河北省衡水中學2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試(新高考)數(shù)學試題

1、河北衡水中學2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學試卷總分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2回答選擇題時，選岀每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)朿后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求 的.1. 已知集合 A = x|-lWxW2, B = 0.2,4,則（）A. 0,2,4B.0,2C. a-|0 W x W 4D.

2、 x- X W 2致=42. 已知復數(shù)二=冷，則衣在復平而內(nèi)對應的點位于（）3 21A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3. 在平而直角坐標系中，O為坐標原點，A（4,3）,則ZAOB的余弦值為（）A 43-3 r W+3 c 3/3-4 3后410 10 10 104. 已知b為兩條不同的直線，0為兩個不同的平而，則下列結(jié)論正確的是（）A. 若 a0, “ua, bu 卩、則B. 若UQ,allb ,則 a0C若= bu/3 , b丄“，則a丄0D.若= &丄 0, Ua,丄/, atfb ,則丄05. 在五邊形ABO中EB = a AD = b M, N分別為A, 3D的中點

3、，則顧=（）3-1 -2-1 -A.-a + -bB.土 “ + -8/266命題:關(guān)于x的不等式屁+ar- 1V0的解集為（y.T）U丄，燉|的一個充分不必要條件是（）I）A. u W 1B. X）C. 2“ a2b2-B.211110將函數(shù)/（x） = 2cosx圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將得到的圖象向左平移兀個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的有()A. g(x)為奇函數(shù)B. g(x)的周期為4兀C. VA-eR,都有g(shù)(x + 7t) = g(jr-x)D. g(x)在區(qū)間-上單調(diào)遞增，且是小值為血11提丟斯波得圧律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個

4、簡單的幾何學規(guī)則，它是在1766年由徳國的一位中學 老師戴維斯提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條圧律，即數(shù)列“： 0.4, 0.7, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6,.,表示的是太陽系第”顆行星與太陽的平均距離(以天文單位A.U.為單位).現(xiàn)將數(shù)列” 的齊項乘以10后再減4,得到數(shù)列$,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列$從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說 法正確的是()A. 數(shù)列化的通項公式為億=3x2B. 數(shù)列“”的第 2021 項為0.3X22020+0.4C. 數(shù)列“”的前項和 S” =0.4“ + 0.3x 2心-0.3D. 數(shù)列nbn的前n項和Tn = 3( 1)

5、- 2心12. 在一張紙上有一圓C:(x + 2)2+y2=r2(r0)與點M(m0)(加工-2),折疊紙片，使圓C上某一點AT好與 點M重合，這樣的每次折法都會留下一條直線折痕P0，設(shè)折痕P0與直線MC的交點為丁，則下列說法 正確的是()A. 當-2-r7/z/2 m = 2時，在7的軌跡上任取一點S ,過S作直線=兀的垂線，垂足為N,則SQV(O為 坐標原點)的而積為左值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 正態(tài)分布在槪率和統(tǒng)訃中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐中，在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布在某次大型聯(lián)考中，所有學生的數(shù)學成績X

6、（100.225）.若成績低于/H + 10的同學人數(shù)和髙于2/H-20的同學人數(shù)相同，則整數(shù)加的值為14. 已知拋物線疋=4），,其準線與軸交于點P,則過點P的拋物線的切線方程為15. 在ZVIBC中，,b, c分別是內(nèi)角A, B, C的對邊，其中A = p b+c = 4, M為線段BC的中點，則|AM|的最小值為.416 已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA = PB = PC = PD, AB = 2,若四棱錐P-ABCD的體積為亍，則以點P為球心，以血為半徑的球的表而與四棱錐側(cè)面哋交線的長度約為，該四棱錐P-ABCD外接球的體積為（參考數(shù)據(jù)tan35）（本題第一空3分，第二空2

7、分）.2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分10分）在ABC的外接圓而積為3兀APC的面積為婕，的周長為5 + 這三個條件中任選一個,4補充在下而的問題中，并給出解答.13問題:在ZV1BC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為u , b , c , D是加邊上一點已知=, sinAsinC = ,cos2B + 3cosB = l,若,求 CD 的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18. （本小題滿分12分）已知等差數(shù)列心的前項和為S”，且S4=S5=-20.（1）求數(shù)列“的通項公式：（2）已知數(shù)列是以4為首項，4為公比的

