高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí)筆記考點(diǎn)12零點(diǎn)定理(講解)(解析版)

1、【思維導(dǎo)圖】點(diǎn)在定 落存性理二分法考點(diǎn)12:零點(diǎn)定理給他任K=啪實(shí)觸X叫做西股¥ = f I K）的零點(diǎn)f i£5：3且不建點(diǎn)二售萬程的翳轉(zhuǎn)化：方衡（# =。有實(shí)數(shù)模Q函航¥ =代父的罔務(wù)與M軸可交 點(diǎn)1函敷y = Mx）,零點(diǎn).如果函蚊了 =節(jié):乂滿足二由室在區(qū)間口,用上的臼思是連域不斷的一條曲線.內(nèi)群，可看卜代加<0 ；則而觸¥=我刈在心，上存在零點(diǎn)前，匕喉耐=。，就是方。丁日二0的混函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能將斷擊敗在某個(gè)區(qū)間上的受號(hào)舌4甯點(diǎn)，而不旎判斷函數(shù)的不變號(hào)看點(diǎn)而且連堰函數(shù)在一個(gè)區(qū). 3、胃的蟾點(diǎn)處函敝隋舞號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在再

2、點(diǎn)相 充分不必整條件.零點(diǎn)定理對(duì)于在區(qū)間gr b上連續(xù)不斷且*>>NbvO的函數(shù)*我制 , 通過不斷邂把函數(shù)制冷的看點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的 兩個(gè)靖點(diǎn)逐步詞近零點(diǎn)，道而后到零點(diǎn)近似值的方法叫做二 分法方點(diǎn)定珊:零點(diǎn)區(qū)間（）出馳¥ =我刈在區(qū)間3,切上的13象是否遑覆2是否育代也）*代助<。,若有，則函鼓y = fO（）在區(qū)間儲(chǔ).b） 內(nèi)必有審白. IS形結(jié)合去：通過函函鼓囹臬,現(xiàn)衣圖蒙與算料荏給定區(qū)間上I是否有交點(diǎn)來判斷斛萬程法今代算）=。.則方慳實(shí)粗的個(gè)數(shù)就是函數(shù)光點(diǎn)的個(gè)斑考點(diǎn)利用它點(diǎn)定理，菇含函數(shù)的困敏與性國（如單詞住，奇偈住.審理 周期性時(shí)翔強(qiáng)才能礴定國

3、鼓的雪點(diǎn)個(gè)加圓形話化為閑個(gè)國數(shù)的回方的交點(diǎn)個(gè)敝問聶.（畫出兩個(gè)函數(shù)的國結(jié)合 盤.真交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是由的辦點(diǎn)的個(gè)數(shù)）據(jù)點(diǎn)參相雪求匹如士 百怪聽涯亞市條件河鹿關(guān)于空數(shù)的不等式, 三朝-、禹通過解不答式確定趨故范圍.分鬲先將叁數(shù)分高用a=*x）,再轉(zhuǎn)化成關(guān)西府佰域在做法 問瞪加以解決教形結(jié)合先對(duì)器昕式變形再在同一平面百前坐標(biāo)系中， 畫出函黝的臼室然后散用堵合未弊12【常見考法】考點(diǎn)一：求零點(diǎn)1,若哥函數(shù)f x x的圖象過點(diǎn) 2,42 ,則函數(shù)g x f x 3的零點(diǎn)是一【答案】9【解析】哥函數(shù)f x x的圖象過點(diǎn)（2,J2）,，2J2,解得 =1,111f x x2 g x x2 3 由 g x x2

4、 3 0，得 x 9 - 22.函數(shù)f x x 3x 4的零點(diǎn)是.【答案】1, 4【解析】令 f （x） =0,即 x2+3x-4=0,解得：x=-4, x=1.ex, x 0 一 ，. 一3,若函數(shù)f x 9,則函數(shù)y f x 1的零點(diǎn)是.x2 1,x 0【答案】0或J2【解析】要求函數(shù) y f x 1的零點(diǎn)，則令y f x 1 0,即f （x） = 1,ex,x 0x x又因?yàn)椋篺 x 2，當(dāng)x 0時(shí)，f x e ,e1,解得x 0.x2 1,x 0當(dāng)x 0時(shí)，f x x2 1,x2 1 1,解得x 友 （負(fù)值舍去），所以x J2.綜上所以，函數(shù)y f x 1的零點(diǎn)是0或J2 .故答案為：

