切換系統(tǒng)知識(shí)總結(jié)

1、切換系統(tǒng)來(lái)源于實(shí)際控制系統(tǒng)，所以對(duì)其研究不但是現(xiàn)代控制理論發(fā)展的需 要，更是試圖解決大量實(shí)際問(wèn)題的迫切需求.不同于一般系統(tǒng)，切換系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò) 程中，切換規(guī)則起著重要作用，不同的切換規(guī)則將導(dǎo)致完全不同的動(dòng)態(tài)特征：若干 個(gè)穩(wěn)定的子系統(tǒng)在某一切換規(guī)則下可導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定.而若干個(gè)不穩(wěn)定的子 系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)那袚Q下可使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，即其子系統(tǒng)的穩(wěn)定性不等價(jià)于整個(gè)系統(tǒng) 的穩(wěn)定性.1999年Daniel Liberzon 和A. Stephen Morse發(fā)表了一篇切換系統(tǒng)穩(wěn)定性 分析的綜述文章，并歸結(jié)為如下三個(gè)基本問(wèn)題：?jiǎn)栴}1:切換系統(tǒng)在任意切換下漸近穩(wěn)定的條件；問(wèn)題2:切換系統(tǒng)在受限切換下是否漸近穩(wěn)定；

2、問(wèn)題3:如何設(shè)計(jì)切換信號(hào)，使得切換系統(tǒng)在該切換信號(hào)下漸近穩(wěn)定.以上三個(gè)問(wèn)題是在研究切換系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)密不可分的。我們?cè)谘芯壳袚Q系統(tǒng)穩(wěn)定性的時(shí)候，大多圍繞這三個(gè)問(wèn)題展開(kāi).在對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的過(guò)程中，已經(jīng)有了很多的研究方法，在研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)， 我們經(jīng)常用到的方法有：?jiǎn)蜭yapunov函數(shù)方法，共同Lyapunov函數(shù)方法，多 Lyapunov 函數(shù)方法，共同控制 Lyapunov 函數(shù)方法，backstepping 方法，LMI切換系統(tǒng)基本知識(shí)定義1 一個(gè)切換系統(tǒng)被描述成以下微分方程的形式(1)其中這里是一族的充分正則函數(shù)，是關(guān)于時(shí)間的分段 .常值函數(shù)，稱為切換 新號(hào)。有可能取決于時(shí)間t或狀

3、態(tài)，或兩者都有。P是某個(gè)指標(biāo)集。以下非特別 指明假設(shè)P都是有限集。如果這里所有的子系統(tǒng)都是線性的，我們就得到一個(gè)線 性切換系統(tǒng)，(2)1任意切換下穩(wěn)定很明顯，為了研究切換系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性， 我們必須假設(shè)所有系統(tǒng) 都是穩(wěn)定的，這點(diǎn)對(duì)于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定只是必要條件。我們要研究的是為了使切 換系統(tǒng)在任意切換下穩(wěn)定還需要什么條件。存在共同Lyapunov函數(shù)是系統(tǒng)在任意切換下漸近穩(wěn)定的充要條件，因而尋 求共同Lyapunov函數(shù)存在的條件是解決穩(wěn)定性問(wèn)題的一個(gè)途徑。共同Lyapunov 函數(shù)法與傳統(tǒng)的Lapunov直接法基本是一致的。其主要思想是：對(duì)于切換系統(tǒng)， 如果各子系統(tǒng)存在共同Lyapun

4、ov函數(shù)，那么系統(tǒng)對(duì)于任意的切換序列都是穩(wěn)定定理1 Lapunov穩(wěn)定性定理為研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一個(gè)基本工具， 具體如下：對(duì)于切換系統(tǒng)(1),如果存在正定連續(xù)可微的函數(shù) V:,正定連續(xù)的函數(shù) W , 滿足那么顯然系統(tǒng)是穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)的。如果V (x)是徑向無(wú)界的，則結(jié)果是全 局的。因此，這樣一個(gè)Lapunov函數(shù)(稱為共同Lyapunov函數(shù))是研究切換系統(tǒng) 的一個(gè)重要課題。對(duì)于線性系統(tǒng) (1), 一般要找的是二次Lyapunov函數(shù)。定義2給定一組穩(wěn)定矩小，i E。，若存在一個(gè)正定矩陣P>0使得AP + PAi < Q, ?i EQ則稱它為A- i9Q的一個(gè)共同二次Ly