8、等比數(shù)列，若數(shù)列“與化的公共項為Y，記加由小到大構(gòu)成數(shù)列匕,求匕的前項和7；.19. （本小題滿分12分）如圖，已知圓臺qo的下底而半徑為2,上底而半徑為1,母線與底而所成的角為專，勒，BB為母線, 平面AOft丄平而BBflfl.M為B耳的中點，P為AM上的任意一點.（1）證明：BBi 丄 OP；（2）當點P為線段AM的中點時，求平mOPB與平而OAM所成銳二而角的余弦值.20. （本小題滿分12分）國務院辦公廳印發(fā)了關(guān)于防止耕地“非糧化穩(wěn)定糧食生產(chǎn)的意見，意見指岀要切實穩(wěn)泄糧食生產(chǎn)，牢牢 守住國家糧食安全的生命線為了切實落實好稻谷、小麥、玉米三大谷物種植情況，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽樣調(diào)査了 A村莊 部分

9、耕地（包含永久農(nóng)田和一般耕地）的使用情況，其中永久農(nóng)田100畝，三大谷物的種植而積為90畝，棉、 油、蔬菜等的種植而積為10畝：一般耕地50畝，三大谷物的種植而積為30畝，棉、油、蔬菜等的種植而積 為20畝.（1）以頻率代替概率，求A村莊每畝耕地（包括永久農(nóng)陽和一般耕地）種植三大谷物的概率：（2）上級有關(guān)部門要恪促落實整個鄉(xiāng)鎮(zhèn)三大谷物的種植情況，現(xiàn)從本鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽測5個村莊，每個村莊的三大 谷物的種植情況符合要求的概率均為A村莊每畝耕地（永久農(nóng)出和一般耕地）種植三大谷物的概率若抽測的 村莊三大谷物的種植情況符合要求，則為本鄉(xiāng)鎮(zhèn)記1分，若不符合要求，記J分.X表示本鄉(xiāng)鎮(zhèn)的總積分, 求X的分布列及數(shù)學期

10、望：（3）目前在農(nóng)村的勞動力大部分是中老年人，調(diào)査中發(fā)現(xiàn)，80位中老年勞動力中有65人種植三大谷物， 其余種植棉、油、蔬菜等農(nóng)作物：20位青壯年勞動力中有15人種植需要技術(shù)和體力，短期收益大的棉、油、 蔬菜等農(nóng)作物，苴余種植三大谷物請完成下表，并判斷是否有99.9気的把握認為種植作物的種類與勞動力 的年齡層次有關(guān)？勞動力年齡層次種植情況合計種植三大谷物種植棉，油，蔬菜等中老年勞動力青壯年勞動力合計n（ad附： =（“ + ）（；：；）（：+：）（），其中 M + b + c+/p（e&）000.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821.（本小題

11、滿分12分）已知橢圓C：* + = 1（QQO）的左.右焦點分別為和 ？ 片-型仝歲 滿足可+ |P耳卜加，且以線 er dI $ 丿段斤人為直徑的圓過點P（1）求橢圓C的標準方程:（2） O為坐標原點，若直線/與橢圓C交于M, N兩點，直線OM的斜率為直線ON的斜率為忍，當OMN的面積為泄值1時，是否為泄值？若是，求岀的值；若不是，請說明理由.22.（本小題滿分12分）2 ex設(shè)函數(shù)f（x） = nx + x+-9 g（x） = .xx（1） 若/心）=吋（入）-g（x）,試判斷函數(shù)力（x）的極值點個數(shù)：Xo（2）設(shè)p（x） = x2g（x）- f（x）-kx + 2x + -,若卩（兀廬1