5、0或J214,函數(shù)y= 的圖象與函數(shù)y=2sin nx2WxW4）圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 1 x【答案】8【解析】i,1 一 函數(shù)yi=與y2=2sin兀的圖象有公共的對(duì)稱中心（1, 0）,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,1 x由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)在-2,4上共有8個(gè)交點(diǎn)，兩兩關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱設(shè)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n則m+n=2< 1=2 ,故所求的橫坐標(biāo)之和為8,故答案為8.考點(diǎn)二：零點(diǎn)區(qū)間x x1 .函數(shù)f(x) 4一的零點(diǎn)所在區(qū)間是()21D- (2,1)_ 1,11、A - ( 1,0)B- (0,7)C- (7,n)44 2【答案】D【解析】易知函數(shù),一、,.，一 1-

6、 11f（x）為減函數(shù)，又f（）4 2 112421110, f (1)0,根據(jù)零點(diǎn)存在性原442x1理，可知函數(shù)f（x） 4一的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（一,1），故選D.22x 22,函數(shù)f x x31的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）2A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4【答案】Bx 21【解析】.函數(shù) f xx31單倜遞增，f (0) =-4, f (1) =-1, f (2) =7>0,2根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可得出零點(diǎn)所在的區(qū)間是1,2，故選B.3 .函數(shù)f x x ln x 3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. 0,1B, 1,2C, 2,3D, 3,4【答案】C【解析】: f （x） =l

7、nx+x-3在（0, +8）上是增函數(shù)f （1） =-2<0, f （2） =ln2-1<0, f （3） =ln3>0.f （2）牙（3） <0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得函數(shù) f （x） =lnx+x-3的零點(diǎn)所在區(qū)間為（2, 3）故選：C.4 .已知f x是定義在 0,上的單調(diào)函數(shù)，滿足 f f x ex 2ln x 2 e 1,則函數(shù)f x的零點(diǎn)所在區(qū)間為（10,eB.C.1-,1 eD. 1,e【答案】C【解析】設(shè)f x ex 2ln x 2 t ,即f xex 2ln x 2 t , f t e 1 ,因?yàn)閒 x是定義在0,上的單調(diào)函數(shù)，所以由解析式可知，f

8、x在0,上單調(diào)遞增.而 f 1 e 2 t , f t e 1 ,故 t 1,即 f x ex 2ln x 1 .1111因?yàn)?f 1 e 1 0, f -ee 2ln 1 ee 3,ee1 111-由于 lneeIn 3 In 3 0,即有 £3,所以 f ee3 0.ee 3e一 1故f - f 10 ,即f x的零點(diǎn)所在區(qū)間為e1,1 e故選：C.考點(diǎn)三：零點(diǎn)個(gè)數(shù)1 .函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 -【答案】2【解析】分別畫出函數(shù)y=ln x(x>0)和y=|x2|(x>0)的圖像，可得2個(gè)交點(diǎn)，故f(x)在定義域中零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.x1-lO

9、g2018x2 .方程 2019的解的個(gè)數(shù)是 【答案】2x【解析】作出y和y 10g2018 x的函數(shù)圖象，如圖所示：2019由圖象可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn).x1故方程log2018 X的解的個(gè)數(shù)也為2個(gè).20193 .方程2sin(2x -) 1 0在區(qū)間0,4 )上的解的個(gè)數(shù)為 -【答案】8由 2sin(2x ) 1 0 得 sin 2x -【解析】12，0,4,分別畫出y1 sin 2x 一和y232x ,0 x 14,若函數(shù)f x是定義在R上的偶函數(shù)，f(x 4)f(x)，且f(x)，則函數(shù)4 2x,1 x 21，g(x) f(x) -x 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .【答案】6【解析】因?yàn)閒(x

