條件收斂與絕對收斂

1、創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日第四節(jié)條件收斂與絕對收斂之馬矢奏春創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日對于任意項(xiàng)級數(shù)an,我們已經(jīng)給出了其收斂的一些判別方n 1法，本節(jié)我們討論任意項(xiàng)級數(shù)的其他性質(zhì)一條件收斂與絕對收斂。定義10.5對于級數(shù)an,如果級數(shù)|an|是收斂的，我們稱級n 1n 1數(shù) an絕對收斂。 n 1如果 |an|發(fā)散，但an是收斂的，我們稱級數(shù)an條件收n 1n 1n 1斂。條件收斂的級數(shù)是存在的，如51.n 1 n收斂級數(shù)可以看成是有限和的推廣，但無限和包含有極限過程。其實(shí)不是有限和的所有性質(zhì)都為無限和所堅(jiān)持。大體說來， 絕對收斂的級數(shù)堅(jiān)持了有限和的大多數(shù)性質(zhì)，條件收斂的級數(shù)

2、則 在某些方面與有限和差別很大。下面我們討論條件收斂與絕對收 斂的性質(zhì)。定理10.17 絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之則否則證明：設(shè)級數(shù)an收斂，即|an|收斂，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，對n 1n 10,存在N,當(dāng)n>N時(shí)，對一切自然數(shù)p,成立著創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日I an 1 I I an 2 I I an p I于是：再由Cauchy收斂準(zhǔn)則知an收斂。n 1由級數(shù)1）可看出反之不成立。n 1 n注：如果正項(xiàng)級數(shù)IanI發(fā)散，不克不及推出級數(shù)an發(fā)散。但如果使用 Cauchy判別法或D' Alembert判別法判定出IanI發(fā)n 1

3、散，則級數(shù)an必發(fā)散，這是因?yàn)槔肅auchy判別法或n 1D' Alembert判別法來判定一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)|an|為發(fā)散時(shí)，是根n 1據(jù)這個(gè)級數(shù)的一般項(xiàng)IanI當(dāng)n時(shí)不趨于0,因此對級數(shù)ann 1而言，它的一般項(xiàng)也不趨于零，所以級數(shù)an發(fā)散。n 1例10.38討論級數(shù)（1）n1U J 的斂散性，如收斂指明是n 1 n 1 np條件收斂或絕對收斂。解，當(dāng)p 0時(shí)，由于1加人0,所以級數(shù)發(fā)散.n n 1 np當(dāng)p 2時(shí)，因?yàn)橐?1而 J 收斂，所以原級數(shù)絕對收斂。n 1 , n p當(dāng)0 p 2時(shí)，創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日因 Un - Un+1=(n1

4、 ) np (n 2) (n 1)p_(n2 4n 4)(n 1)p2 (n2p(n 1)(n2)n2 (np4n 3)n2p1)萬p>(n2 4n 4)n2(n2 4n(n 1)(np2)n2 (np3"p1)2pn2p(n 1)(n 2)n2 (np1戶故Un單調(diào)減少，且由Leibniz 判別法知(1)n11n2-收斂，顯然 n 1 np一二發(fā)散，所以當(dāng)0n 1 n 1 np2時(shí)級數(shù)條件收斂。前面已經(jīng)指出，一個(gè)收斂級數(shù)（不管是絕對收斂或條件收 斂），將其項(xiàng)任意加括號后，得到的新級數(shù)仍收斂，這個(gè)性質(zhì)稱 為收斂級數(shù)滿足結(jié)合律。下面我們討論收斂級數(shù)的交換律。設(shè) an是一個(gè)級數(shù)，將

5、級數(shù)項(xiàng)任意交換順序，得到的新級數(shù) n 1a；也是絕n 1記為 an,我們有下列定理： n 1定理10.18設(shè)級數(shù)an絕對收斂，則重排的級數(shù)n 1對收斂的，且其和不變。創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日證明：先設(shè)an是正項(xiàng)收斂的級數(shù)，此時(shí)有n 1 ma；an=M 對m=1,2,，均成立n 1n 1即正項(xiàng)級數(shù)an的部分和數(shù)列有界，從而an收斂，n 1n 1且 an an n 1n 1而正項(xiàng)級數(shù)an也可看成是an的重排，從而也有a： ann 1n 1n 1n 1所以 an = an. n 1 n 1對一般項(xiàng)級數(shù)an,設(shè)|an|收斂n 1n 1記 Un=1 an 1 an

