題的關鍵是推出證明ADC和CEB全等的三個條件題型較好十三旋轉的性質；全等三角形的判定；相似三角形的判定與性質專題：幾何綜合題分析：本題是關于三角形知識的綜合題，既運用三角形相似，又考查了三角形全等不失為一道好題解答：解：（1）EFBC，AEFABC，AEABEFBCAB=4，BC=6，DE=EF=4，AE446，AE83BE=AB-AE=4-8343（2）RtAEFRtFBA在RtAEF和RtFBA中，EF=BA，AF=FA，B=E=90°，RtAEFRtFBA（HL）點

42、評：本題考查了圖形的平移變換及三角形相似性質的運用十四。無十五。正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的性質專題：幾何綜合題分析：（1）利用角邊角證明GFPHDP，證得GP=HP，GF=HD，進而利用正方形的性質可得CH=CG，即可得所求；（2）由（1）同法可得GP=HP，GF=HD，根據所給矩形全等可得CH=CG，即可得所求解答：解：（1）如圖1，當點A，B，E在同一條直線上時，有結論：PGPC，PG=PC延長GP交DC與點HP是線段DF的中點，F(xiàn)P=DP由題意知DCAE，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四邊形ABCD、BEFG是正方形，CD=CB，

43、GB=GFCH=CG，又HCG=90°，GP=HP，PGPC，PG=PC；（2）如圖2，當點A，B，E在同一條直線上時，有結論：PGPC，PG=PC延長GP交DC延長線于點HP是線段DF的中點，F(xiàn)P=DP由題意可知DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，矩形ABCD矩形BEFG，CD=GB，CB=GF，CH=CG又HCG=90°，GP=HP，PGPC，PG=PC點評：綜合考查了正方形的性質及全等三角形的判定與性質；采用類比的思想做相類似的問題是解決本題的關鍵；利用證明三角形全等的方法求解是解決本題的基本思路十六。翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的性質分析：（1）由折疊的性質可得：MBNMPN，即可得MB=MP，又由四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD，A=D=90°，然后分別在RtABM與RtDMP中，利用勾股定理，可得MB2=AM2+AB2=y2+4，MP2=MD2+PD2=（3-y）2+（2-x）2，繼而求得y與x的函數(shù)關