12、恒成立,求實數(shù)R的取值范囤.x參考答案及解析河北衡水中學2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學1.B【解析】集合B中的元素在區(qū)間-1,2內(nèi)的只有0, 2,所以AcB = 0,22. D3 + 2/3-2/(3+ 2滬(3 20(3 + 2。512+ i 131312.i13所以英在復平而內(nèi)對應的點位于第四象限.3. C【解析】作出平而直角坐標系，如圖.設(shè)ZxOB = a.ZxOA = 0,則 ZAOB = a-卩1 34cosa =,sin0 = -,cos0 =二所以cos(a_0) =2 55cosacos0 + sincrsin/7 = 一4.D【解析】對于A,如圖,在長方體ABCD_gC

13、p中，平面人B&DJ/平面ABCDgu平面AQCQ, AC u平而ABCD,但與AC不平行，故A錯誤；對于5如圖,A百u平而ABBA, DC u 平面ABC0AQ/DC,但平而ABA與平而ABCD不平行，故B錯誤：對于G如圖，平而佔CQ c 平面ABCD = AB, BC u平而ABCD、且BC丄A3,但平而ABCD與平而ABCQ不互相垂直，故C錯誤; 對于D，由平而與平而垂直的性質(zhì)左理，得Q丄0,又allb.所以b丄0,故D正確.【解析】= liU + AB + BN = -EA + AB +2護冷停+碼+(亦麗卜第+護弓+6.D【解析】由題意知命題即(ax-)(x+) 0的解集為(一8,

14、-1)3 6/ 0,“1 得空一1因為(-09,-2)g (-09,-1_乓_，所以a-2是“W -1的一個充分不必要條件.7.B【解析】將其余的7個團隊分成5個組，然后再分配給各技術(shù)路線第一類方案：按3, 1, 1, 1, 1分組，先從7個隊中選擇3個隊，然后全排.有C；&種. C2f2第二類方案：按2, 2, 1, h 1分組，先分組再分配，共有亠丄心種.厶綜上，由分類加法計數(shù)原理知，共有*；&+冷丄& =16800種分配方案.&A【解析】因為0冷k z)，所以cosa e(OJ),11/26k*亦 4一*八丄cos3x + - cos(x + 2x) + -原不等式可變形為/87 8CO

15、SX疼 一一COSXcosxcos2x - sinxsin2x + -x + 38cosx=4cos2COSX令/= cosAe(OJ).則 g(/) = 4八 +_3,g(/) =8/8/_ = 64-1=8x8r2 臚31?t _4J=8x廠耳(+茁當0,打時,必)，g()單調(diào)遞增,所以&上=專又min所以g專.二、選擇題9. ACD【解析】已知 V logf V log? 9叱廠在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，所以-ba-Z1 0 . 11,所以一 慶V&2 ）上單調(diào)遞減，因為|/?6/* + 1,故B錯誤;a(_l)_b(Z?_l)(才 -b)_(a_b) (b_l)(d_l)(_l)(

16、a_l)又-ba1,2(a-b)(a + b-)0,故C正確;因為冷 f -1,函數(shù)y =於為單調(diào)遞增函數(shù)，所以丄v廠 嚴 二， e心故D正確.10. ABC【解析】將函數(shù)/（x） = 2cos.v圖象上所有點X的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得y = 2cos = ,再將得到的圖象向左平移兀個單位長度,得 g(x) = 2cos(音上= -2sin-,(x)為奇函數(shù),厶y故A正確;4龍為g(x)的周期，故3正確；又g(x) = 2siiU的圖彖關(guān)于直線X 對稱，故C正確;2_a令+ 2k7r丄W三+ 2兀,解得龍+ 4兀。冬3兀+ 4Qr,k u乙2 2 2所以g(X)在區(qū)間兀+4k7

17、T、3/r+4龍伙e Z )單調(diào)遞增，取k = 0,得如3刃,所以g(x)在區(qū)間2兀4兀丁 9龍上單調(diào)遞減，在區(qū)間不飛上單調(diào)遞增,所以最小值為g (/r) = -2,故D錯誤.11. CD【解析】數(shù)列他各項乘以10再減4得到數(shù)列仇:0,36224,4&96,192, 故該數(shù)列從第2項起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以乞=故4錯誤;a x z 9 n刁乙9從而色=忙巴=10豐斃。S2所嘰心心+。4故3錯誤；當刃=1時，S=勺=0.4：當心2時也=q+2+ + ” =0.4 + 0.3(2+2+.+ 2,_2) +1 _0.4(n-l) = 0.4“ + 0.3x 乙 =0.4h +0.3x 2一 0

