分式方程的幾種特殊解法

1、分式方程的幾種特殊解法白云中學(xué)：孫權(quán)兵解分式方程的一般步驟：（1）去分母，化分式方程為整式方程;（2）解整式方程；（3）檢驗(yàn)，判斷所求整式方程的解是否是原分式 方程的解。但在具體求解時(shí)卻不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的 分式方程時(shí)，應(yīng)能根據(jù)方程的特點(diǎn)，采用靈活多變的解法，并施以適 當(dāng)?shù)募记?，才能避繁就?jiǎn)，巧妙地將題目解出。下而舉例談?wù)劷夥质?方程的幾種特殊技巧。一、加減相消法。例 1、解方程：-=.!= i - !ox + l x+2018x + 20170+2018x + 2017分析：若直接去分母固然可以求出該題的解，但并不是最佳解題 方法。如果我們發(fā)現(xiàn)方程兩邊都加上分式!,則可以通+2

2、018x+2017過(guò)在方程兩邊都加上分式 1,就將原方程化簡(jiǎn)成丄=1 ,f +2018+ 2017x + l從而輕松獲解。解：原方程兩邊都加上 !,則可得： 丄=ix + 201 8 + 2017x+去分母，得：2 = x+l解得：JV = I經(jīng)檢驗(yàn)，x = l是原分式方程的解。二、巧用合比性質(zhì)法。例2：解方程：U =蘭。Jr+1 x + 7分析：若我們能發(fā)現(xiàn)方程兩邊的分式的分子比分母都多1的話， 則可以利用合比性質(zhì)將分子化為1,從而可以輕易將方程的解求出。解：由合比性質(zhì)可得：八*+DJ""S + ex +1x + 71 _ 1x2 + 1T+7去分母并化簡(jiǎn)得：X2 -x-

3、6 = 0 ,即( -3)(x + 2) = 0解得：X = 3 Wcv = -2經(jīng)檢驗(yàn)，x = 3或V = -2是原分式方程的解。三、巧用等比性質(zhì)法。例3、解方程：竺II =竺三。3x + 2 3x+l分析：該方程兩邊的分式的分子之差和分母之差都是常數(shù)，故可考慮先用等比性質(zhì)將原方程化簡(jiǎn)后再求解。解：由等比性質(zhì)可得:(4x + 4)-(4x + 2) _ 4x + 2(3x + 2)-(3x +1)3x+l4x + 23x +1化簡(jiǎn)得：2x = 0. x = 0經(jīng)檢驗(yàn)，x = 0是原分式方程的解。四、分組化簡(jiǎn)法。例4、解方程：丄+丄=丄+丄。x + 2 x + 5 x + 3 x + 4分析：

4、此方程若直接通分將會(huì)出現(xiàn)高次方程，并且運(yùn)算過(guò)程十分復(fù)雜，做法不可取。此題可采用分組組合后各自通分的方法來(lái)求解。 解:原方程可化為：-1=-Lx + 2 x + 3x+4 x + 5分別通分并化簡(jiǎn)，得:(x + 4)(x + 5) = ( + 2)(x + 3)解得：X = 3.5經(jīng)檢驗(yàn)，X = 3.5是原分式方程的解。五、倒數(shù)法。例5、解方程:1 _ 11 I -y+ x+2 2017-rl分析：木題若按常規(guī)方法去做，需通分和去分母，然后再求解,過(guò)程較復(fù)雜。但如果采用倒數(shù)法，則可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。解:原方程兩邊取倒數(shù)，得:1 x+l X+21=2017x-1 X-I移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得:1 _ 1201

5、7"TT方程兩邊取倒數(shù)，得：2017 = x-l解得：x = 2018經(jīng)檢驗(yàn)，x = 2018是原分式方程的解。六、列項(xiàng)變形法。例6、解方程：+ +=丄。X(X +1) (X + 1)( + 2)(x + 99 )(x +100 ) 24分析：將該方程直接去分母，方程兩邊的運(yùn)算十分繁雜。若注意 到方程的分母特點(diǎn)是兩個(gè)連續(xù)因式的積，它們的差為1。凡是這樣的 分式或分?jǐn)?shù)都能拆開(kāi)成兩個(gè)分式或分?jǐn)?shù)的差，使得除首、末兩項(xiàng)之外 的中間項(xiàng)可以相互抵消，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)。解:原方程可化為：丄-丄+=丄X x+1 x + 1 x + 2x + 99 x + 100 241 1 1 ” _X x +10

