二次根式化簡的方法與技巧

1、二次根式化簡的方法與技巧二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 a b ab a 0, b 0對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算.二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項(xiàng).運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略。常言道：“兵無常勢，水無常形?！蔽覀冊诮馇ё?nèi)f化的數(shù)學(xué)題時，常常思維受阻，怎么辦？運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，換個角度思考，

2、往往可以打 破僵局，迅速找到解題的途徑。二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握 基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，約 分、合并是化簡二次根式的兩個重要手段，因此我們在化簡二次根式時應(yīng)想辦法把題目 轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式。現(xiàn)舉例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略。一、巧用公式法a 2 ba b a b例1.計(jì)算 a b a b.下載可編輯分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實(shí)只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因?yàn)?a與 屈 成立，且分式也成立，故有a 0,b0, (va 衣 0)而同時公式:a b 2 a2 2ab b2

3、,a2 b2 (a b)( a b),可以幫助我們將 a 2Jab b和a b變形，所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單。解：原式L 2 L a b( a b)( a 、b) b二、適當(dāng)配方法。例2 .計(jì)算:3 2.23612 % 3分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),.分母含有1 <2 J3其分子必有含1 J5 6的因式，于是可以發(fā)現(xiàn) 3 2f21 五且 6 n 731V2 ,通過因式分解，分子所含的 1 啦 J3的因式就出來了。.下載可編輯解：原式32 J2 J 3 J61vz2v 3(1V2)2，3(1J5)1 V 27 31 22三、正確設(shè)元化簡法。2 6例3 ：

4、化簡2 和屈分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化簡法，通過化簡替代，使其變?yōu)楹唵蔚倪\(yùn)算，再運(yùn)用有理數(shù)四則運(yùn)算法則的化簡分式的方法化簡， 例如：石 a, 芯 c, v'3 b,ab J6,正好與分子 吻合。對于分子，我們發(fā) 現(xiàn)a2 b2 c2所以2.222.22a b c 0,于是在分子上可加 a b c 0,因此可能能使分子也有望化為含 有a b c因式的積，這樣便于約分化簡。解：設(shè).2 a, .3 b, ,5 c,則2ab 2,6,且 a2 b2 c2 0.下載可編輯所以：2ab a b c 2222ab a2 b2 c2b c2ca b ca b c a b ca b

5、 ca b c2 2 3 5四、拆項(xiàng)變形法例4,計(jì)算7 2 655 .66 ,7分析：本例通過分析仍然要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過約a b11分化簡，如轉(zhuǎn)化成：ab11再化簡，便可知其答案。abab解：原式，5、6、6 7, 56 % 6* 7、56，67上 5 6 6、75、6 、6、7.下載可編輯、5、6 v 6 7x 65、7、67 7 5五、整體倒數(shù)法。53 3 1a b 1 1 ，ab a b化簡但還要例5、計(jì)算灰2,3 1分析：本例主要運(yùn)用了變倒數(shù)后，再運(yùn)用有關(guān)公式:通過折項(xiàng)變形，使其具有公因式。解：設(shè)A、5 3 .3 1,5 2J3 11、，317312U51

6、2所以A2 52 J 3-1 5、3“31、/ 57 3V 31v 5 v 3 V 311v 57 3v 5v 32 5 12借用整數(shù)“1”處理法。.下載可編輯1 3.2 23例6、計(jì)算/ 收庭分析：本例運(yùn)用很多方面的知識如：133 22 V3 22和.a b x.2.2a b a b ,然后再運(yùn)用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再約分化簡。解：原式,3、213 、2 3上2 2上32 、3 、6a3% 2 3、2. 6%3 2、2 ，3 1 6(32)(326)3263、2六.恒等變形整體代入結(jié)合法例7：已知X ；(" J5) , y 1( <7 。5),求下列各式的值。

7、(1) x2 xy y2; (2)y x分析：本例運(yùn)用整體代入把x+y與xy的值分別求出來，再運(yùn)用整體代入法將x+y與xy代入例題中，但一定要把所求多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式，如x2 xy y2 (x y)2 3xy ,然后再約分化簡。解：因?yàn)椋簒 ；(" V5) , y ；(J7 反),所以：x y V7, xy 1 o.下載可編輯 .22x xy y2(x y) 3xy(、7 )2312112xyyx22x y xy 2 x y 2 xyxy(77 ) 22?2_1212七、降次收募法：2例8、已知x 2 <3,求3x一25的值。 2x 7分析：本例運(yùn)用

