一元二次方程易錯(cuò)題(Word版含答案)

1、元二次方程易錯(cuò)題（Word版含答案）一、初三數(shù)學(xué)一元二次方程易錯(cuò)題壓軸題（難）1.如圖，在長(zhǎng)方形488中，邊48、8c的長(zhǎng)（ABBC）是方程x +=10（秒）.當(dāng)PD=PC（即P為對(duì)角線AC中點(diǎn)）時(shí)，AB = 3, BC = 4.；.AC= J32 +4, =5, CPi= AC=2. 53 + 4 + 2.5 /ri、=9.5（秒）1當(dāng)PD=CD=3時(shí)，作DQJ_AC于Q.DQ =-x3x4 21x5295APC=2PQ= 52 4183 + 4 + T_53 （秒）1553可知當(dāng)t為10秒或9. 5秒或三秒時(shí)，4CDP是等腰三角形.2. （1）課本情境:如圖，已知矩形AOBC, AB =

2、6cm, BC=16cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以 3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)，出發(fā) 時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm：（2）逆向發(fā)散:當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P, Q兩點(diǎn)的距離為多少？當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s時(shí)，P. Q 兩點(diǎn)的距離為多少？（3）拓展應(yīng)用：若點(diǎn)P沿著AOfOCfCB移動(dòng)，點(diǎn)P, Q分別從A, C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間APOQ的面積為824【答案】 或三s （2） 642cm ： 2y/3cm （3） 4s或6s 55【解析】【分析】 過(guò)點(diǎn) P 作

3、 PEJ8c 于 ,得到 AP = 3t, CQ=2t, PE = 6, EQ=16 - 3t - 2t=16 - 53 利用 勾股定理得到方程，故可求解；（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解：分當(dāng)點(diǎn)P在40上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在C8上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式列 出方程即可求解.【詳解】 解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE_L8c于E, 由運(yùn)動(dòng)知，AP = 3t, CQ=2t, PE = 6, EQ=16-3t-2t=16-5t,丁點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10 cm, . 62+ (16 - 5t) 2 = 100,824解得匕=一，t2=,558 ,、

4、24，t=-s 或一s .55824故答案為二s或二s55(2)t=2 時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知 4P=3x2 = 6 cm, CQ = 2x2=4cm, 四邊形4PEB是矩形，PE=AB=6, 8E=6, , EQ=BC - BE - CQ=16 - 6 - 4 = 6,根據(jù)勾股定理得PQ= PE2 + EQ2 =60 ,.當(dāng)t=2s時(shí)，P, Q兩點(diǎn)的距離為6cm：當(dāng) t=4s 時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知 4P=3x4 = 12 cm, CQ=2x4=8cm, 四邊形4PEB是矩形，PE=AB=6, 8Q=8, CE=OP=4 , EQ=BC - CE - BQ= 16-4- 8=4,根據(jù)勾股定理得PQ= yPE2

5、+ EQ2 = 2JT5,P，Q兩點(diǎn)的距離為2 JTJcm.22（3）點(diǎn)Q從C點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)所花的時(shí)間為162=8s,(16-3/)-6= 12,一, 一POCO當(dāng)點(diǎn)。在4。上時(shí)，S“POQ= 解得t=4.山 八 一 _ PO CQ _ （3r-16） -2/ _T 點(diǎn) P 在.OC L時(shí)，Sapoq=12 222解得t=6或-3 （舍棄）.“一 八 ,PQ CO + 22 3f）x6口點(diǎn) P /t CB 上時(shí)， Spoq-=12,22解得t=188 （不符合題意舍棄），綜上所述，經(jīng)過(guò)4 5或6 s時(shí)， POQ的面積為12 cm2.【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題

6、的關(guān)鍵是熟知勾股定理的 應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式找到等量關(guān)系列出方程求解.3 .隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，汽車已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家 庭.據(jù)某巾.交通部門統(tǒng)計(jì)，2008年底該市汽車擁有量為75萬(wàn)輛，而截止到2010年底，該 市的汽車擁有量已達(dá)108萬(wàn)輛.（1）求2008年底至2010年底該巾汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率：（2）為了保護(hù)城市環(huán)境，緩解汽車擁堵?tīng)顩r，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到 2012年底全市汽車擁有量不超過(guò)125.48萬(wàn)輛：另?yè)?jù)統(tǒng)計(jì)，從2011年初起，該市此后每年報(bào)廢 的汽車數(shù)量是上年底汽車擁有量的10%假設(shè)每年新增汽車數(shù)量相同，請(qǐng)你估算出該市從201