6、 , Vn= |an 1 an , n=1,2,， 22顯然有。Un |anl, 0Vn |烝 |, n 1,2,由比較判別法知正項(xiàng)級數(shù)un與 vn均收斂。因而重排后的級數(shù)n 1n 1un與 Vn也收斂，且有 n 1n 1/Un= Un n 1 n 1 / vn = vn n 1 n 1從而，級數(shù) |其|= (u； v；)也收斂，即an絕對收斂，且有n 1n 1n 1/1an|= (Un vn)= Unvnn 1n 1n 1 n 1創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日-unvn = （un vn）n 1n 1 n 1=ann 1下面我們討論條件收斂級數(shù)的重排：定理1

7、0.19 （Riemann）設(shè)an是條件收斂級數(shù)，則n 1（1）對任意給定的一個(gè)E R,必存在an的一個(gè)重排ann 1使得a： = E ；n 1（2）存在an的重排級數(shù)a；使n 1n 1an=（或） n 1證明：記Un=1 an 1 an , Vn=|an| an22n=1,2，顯然Un,Vn都是正項(xiàng)級數(shù)，且有n 1n 1lim un=lim v；=0 nn易證得 Un和Vn均發(fā)散（請讀者自行證明）n 1n 1現(xiàn)考察序列a1, a 2,，a n,，（*）用pm暗示數(shù)列（*）中第m個(gè)非負(fù)項(xiàng)，用 Q暗示其中的第 m個(gè)負(fù)項(xiàng)的絕對值。顯然pm是Un的子列，Qm）是Vn的子列，（ Pm）為Un創(chuàng)作時(shí)間：

8、貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日中刪去了一些等于零的項(xiàng)后剩下的數(shù)列），因此lim pm=lim Q=0 nn我們依次考察 pi,出中的各項(xiàng)，設(shè)pm1為其中第一個(gè)滿足以下條件的項(xiàng)pi+p2+.+ Pmi>H再依次考察 Q, Q中的各項(xiàng)，設(shè) Qni是其中第一個(gè)滿足以下條件 的項(xiàng)。pi+p2+ p - Q QQn1V E再依次考察 pm1 1+ pm1 2+中的各項(xiàng)，設(shè)pm2是其中第一個(gè)滿足以 下條件的項(xiàng)。pi+p2+- + pmi - Q QQni + pm! i + pmi 2+ pm2>E照此下去，我們得到an的一個(gè)重排an如下ninipi+p2+- - +

9、p Q QQni+ pmi Emi 2+- pm2一Qm iQn2 + pm2 i +.再分別用 R與Lk暗示級數(shù)a；的末項(xiàng)為pm的部分和與末項(xiàng)為1KniQ*的部分和，則有 nkI Rk Y Ipmk，k=2,3,否則與pmk的選取有矛盾。同理有創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日|L一| Qnk,k=1,2,3,因?yàn)槭?Pmk = lim Qnk二。 kk lim R=lim Lk= S kk因?yàn)榧墧?shù)a；的任一部分和sn必介于某一對Lk與R之間，所以也n 1應(yīng)有l(wèi)im s； = S n即a： = En1(2)首先，任意選取一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)上升并趨于 +的實(shí)數(shù)，列工 k

10、(例如，可選E k = k, k=1,2,),其次，用 pk暗示序列an中 的第k個(gè)非負(fù)項(xiàng)，用 Q暗示序列an的第k個(gè)負(fù)項(xiàng)，設(shè)pm是 P1, P2,中第一個(gè)滿足以下條件的項(xiàng)P1 + P2+ T舊 > 衛(wèi) 1設(shè)Qni是Q, Q ,中第一個(gè)滿足以下條件的項(xiàng)仍+5+一+巾Q QQn1 < S 1再依次考察Pm1 1+ Pm 2+中的各項(xiàng)，設(shè)Pm2是其中第一個(gè)滿足以下 條件的項(xiàng)P1 +Pm1 QQm + Pm1 1+Pm2>± 2再依次考察Qn1 1, Qn1 2中各項(xiàng)，設(shè)Qn2是其中第一個(gè)滿足以下條 件的項(xiàng)，P1 +Pm1 QQm + Pm1 1+Pm2 . % 1% &

11、gt; 2 2創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日依次做下去，我們得到an的一個(gè)重排a：,這個(gè)重排級數(shù)滿足n 1n 1條件同樣可以得到一個(gè)重排，使得 a：.n 1下面我們考察兩個(gè)級數(shù)的乘積。設(shè) an與 bn是兩個(gè)級數(shù)，將(an )(bn )定義為下列所有項(xiàng)n 1n 1n 1n 1的和由于級數(shù)運(yùn)算一般不滿足交換律與結(jié)合律。所以這無窮多項(xiàng)如何 排序是我們需要考慮的一個(gè)問題。事實(shí)上，上述無窮多項(xiàng)有很多 的排序方式，下面我們介紹兩種最經(jīng)常使用的排序方式 對角線排序法和正方形排序法。定義10.62由12回22舊32由4/ /a2b1 a2b2a2b3a2b4 /, a3b1a