18、.3當” =1時，5=04也符合上式，所以 =0.4n + 0.3x 2心 _ 0.3,故 C 正確；因為nbn =0, n = 1, k ”2、。所以當心1時m當3h x 22 時,Tn =b +2/?2 +3仇nb =0 + 3(2x2 +3x21+4x22+.+nx2n_2).27；,=3(2x2,+3x22+4x23+.- + /7x2w_,),所以一 7； =0 + 3(2 +/7 2+22+. + 2,-2-x2n-,) = 3 2+nx)l 1-22”t) = 3(1f)x2U 所以 7；=30l)x2U 又當” =1時憶也滿足上式，所以7；,=3(h-1)x21,故)正確.12

19、. ACD【解析】當-2-r mCM,故丁的軌跡是以C,M為焦點的橢圓，故A正確;當 r = l, m = 2 時，點 M 在圓 C 夕卜，此時有I7M11 7T|=|CM| = f H_ 1丄15 故3錯誤；當m = 2時J勺W2時的軌跡是以C,M為焦點的雙曲線，4 T方程為r2 r24-44=c=41,所以離心率e=a=7 = 7y當1冬/2時，2冬足4,故C正確;2程為yq = 一它與，=x的交點N的坐標為p+q寧)當2加=2時的軌跡方程為x2 一 y$ = 2,設(shè)S(,則“2 -亍=2,直線SN的方所以 ON = P + q,SN=Z1所以心。十陽洌=巴子=y為泄值, 故D正確.三、填

20、空題13. 70【解析】由題意P(x 2m- 20).又 X N (100,225),所以加 +10+2w-20=200,所以 m = 70.14兀一歹一1 = 0,或 x+y + 1 = 0【解析】拋物線X2 = 4的準線方程為 = -1,(v2 A丸 +1所以P(0,-l).設(shè)切點坐標為 心寸，切線斜率為 =巴=解得無=2.當x0 =2時；=1,切線方程為x - y -1 =28 / 260;當x() = -2時，=_1,切線方程為x + y + l=015【解析】= |麗=AB + AC&+，+% _ J(c + b)2 -be 因為b + c = 4$2 2 2血所以bcW4S4,當且

21、僅當D = c = 2時,等號成立，所以J(C +防-尿 J16 4=館2 216.7/2TF4【解析】AB = 2, 梭惟ptbcd = 所以四棱錐P-ABCD的髙力=1.易知側(cè)而Q43底邊43的髙為血，所以球面與側(cè)而如的交線為弧線如圖，且長度心薔滄?zhèn)R彎”.設(shè)四棱錐P 一 ABCD外接球的球心為O,則O在四棱錐P 一 ABCD的髙線上，設(shè)外接球的半徑為R、則(1 -R)2 + (V2)2 =2F，解得 = -,0= 7T 一3 2)cI I刃J IH | IS丿四解答題17.解：因為 cos2B+3cosB = l,所以 2cosS + 3cos3 2 = 0解得 cosB =：或 cosB

22、 = _2（舍去），2所以在ABC中,B = -.3因為 siiiAsinC = - = sin2B,所以慶=處4所以由余弦定理得b = a2 +c2 - laccosB = a2 +c 一 ac又b，=ac.所以 a2 +c2 -2ac = 0.即 Q = c , 所以ABC為等邊三角形.因為 AD = AB.3所以在 ADC中，由余弦左理得CD =_V73選擇條件：由aABC的外接圓而積為3九得2R = 2/3.所以龍sin 3所以a = 3.故CD =選擇條件：由如C的而積為乎, 得泌的而積為字所以和=攀解得4 = 3.故CD =選擇條件：由BDC的周長為5 + 7 ,得“+年+呂心+厲