5、apunov函數(shù)。引理1如果切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的凸組合， ni - 1其中，Ui>0,E；=iUi = 1,那么該切換系統(tǒng)不具有共同Lyapunov函數(shù)。由以上引理可見(jiàn)，切換系統(tǒng)存在共同Lyapunov函數(shù)V (x)的必要條件為切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)的凸組合均穩(wěn)定。另外，對(duì)于下列一對(duì)二階漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)還有以下充分必要條件。i = At (x) , Ai G R7 x 7, i = 12考慮兩個(gè)子系統(tǒng)的矩陣凸組合ya (A1t A2)?aA + (1 - a ) A2j a £ (0.1)定理2 一對(duì)二階漸近穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)具有共同二次Lyapunov函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)Y 口(

6、Ai, A?)和Y 口(A, A / )中的矩陣都穩(wěn)定。定理3如果Mp士 口 E P是由一些可交換的Hurwitz矩陣組成的有限集，那 么這個(gè)相應(yīng)的線性切換系統(tǒng)(2)是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。令(Ai,A3即是一個(gè)給定的由交換的Hurwitz矩陣構(gòu)成的集合，令臼是 下面的Lyapunov方程的唯一的正定解AjPi 4 P*1 =- I對(duì)于i=1,m,令Pi是下面的Lyapunov方程的唯一的正定解4出 + ptAi =- P|Tj然后函數(shù)V (K)= XTPmx|是所期望的給定的線性切換系統(tǒng)(2)的一個(gè)二次共同Lyapunov函數(shù)。Pm由以下 公式給出由于X, i=1,m是可交換的，所以我們可以將

7、上式可以重新寫(xiě)成下面的形式這里5 ) 0定理4如果訐洞口 w P是由可交換的一次連續(xù)可微的斜向量場(chǎng)組成的有限集，并且所有的子系統(tǒng)的原點(diǎn)是一個(gè)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，那么交換的切換系統(tǒng)（1）是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。這里沒(méi)有給出共同Lyapunov函數(shù)的明確結(jié)構(gòu)，有兩種方法能夠構(gòu)造這樣的 一個(gè)函數(shù)，但是，他們都要依靠更強(qiáng)的條件：系統(tǒng)（1）的各子系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定 的。并且僅僅給出一個(gè)局部的共同 Lyapunov函數(shù)。方法一考慮這樣一個(gè)線性化的矩陣?fD. - .0二.如果非線性的斜向量場(chǎng)可交換，那么線性化的矩陣Ap也可交換。（假設(shè)fp £ 除 kO）= 0, ?p £ P）。線性化的矩

8、陣可交換是一個(gè)弱解條件。矩陣Ap是Hurwitz的當(dāng)且僅當(dāng)斜向量場(chǎng)。是指數(shù)穩(wěn)定的。這樣對(duì)于線性化的系統(tǒng)的一個(gè)二次共同Lyapunov函數(shù)，就可以作為這個(gè)有限子族非線性系統(tǒng)原點(diǎn)處的一個(gè)局部的共同Lyapunov函數(shù)。方法二 令p二.向，系統(tǒng)（1）的各子系統(tǒng)。是指數(shù)穩(wěn)定的。對(duì)于任意的p £ P,令。p（3力表示系統(tǒng)土二fp G）滿足初始條件x （0）二工的解，定 義Vi （x） ? f | 0 1 （ T , z） I'd TJ 0Vi （Q - 1（中 i（T）d T ,i=2, ,m這里T是一個(gè)足夠大的正常數(shù)。那么 W是一個(gè)各子系統(tǒng)的局部共同 Lyapunov函數(shù)。如果函數(shù)圣

9、：P E P滿足全局Lipschitz 條件，那么我們就得到一個(gè)全局的共同Lyapunov函數(shù)。定理5 （共同Lyapunov存在逆定理）假設(shè)切換系統(tǒng)（1）是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的，集合fp (x) ： P W p對(duì)?X有界，函數(shù)fp(X)對(duì)于x和一致的p滿足局部LipscMtz條件，那么這個(gè)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)有一個(gè)徑向無(wú)界的光滑的共同 Lyapunov 函數(shù)。2受限切換穩(wěn)定多Lyapunov函數(shù)法是Branicky從切換系統(tǒng)的特點(diǎn)出發(fā)提出的，這是因?yàn)楣?同Lyapunov要滿足的條件往往過(guò)強(qiáng)，實(shí)際系統(tǒng)中存在共同Lyapunov函數(shù)的情形 并不多見(jiàn)，而且很多切換系統(tǒng)雖然不存在共同Lyapunov函數(shù)，