12、3b2a3b3 a3b4 z /a4b1a4b2a4b3 a4b4 z令 C1= ah, C2= a1b2+ a2b1, C3= ab+ a2b2+ a3b, Cn=ajbj a 1bn+a2bn-1+anb1i j n 1創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日我們稱cn = (aibn+abn-i + +anbi)為級數(shù)an 與 bn 的 Cauchyn 1 n 1n 1n 1乘積。2由121322由3軸4a2b1a2b2a2b3a2b4 a3b1a3b2a3b3 a3b4 a4b1a4b2a4b3 a4b4 令 d1= a 1b1, d 2= a 2+ a 2b2

13、+ a 2b1dn= a 1bn+ a2bn+ a nbn+ a nbg+ a nb1則級數(shù)dn稱為級數(shù)20與燈按正方形排列所得的乘積.n 1n 1n 1定理10.20如果級數(shù)an與 bn均收斂，則按正方形排序所得n 1n 1的乘積級數(shù)dn總是收斂的，且 dk=( ak)( bk)n 1k 1k 1 k 1證明：因?yàn)閚nSn= dk = (a1bk+ a2bk + + a kbk +a2bk-1+akb)k 1k 1nn=(ak)(bk)k 1k 1=帚創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日其中 s；與 sb分別為】與bn的部分和，n 1n 1當(dāng)記 lim s； =

14、sa, lim sb = sb時(shí),有 lim dn=sasb nnn所以級數(shù) dn收斂，且 dn=(an)(bn).但是兩個(gè)收斂級數(shù)的 Cauchy乘積卻紛歧定是收斂的。(1)"1n 12n2(1)n 1例如an = 1與bn =n 1 n 1-n 1n2Cauchy乘積的一般項(xiàng)為這兩個(gè)級數(shù)顯然都是收斂，但它們的+11cn = (-1)n1i j n 1 , ij顯然從而所以lim cnn0,故cn發(fā)散.n 1定理10.21如果級數(shù)an與bn都絕對收斂，則它們的Cauchyn 1n 1乘積g和正方形排列所得的乘積dn都是絕對收斂的，且n 1n 1cn =(an )(，)n 1n 1n

15、 1n證明：設(shè)sn= | ck | k 1創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日n=| aibk + a2bk-i+akbi|k 1nn(kJak|)(bk|)(|ak|)(|bk|)k 1k 1由正項(xiàng)級數(shù)| Ck |的部分和數(shù)列有界知| Ck |收斂，又因?yàn)榻^對k1k1收斂級數(shù)有交換律和結(jié)合律。同理可證，dn絕對收斂n 1所以Cn= dn=(an)(0).n1 n1n1n1我們可以將上定理的條件適當(dāng)放寬定理10.22 (Mertens)設(shè)級數(shù)an絕對收斂，級數(shù)bn收斂,n1n1記an=A,bn =Bn1n1則它們的Cauchy乘積cn也收斂，且 cn =ABn1n1

16、nn證明：記 An= ak, B n= bkk1k1cn=( a1bn + a2bn-1+anb1)前 n 項(xiàng)部分和 sn=(a1bk + a2bk-1+akb1)k1=a 1B + a2Bn-1+&B當(dāng)令 n=B Bn 時(shí)，(n=1,2,)創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日Sn= a i Bn + azR-1+，, ,+anB=a i(B n)+ a2(B n i) +an(B 一1)=A nB-(ai n +a2 n1+an 1)=A n B - R下面我們估計(jì)R = a 1 n +a2 n 1 +1 , +an 1因?yàn)樾蛄?k趨于0,可設(shè)I kl M

17、 k N取k充分大使kl<2D這里D> | an .n 1再取m充分大，使|ak l< m 12M于是當(dāng)N充分大時(shí)，對上面取定的 m有1 R1 (| M n|+ +|刈 n m 1。+(1amM11nm|+ +|an|1 1 |)<D +M = 2D 2M所以 lim Rn=0 n從而 lim Snlim ABAB .證畢.nn定理10.23 (Abel定理)設(shè)級數(shù) an與bn都收斂，且an =A,n 1n 1n 1創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日bn=B,cn是它們的Cauchy乘積，如果cn收斂，其和為c,n 1n 1n 1則必有cB證明：在數(shù)列極限理論中，我們已經(jīng)證明如 lim An=A, lim Bn =B, lim cn = c,則 nnnn當(dāng)記Sn品時(shí)，有l(wèi)imSn ck 1n1 n所以 c=lim Snn n k 1=lim A 1Bn +A2Bn-1+ +An B1 n n=AB.1、設(shè)級數(shù) an與 bn均絕對收