幾個(gè)常見(jiàn)分式不等式的統(tǒng)一半對(duì)稱(chēng)證明重點(diǎn)

1、2006年杭州市數(shù) 學(xué)會(huì)評(píng)選論文幾個(gè)常見(jiàn)分式不等式的統(tǒng)一“半對(duì)稱(chēng)”證明一.問(wèn)題的引出不等式的證明因?yàn)樽兓f(wàn)千，很多不等式的證明構(gòu)思新穎，解答巧妙，耐人尋味。但 很少有簡(jiǎn)潔的統(tǒng)一的證明方法。在不等式證明的過(guò)程中，“已知a,bR ，證明由b一亠.a _2.b，知a把上述兩式相加即得證。人們始終在尋找一種比較簡(jiǎn)潔的方法，如:b - aa切叫b。”a bba一 _2 b - a ；同理一 _2 a 、b 。a-上述證明是該問(wèn)題的一種最簡(jiǎn)潔的證明,這里我們把 “ b _2.b a ”或“ a _2、a-、.b”a. b叫作對(duì)稱(chēng)不等式“匕 I ab ”的半對(duì)稱(chēng)不等式（也由作者把它叫做“零件不等式”）。 a

2、 b顯然幾個(gè)半對(duì)稱(chēng)不等式的和或積即可構(gòu)成我們要證明的對(duì)稱(chēng)不等式。本問(wèn)試圖通過(guò)一些例子對(duì)一類(lèi)競(jìng)賽對(duì)稱(chēng)不等式給出統(tǒng)一的尋找“半對(duì)稱(chēng)”不等式的方法。不當(dāng)之處忘專(zhuān)家指正。二.簡(jiǎn)證一些問(wèn)題例1（2004年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一年級(jí)復(fù)賽試題）已知4.44abc求證：abc.4a4+b4+c4a4 +4b4 +c4a4 加4+4c424xa. a證明設(shè)hbF篤（axcx）則有 2a4 b4 -c4 _2a4(bx cx)，又 2a4b4c4=(a4b4)(a4c4)_2a2(b2c2).4 -x =2 令，即x =2 .x =24a所以44豈2224 a4 +b4 +c42(a2+b2 +c2)42a.

3、c，同理可得:b4b2a4 4b4 -c42(a2 - b2 - c2) ?- 一ax 吋+cx_2ax 1 .11 .1 2ca,b,c 三 R ，且 abc =1 ,設(shè)1 2a則bxcx又bx_2 .bxcx)2 .aX =2a .3-3_1 .3-3_1 .即得x3-3_1 .3-3_1 .所以12a2a12 2b3 c5，同理可得:11 2b11 2c上面三式相加即得+1 2a 1 2b 1 2c_1 .證明設(shè)為備+b*，例 31設(shè) a, b,c R ,3-3_1 .3-3_1 .則(ax bx cx)2 _4c2x(a - b).又(ax bx cx)2 珂(ax bx) cx2-2

4、 (ax bx)cx2 =4cx(ax bx).3-3_1 .3-3_1 .人 2x 1 =x所以2a 1 abc_ 2babc令x=1 ，即XT.2c-2c ，同理可得： abc上述三式相加即得 J-+-+匚匚乏2，顯然等號(hào)不可同時(shí)取到， a +b Y b 十c c 十a(chǎn)故丁b，bcba3-3_1 .證明（第 41屆IMO試題）對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,c，證明:設(shè)_a.a2 亠8bc b,a2 - 8bc . b2 -8ca+.c2 - 8ab3-3_1 .3-3_1 .展開(kāi)化簡(jiǎn)得：(bx cx)(bx cx 2ax) _8a2x2bc .則a-(ax -bx -cx)2，即 a2(aX bX -

5、 cX)22x a_a2x(a2 亠8bc).3-3_1 .3-3_1 .x 3x 3x又由均值不等式得:(bx - cx)(bx-cx 2ax) _8abTc-.2x 23x-4=1所以有.c28abx2，解得a2 8bc4c3-444a3 b3c3上述三式相加即得:4a3a3 b3 c3同理可得:4b3 b2 8caa3b3 c3.a2 8bc b2-8ca+1.c2 8ab3-3_1 .3-3_1 .已知x, y, R且x y z =1，求證:3-3_1 .3-3_1 .證明X：3-3_1 .3-3_1 .12-i.則 2(x4y-：z-) _3x3 (y z3)2 2 ：又由均值不等式

6、得:2(xy： z)ot 2G ot 20(Ot=(x (x：J 陀二 陀-)亠3x3 y 3 3x3z 3 =3x3(y3 z 3 ).3-3_1 .3-3_1 .2a一=1解得】.23-3_1 .所以有-33x23322x 亠y3,同理可得：丄_3一r,2z12| f |亠zx 亠y 亠z3-3_1 .3工3. _z!_333X12-222X2+y2+z2上述三式相加即得:z 3一 -1 一 4三反思1 構(gòu)造“半對(duì)稱(chēng)”不等式一直是人們夢(mèng)寐以求的方法，本文只是對(duì)一類(lèi)問(wèn)題給出了一 種構(gòu)造“半對(duì)稱(chēng)”不等式的方法。但離這類(lèi)問(wèn)題的解決還很遠(yuǎn)，望有更多的同仁來(lái)參與解 決。2 .這也為我們開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)帶來(lái)了豐富的問(wèn)題。3 對(duì)稱(chēng)不等式的證明千變?nèi)f化，留心處處皆問(wèn)題，這也為我們年輕數(shù)學(xué)教師提升自己 的解題能力找到了一片天空。對(duì)在本文寫(xiě)作過(guò)程中對(duì)筆者支持和幫助的老師和我的學(xué)生表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)1 筆者一個(gè)分