10、卻可以選擇適當(dāng)?shù)那袚Q信號(hào)使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。對(duì)于這樣的系統(tǒng)，多 Lyapunov函數(shù)法是一種有效 的方法。多Lyapunov函數(shù)：為切換系統(tǒng)定義一組Lyapunov-like 函數(shù)Vt, i=1,2cm, 然后判定切換系統(tǒng)穩(wěn)定性。對(duì)于系統(tǒng)(1),假設(shè)各個(gè)子系統(tǒng)切換時(shí)狀態(tài)不發(fā)生跳變，平衡點(diǎn)為彳£ 0i?R”，。3 是全局Lipschiz連續(xù)的，所謂Lyapunov-like函數(shù)明是定義在區(qū)域Qi上的一個(gè)連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)，且滿足以下條件(1)正定性：Vi (E) = 0. ?x F Q,當(dāng)x 手孫 Cx) > 0(2)導(dǎo)數(shù)負(fù)定：當(dāng)切換到子系統(tǒng)f i (翼(t)時(shí)，其相應(yīng)的Lyapun

11、ov函數(shù)Vi單調(diào)遞 減，即?x 曰 Qi, V (x)二白W 0o共同Lyapunov函數(shù)法研究切換系統(tǒng)對(duì)于任意切換序列是否穩(wěn)定，而多 Lyapunov函數(shù)法研究系統(tǒng)對(duì)于一類切換序列是否穩(wěn)定。定理6若切換系統(tǒng)(1)的各子系統(tǒng)都是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，令Vp, P £ P是相應(yīng)的各子系統(tǒng)的徑向無(wú)界的Lyapunov函數(shù)，若存在一族正定的連續(xù)函數(shù)兒，P E P ,滿足對(duì)于每一對(duì)切換時(shí)刻：儲(chǔ)，t)，i < j ,滿足仃(匕)二仃Ctj)二p E P,并且仃(tk)羊p,儲(chǔ)( tk t，Vp lx (tj) / - Vp tx (tj) ) Wp (x tj)則切換系統(tǒng)(1)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的

12、。基于逗留時(shí)間的穩(wěn)定性對(duì)于切換系統(tǒng)，即使各個(gè)子系統(tǒng)均漸近穩(wěn)定，如果切換不當(dāng)，也可能使這個(gè) 系統(tǒng)不穩(wěn)定。直觀地說(shuō)，這是由于切換引起的“系統(tǒng)能量”增長(zhǎng)趨勢(shì)超過(guò)了各穩(wěn) 定子系統(tǒng)對(duì)“系統(tǒng)能量”的衰減作用。一個(gè)自然的想法是，如果在各穩(wěn)定子系統(tǒng) 內(nèi)停留的時(shí)間足夠長(zhǎng)，以對(duì)消并超過(guò)切換引起的“系統(tǒng)能量”增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么切 換系統(tǒng)就可以穩(wěn)定了。這一方法被稱為“長(zhǎng)駐留時(shí)間”。衡量逗留時(shí)間長(zhǎng)短的最簡(jiǎn)單直接的方法就是引入一個(gè)正常數(shù)|t>0,假設(shè)相鄰切換時(shí)刻相差不小于T的切換信號(hào)(即每次在子系統(tǒng)的逗留時(shí)間不小于| T ),我們考慮在這樣一類切換信號(hào)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性切換系統(tǒng)，如果各個(gè)子系 統(tǒng)均漸近穩(wěn)定，那么只

13、要切換信號(hào)滿足在各個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間足夠長(zhǎng)，即只要T足夠大，就可以保證線性切換系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且還可以定量計(jì)算出逗留時(shí)間的下限。在一定條件下，還可以將上述結(jié)論推廣到非線性切換系統(tǒng)。在這里，我們僅以一組全局指數(shù)穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明基于逗留時(shí)間 的穩(wěn)定性條件。假設(shè)切換系統(tǒng)(1)的各子系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，對(duì)于任意的 p £ p,都存在對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù)Vp滿足a小應(yīng) W bp|“(3)<'' -I(4)其中ap, bp, c口是正常數(shù)。由(3)和(4)我們能夠得到當(dāng)口 (x) W- 2X pVp(x), p £ P這里入/晟，口曰Po這