23、 所以a = 3.故CD = J71&解：(1)設(shè)等差數(shù)列%的公差為d, 因為 S4 = S5 =-20,所以 5 =S5-S4 =0.因為 = 5他=一20,所以勺=-4,所以=字 = 2,5-3所以 an = a5 + (n-5)d = 2n-10.4+102(2)由題意知仇=4x4心=4t因為 am = 2m 一 10,所以 2m 一 10 = 4”, m =4“+10 4n 心因出匕c =+ 5. 2 24142434n所以 7； = _+ 5 + + 5 + + 5 + + + 5 = 22224(l-4n)1一4 +5h = 2x4”+5h 2 .23319. (1)證明：過點作平

24、而AOB的垂線，垂足為C,如圖，則C是OB的中點，所以BC = .又zobb、所以科=23連接OB因為BB、= OB = 2 ,所以aOBB】為等邊三角形.因為點M為3目的中點，所以3目丄OM.因為平而O丄平而BBQO ,平面AAflfl c平而BBpfi = OOX且AO丄OO】,40 u 平面 AAQO，所以AO丄平而因為BB. u平面BB0O,所以AO丄BB.又因為 AOrOM =O,AO u 平而 OM4,OMu 平而 OMA，所以BQ丄平面OAM.因為OP u平而OMA,所以BB丄OP.（2）解：以0為坐標原點，OA. OB、00|所在直線分別為x軸/軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

25、坐標 系，則 A(2,0,0),B(020)，d(0,l,d),M|0,f,OP =，西=（020）設(shè)平而OPB的一個法向量為/? = （x, ” z）則空rOB n = 03 也 c HP X+4? + TZ= 2y = 0取 z = 得 x = _3, y = 0,因為BE丄平WiOAM, 所以平而OAM的一個法向量為麗;=（0,-1）,所以cos甌n_ 12 BBn 2x572y/5719所以平而如與平而旳所成銳二面角的余弦值為甞20解：（1）設(shè)事件M為耕地（包括永久農(nóng)陽和一般耕地）種植三大谷物二90 + 30 _ 4100 + 50?4 所以A村莊每畝耕地種植三大谷物的概率為二.4（2

26、）由（1）知.每個村莊的三大谷物的種植情況符合要求的概率均為一由題意知，X的所有可能取值為-5,-3,-1丄3,5P（X=-3）= C*|x4625P（X=_1） = C?4）532625128625P（X=3） = C|）4x（1-| =25662510243125則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的總積分X的分布列為X-5-3-1135P14321282561024r31256256256256253125I4 z 32E(X) = (-5)XiH?+(-3)X6+(-1)X6 +lx 竺+ 3x 空+ 5x 竺=36256253125勞動力年齡層次種植情況合種植三大谷物種植棉、油、蔬菜等中老年勞動力651580青

27、壯年勞動力51520合計7030100因為 24.107 10.828所以有99.9%的耙握認為種植作物的種類與勞動力K?的觀測值100x(65x15-15x5)280x20x70x3024.107.的年齡層次有關(guān).21 解：(1)設(shè)百(-c,0)迅仏0)以線段斤巴為直徑的圓過點P，所以PF】丄PF? 所以再兩亠+還，-曰L+還，-迺 I 33 )33 丿所以c =卡、所以a2-b2=3.將卩學羋代人審+* = 1(小0),解得/=4,滬=1,所以橢圓C的標準方程為+y2=l.4（2）當直線A/N的斜率不存在時，設(shè)直線MN的方程為x = m,2設(shè) M （加, ）, N （m,-y0 ），則冷-

28、+ X = 1 .又 Sqn =|x2|-0|w| = 1,所以y： = 1 .由得加2 =2,yj=l 所以=21.Z21 = _2o_ = _l.2 m m nr 4當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y = kx+加,M （齊,牙）,N （七,旳）， x2 ,聯(lián)立才* Ty = kx + m得（4“ +1）, +Sktnx+4m2-4 = 0, = 64 一16, +160所以X +x2 =一如4m2 -4?2一4疋1 + 4/所以 X ?2 =（鋼 + 加）（g + 加）=心氏 + hnx + x2） + m2 =又MN = Jl + 疋斗一對64,加 216(加2一1)(1 + 4疋)(1 + 4疋點0到直線的距離旦J1 + H所畑卄杯曲耳將X皿Py/4k2-m2 +1 _ 2m14k -/?r +1 _1 + 4/1+4疋即4一4(4疋