8、了使題中2次募項(xiàng)轉(zhuǎn)化成 1次方的項(xiàng)再化簡。如例題中把多項(xiàng)式2x 4x 1轉(zhuǎn)化為4x 1,這樣進(jìn)行低次哥運(yùn)算就容易了。解：由 x 2 值，得x 2 W。(x 2)2 3 整理得：x2 = 4x -1o.下載可編輯所以:3x2 2x 53(4x 1) 2x 510(2 J3) 222 10 J32x 7 2(2 J3) 7 2 3 3所以原式2210 v 32334274 v3二次根式的化簡與計(jì)算的策略與方法1 .公式法【例1】計(jì)算瓜十方【解】原式''一.硝T).始+用赤-y序式 ，匚3 二 '' '【解后評注】以上解法運(yùn)用了 “完全平方公式”和“平方差公式

9、”，從而使計(jì)算較 為簡便.2 .觀察特征法.下載可編輯3和一浜一0泛2+ V2 -痣【例2】計(jì)算：【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以4勺，即得分子，于是可以簡解如下：【解】原式2f沱一病.【例3】把下列各式的分母有理化.幾-+1 + T（1）1而一而他-&）；西一2（E）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子 將有三個因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示 我們可以用如下解法：.（聲 歷）:卜區(qū)-廄）_1+1【解】原式$ 1 ；

10、1; 1''巨旦三生毋布b -c 叮一8 a -&5一8）（3一二） b -c【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下：【解】原式 1 ''（4 +1 + 工二張G * 一 毒 j.下載可編輯3 .運(yùn)用配方法【例4】化簡【解】原式=板互標(biāo)=腳與口面二疑可二應(yīng)7+ 12【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“1一點(diǎn)”4 .平方法【例5】化簡46 .辰+加+ ,回（6-435 + Jb + 歷）【解】. !/= 6-735 2461既卜1室）

11、十6十735= 12 + 3x/6a -35 =714，斤方十匹不=取.【解后評注】對于這類共軻根式與鼻他 的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡5 .恒等變形公式法【例6】化簡悟乖-尉/卓-思一耕【方法導(dǎo)弓I】若直接展開，計(jì)算較繁，如利用公式（也*力"（&-" = 29+的,則使運(yùn)算簡化.一原式一+（及-國上能-51 臼十（75-扃卜2令I(lǐng)為 = 22-班.下載可編輯6 .常值換元法【例 71 化簡-998乂1999乂20。乂 20017【解】令199M =0，則：原式一,：一:一,1=2十玄 1白、十玄 + 2）+1=dG十及y寸工（口 口十3口）十十及十,=由

12、1+3 盤+I=199/+3xl99*+1=39975997 .裂項(xiàng)法111Al十一=+-十 A +； 【例8】化簡1十丑卷十小君十的用十道商【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式一 -»-、一一：,一 .一-=400-1 = 10-1 = 9例9化簡2*24+回4 + 2口十振明:聞近）（再，而加局【方法導(dǎo)引】這個分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和，于是則有如下簡解：.下載可編輯1111十+J7+JT6 2+下十質(zhì) 4十、厲3333=；（布_ J7 F B _ 2 +而而+ 4 _ 廂）=:8 .構(gòu)造對偶式法"42 + /題，-4 +期 2 . 4例10】化簡同+2-4祖+ 2 +而-4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒"內(nèi)+2 +J/-4 "忽；Q-4?則口一 S：二二叮一二，一匚=4<- I二版 J.3a h /十右，（a -+ bj1 、 a 十 b _原式-<-=超+3-2=厚9 .由里向外，逐層化簡Ji 998 Ji 997 Jl 996 J199至1993十 1寸 1 十 1十;【解】,一一加卬二1994而二一產(chǎn)1.；一71597x1y95 + 1 = .（19）6 + 1）0§96-1）+1 =快6 = 1996 _一&