10、 4) f(x)，即f x是周期為4的周期函數(shù)2一、2x2,0 x 1f x為偶函數(shù)，且f (x)，畫出函數(shù)圖像如下圖所示4 2x,1 x 2人 11.1.令g(x) f(x) -x 1 0可得f(x) -x 1.畫出h x -x 1的圖像如上圖所示 333由圖像可知，f x與h x圖像共有6個(gè)交點(diǎn)1所以g(x) f(x) -x 1共有6個(gè)零點(diǎn)故答案為：6ln x x 025.已知函數(shù)f x11,則方程f x f x 0的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)為 .0x0【答案】72【解析】萬程f x f x 0可解出f(x) 0或f(x) 12萬程f x f x 0的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)即兩個(gè)函數(shù)f(x) 0或f(x

11、) 1的所有不相等的根的個(gè)數(shù)的和，方程的根的個(gè)數(shù)與兩個(gè)函數(shù)y 0, y 1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，如圖：y 1的圖象與函數(shù)f (x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有四個(gè)2y 0的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的父點(diǎn)個(gè)數(shù)有二個(gè)，故萬程f x f x 0有7個(gè)解，故答案為76,已知定義在 R上的函數(shù)y f x對(duì)任意x都滿足f x 1 f x ,且當(dāng)0 x 1時(shí)，f x x,則函數(shù)g x f x ln|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【答案】3【解析】當(dāng)1, x 0時(shí)，則0, x 1 1,此時(shí)有 f(x) f(x 1) x 1 ,.f x 1 f x , . . f x 2 f x 1 f(x) f (x),函數(shù)y

12、 f x是周期為2的周期函數(shù).令 g x f x ln x 0,則 fx ln x ,由題意得函數(shù)g x f x In x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù) y f x的圖象與函數(shù)y In x的圖象交點(diǎn)的個(gè)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) y f x和函數(shù)y ln x的圖象(如圖所示)，結(jié)合圖象可得兩函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),，函數(shù)g x f x In x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.7.已知函數(shù)f xlog2x 1 xx 4 x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【解析】由題意，函數(shù) y f f x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程 f f x3的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù),設(shè)t f x ,則f t 3,作出f x的圖象,1如圖所不，結(jié)合圖象可知，方程 f t 3有三個(gè)實(shí)根ti1, t

13、2 , t3 4,41.則f x 1有一個(gè)解，f x 有一個(gè)解，f x 4有三個(gè)解，4故方程f f x 3有5個(gè)解.8.已知函數(shù) f (x)10g 2 x , g(x)0,0 x 1c 1x 2 , x2,則方程f (x) 1g(x) 1實(shí)根的個(gè)數(shù)為【解析】當(dāng)0 x 1時(shí)，f x10g 2 x, g x 0,，.1f x g x 10g 2 x 1 有一實(shí)根一； 2當(dāng) x 1 時(shí)，f x 1og2 x ,log2 x1. log2 x1 一一或 10g2 x2210g2(x 1),x (1,3)-的圖象如圖,29.已知函數(shù)f(x)、x 3,)則函數(shù)g(x)f f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【解析】令g

14、(x)f f(x) 1 0,則 ff(x)1,令 f (x)1,若10g2(x 1) 1,解得 x 1 或 x1.2，符合x (1,3)；若一1,解得x 5,符合 x 1x 3,).作出函數(shù)f(x)的圖象，如下圖，x1.0 時(shí)，f(x)0,；x 0,3 時(shí)，f(x) 0,2；x 3,)時(shí)，f(x) 0,2 .1結(jié)合圖象，右f(x) 1,有3個(gè)解;右f(x) 一,無解;若f(x) 5,有1個(gè)解.2所以函數(shù)g(x) f f (x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).考點(diǎn)四：根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)x a在區(qū)間0,1上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是【答案】2,0【解析】函數(shù)f(x)=x2+x+a的圖象的對(duì)稱軸方程為 x1 、