14、樣，-二：；.當(dāng) t G tOh t0 * T ),仃(t)二 p0下面我們考慮以下兩個(gè)子系統(tǒng)的情況 P=1,2 , |。=1, t E ItoJi), = =2,t Wh 一 一 ti注T, i=0.1。由以上不等式我們知道t>2b?Vj (ti) W V (t) W e " Vi(to) ai9bibibib? =Vi Ct21 W -v2 (t2) S r T門Ty式tj W b 7 cL X2)TVi(to)只要足夠大，就可以保證V|(t2) < Y&),引用多Lapunov函數(shù)穩(wěn)定性條件可見(jiàn)，只要切換信號(hào)滿足在各個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)的駐留時(shí)間|t足夠大.1biba

15、(其法只需TG不)7。不),就可以保證切換系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。平均駐留時(shí)間平均駐留時(shí)間是將所考慮的切換信號(hào)擴(kuò)充到只要隨著時(shí)間區(qū)段的增長(zhǎng)切換次數(shù)不會(huì)增加太快的切換信號(hào)?；蛘呤蔷€性增長(zhǎng) NEt）這No + 一，則t|稱 為是平均駐留時(shí)間。定理7對(duì)于切換系統(tǒng)（1）,如果各子系統(tǒng)都存在連續(xù)可謂的函數(shù)口 £ P,是兩個(gè)Km類函數(shù)，Ko, H是正常數(shù)，若滿足ai（|x|）W 力 tx） 口 a2 （|x|）, ?x, ?p E P?V小口 （x） W- 2X0VP（x）,?xT ?p e P11 MVp （x） W uVq （ ?x,?p, q e P則系統(tǒng)（1）對(duì)于有平均駐留時(shí)間T 空的任意切換

16、信號(hào)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定 的。單Lyapunov方法單Lyapunov函數(shù)作為一種特殊的多 Lyapunov函數(shù)是針對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)都 不穩(wěn)定提出的，一般結(jié)合凸組合技術(shù)來(lái)使用。單 Lyapunov方法為首先的選用方 法。令V是切換系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù)，單Lyapunov的本質(zhì)可描述為： 1）當(dāng)?shù)趇個(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)，V遞減；2）第i個(gè)子系統(tǒng)激活時(shí)V的末端值作 為下一個(gè)被激活系統(tǒng)時(shí)V的初始值。它與多 Lyapunov函數(shù)不同的是不要求Lyapunov函數(shù)在整個(gè)空間上都是遞減的。3穩(wěn)定的切換信號(hào)從應(yīng)用角度看，這方面的內(nèi)容意義最大，因?yàn)榍袚Q系統(tǒng)的精華在于“切換”， 即設(shè)計(jì)一組切換信號(hào)使切換系統(tǒng)在這組

17、切換信號(hào)下穩(wěn)定。這是切換系統(tǒng)研究的重 要內(nèi)容。雖然切換系統(tǒng)是由若干子系統(tǒng)和一組切換信號(hào)組成，但絕不是各個(gè)子系統(tǒng)簡(jiǎn)單的疊加，切換信號(hào)的作用同樣相當(dāng)重要。其中，線性矩陣不等式方法，凸 組合技術(shù)，線性化手段以及完備集概念都被應(yīng)用到此領(lǐng)域中。這部分主要講的是依賴于狀態(tài)的穩(wěn)定， 書(shū)中所研究的也主要是線性矩陣，用 到的關(guān)鍵技術(shù)是凸組合。下僅以子系統(tǒng)為 2的情況說(shuō)明。定理8 若矩陣片，刖存在一個(gè)Hurwitz的凸組合，那么就存在一個(gè)依賴于狀態(tài)的策略使得P二11.2的線性切換系統(tǒng)（2）二次穩(wěn)定。（它的逆也成立）。現(xiàn)在的切換系統(tǒng)研究也主要集中于研究具有特定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一組切換信號(hào)使系統(tǒng)穩(wěn)定。縱觀近年來(lái)的切換系統(tǒng)發(fā)展，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步和普及應(yīng)用為切換 系統(tǒng)實(shí)施控制提供了堅(jiān)實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)和廣闊的發(fā)展前