6、0 一 24去分母化簡(jiǎn)得：X2+100x-2400 =0,即(x+120) (x-20) = 0 解得：x = -120Jcv = 20經(jīng)檢驗(yàn)，x = -120<x = 20是原分式方程的解。七、換元法。例7、解方程：耳+旦=2。JT+9 6x分析：注意到且與孚2互為倒數(shù)，因此可考慮換元法，化繁JT+9 6x為簡(jiǎn)，化難為易。解：令冬，則F=丄，故原方程可化為：JC+96a yy + -= 2y去分母化簡(jiǎn)得：y2 -2y + l = 0,即(y-D2 =0解得：y = 1-Q = I+9所以化簡(jiǎn)得:X2 -6x+9 = 0,即(X-3)2=0解得：X = 3經(jīng)檢驗(yàn)，x = 3是原分式方程的

7、解。八、化為整式部分和分式部分之和的變形法。例8、解方程:x + 2x + 27+2+4x + 61X + 2分析：若一個(gè)方程的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，則可把 這個(gè)分式化為化為整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分 式方程。解：原方程可化為：x + 1 + " = x + 2+ 1x+1x+21 2x+1x+2去分母得：x+2 = 2x+2解得：=0經(jīng)檢驗(yàn)，x = 0是原分式方程的解。九、巧用特殊方程法。例9、解方程：÷-= ox-1 3x 2分析：對(duì)于方程"丄F +丄，我們易知它的根為Xl=6X,=-o而Xaa木題可化為x + - = a + 的形

8、式，所以利用上述結(jié)論可巧妙將方程解Xa出。解：原方程可化為：竺+匕=2 +丄x-l 3x 23x _ 2 或 3兀 _ 1X 1A 1 2解得：A= - 2或X = -丄經(jīng)檢驗(yàn)，x = -2JtV = -I是原分式方程的解。5十、設(shè)輔助元法。例10、解方程：空二匚("口) = 42。x+1x+1分析：此方程若直接通分將會(huì)出現(xiàn)高次方程，并且運(yùn)算過(guò)程十分 繁雜。如果我們觀察到原方程的特殊結(jié)構(gòu)，采用設(shè)輔助元，令 y =-一，則可得XV+ (x+y) = 13,而原方程則可化為XV(x+y) = 42 ,進(jìn) x + 一步可構(gòu)造Q和 + y為根的一元二次方程,然后在求出卞和龍+ y的基 礎(chǔ)上獲

9、得原方程的解。解：設(shè)y = -_,則可得 xyf + ( + y) = 13X+1又原方程則可化為Ay (x+y) = 42所以由、可知：Ay和x + y可以看作一元二次方程r-13z÷42 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。解之得：© =7, G =6所以有：Ff 7或X）T = 6M = 7進(jìn)一步解得：Xl = l,x2 =6,x3 = 3 + "2,x4 =3 V2 0經(jīng)檢驗(yàn)，Jq= l,x2 =6,x3 =3+f2,x4 =3-2是原分式方程的解。十一、函數(shù)圖象法。例 11、解方程：X2 +2x- - = O OX分析：原方程可化為+2x = ,我們可以將此方程的兩邊分別看X作二次函數(shù)y = ÷2x和反比例函數(shù)尸°。然后在同一直角坐標(biāo)系分 X別作出它們的圖象，兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是原方程的解。解：原方程可化為：÷2 = 。將此方程的兩邊分別看作二次函X數(shù) = + 2-和反比例函數(shù)V = -OX在同一直角坐標(biāo)系分別作出它們的圖象（如下圖）：觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的圖象只