15、一3,故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,f 0 a 0再根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,1)上有零點(diǎn)，可得，解得-2<a<0.f 12 a 0一，x 2,一，、2 .函數(shù)f x 2 a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間x1,2內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】0,3【解析】由條件可知f 1 f 2?2 2-a 41 a0,即 a(a-3)<0,解得 0<a<3.3 .若函數(shù)f (x) 2xx 7的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k,k1)(k Z)/Uk=【解析】一f(2)f(3)0, 且0,f(x)單調(diào)遞增,.-f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3) ,. k 2.4 .已知函數(shù)f(x)lg(x 1),

16、x1,、若函數(shù)g(x)1,f(x) 2k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍入1【答案0,- 2【解析】由g(x) f (x) 2k 0得f(x) 2k,作函數(shù)y f(x)的圖象及直線y 2k,它們有三個(gè)交點(diǎn),1貝U 0 2k 1, . 0 k -.21415一 -一 2一.5 .函數(shù)f x 4x x a有四個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.2 4x x的圖像有【答案】(0, 4)【解析】由題 4x x2 a 0即4x x2 a有四個(gè)根，畫出y(0,4)m的取值范圍為當(dāng)x 2時(shí)y 4 2 224 ,故a的取值范圍是(0,4)故答案為2x2 2x 1(x 0)6 .若函數(shù)f x3x x 0 ,方程f x

17、m有兩解，則實(shí)數(shù)【答案】0 m 2【解析】二次函數(shù)的最高點(diǎn)為 y 2 ,有圖可知y m與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則取值范圍為 0 m 2函數(shù)f x滿足f x f 2 xx 10 f X cos 1TXf2X,且當(dāng)XI，0時(shí)，2 ，若函數(shù)f xloga x, a0al.一 .，一0,a 1有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】，可知函數(shù)f X圖像關(guān)于X 1對(duì)稱，又因?yàn)閒 X為偶函數(shù)，所以函數(shù)f X圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.所以函數(shù)f X的周期為2,要使函數(shù)g X f Xloga X有且僅有三個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y f x和函數(shù)y loga x圖形有且只有3個(gè)交點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合分析可知,log a 31,loga

18、 51 a5119,若存在三個(gè)不同實(shí)數(shù)a, b0,貝U abc的取值1,-X 1,x08.已知f X 2log2019 X ,X范圍是【答案】2,00,畫出函數(shù)圖像，如圖所示:log20i9X,x 0故 2 abc 0.a 0有四個(gè)實(shí)根根據(jù)圖像知：2a< 0, log2019 b log 2019 c,故 bc 1,Xi, X2,X3, X4 ,則這四個(gè)根之積Xi X2 X3 X4的取值范圍°，116【解析】”*)與丫 a兩圖象交點(diǎn)問題，當(dāng) x 0, yf (x) a 0 f (x) ax1x211x3%一,其中 x2 ( 一 ,0 , log2log224*3x41x1X2

19、x3X4=X1 X2(x2)x22X212X2，X2(1 n ,0 X1 X2 X34X41-10,.填與：0,1616考法五：二分法X1.001.251.3751.50f X1.07940.1918-0.3604-0.99891.用二分法求函數(shù)f xXIn 2x 62 3零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器得到下表:則由表中數(shù)據(jù)，可得到函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)為()A. 1.125B. 1.3125C. 1.4375D. 1.46875【答案】B【解析】根據(jù)二分法的思想，因?yàn)閒 (1.25) f(1.50) 0,故f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.25,1.50)內(nèi)，但區(qū)間(1.25,1.50)的長(zhǎng)度為0.25 0.1,不滿足題意，因而取區(qū)間(1.25,1.50)的中點(diǎn)1.375,由表格知f(1.25) f (1.375) 0,故f (x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi),但區(qū)間(1.25,1.375)的長(zhǎng)度為0.125 0.1,不滿足題意，因而取區(qū)間(1.25,1.375)的中點(diǎn)1.3125,可知區(qū)間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375