7、1 年初起每年新增汽車數(shù)量最多不超過(guò)多少萬(wàn)輛.【答案】解：（1）2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率是20%（2）從2011年初起每年新增汽車數(shù)量最多不超過(guò)20萬(wàn)輛【解析】【分析】（1）設(shè)年平均增長(zhǎng)率x,根據(jù)等量關(guān)系“2008年底汽車擁有量x （1+年平均增長(zhǎng)率）x （1+ 年平均增長(zhǎng)率）列出一元二次方程求得.（2）設(shè)從2011年初起每年新增汽車的數(shù)量y,根據(jù)已知得出2011年報(bào)廢的車輛是2010 年底擁有量xlO%,推出2011年底汽車擁有量是2010年底擁有量-2011年報(bào)廢的車輛=2010 年擁有量x （1-10%）,得出等量關(guān)系是：2010年擁有量x （1-10%）

8、+新增汽車數(shù)量卜（1- 10%） +新增汽車數(shù)量”，列出一元一次不等式求得.【詳解】解：（1）設(shè)該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意,得 75 （1+x） 2=108,則 l+x=1.2解得Xi=0.2=20%, x2= - 2.2 （不合題意,舍去）.答：該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為20%.（2）設(shè)全市每年新增汽車數(shù)量為y萬(wàn)輛，則2010年底全市的汽車擁有量為（108x90%+y）萬(wàn)輛，2011年底全市的汽車擁有量為（108x90%+y） x90%+y萬(wàn)輛.根據(jù)題意得（108x90%+y） x90%+y125.48,解得H20.答：該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過(guò)20萬(wàn)輛.4 .已知

9、關(guān)于的一元二次方程相與2+。-2m）犬+1=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)加的取值范圍：若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X, &，且滿足同+同=2中2T5,求？的值.【答案】（2）? 0且加2=0,然后求出兩個(gè)不等式解集的公共部分即可.C 11（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到+人加上mV；且mwO,則 nr - nr4可判斷為0, X, 0,解得？ ；：又因?yàn)槭且辉畏匠?，所以?。0，.?（）.m的取值范圍是? v 1且?=0.42?（2）,.王，占為原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，%+占=2二，X/,=一 i）r - nr1 八2m - 1 八1AC？一且mwO, ax. +x.=0,玉0, x,vO.

10、4 nr- nr.|%1|+|%2| = 2a:1x2 -15 , 一$ -x2 = 2XjX2 -15,2m -12 y、11* - s = =r 15, /. 15廣一27 1 = 0,解傳 J% = -，=一二，nr 廣35?且加工0,.町=1不合題意，舍去，/.m = -.435【點(diǎn)睛】此題主要考查一元一次方程的定義和判別式的意義，正確理解概念和熟練運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵.5.閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問(wèn)題：材料一：換元法是數(shù)學(xué)中的重要方法，利用換元法可以從形式上簡(jiǎn)化式子，在求解某些特 殊方程時(shí)，利用換元法常常可以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，例如在求解一元四次方程?-2a-2+ 1 = 0,就可

11、以令i=i，則原方程就被換元成產(chǎn)_2f+ 1 = 0,解得t=l,即胃=1，從而得到原方程的解是乂 = 1材料二：楊輝三角形是中國(guó)數(shù)學(xué)上一個(gè)偉大成就，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的 詳解九章算法一書中出現(xiàn)，它呈現(xiàn)了某些特定系數(shù)在三角形中的一種有規(guī)律的幾何排列，下圖為楊輝三角形：133114 6 4115101051（1）利用換元法解方程：（1+3“一1+2（1+3%-1） = 3（2）在楊輝三角形中，按照自上而下、從左往右的順序觀察，如表示第。行第2個(gè)數(shù)（其中*4） , 6。表示第行第3個(gè)數(shù)，C”表示第（一行第3個(gè)數(shù)，請(qǐng)用換元法因式分解：4（-%）.%+1【答案】（1） % =二或x =

12、二二或 x=-l 或 x=-2： （2） 4（Z? -an）-cn+ = 22（n2-5n+5） 2【解析】【分析】（1）設(shè)t=x2+3x-l,則原方程可化為：t?+2t=3,求得t的值再代回可求得方程的解；（2）根據(jù)楊輝三角形的特點(diǎn)得出an, bn, cn,然后代入4 （bn-an） a+l再因式分解即可.【詳解】（1）解:令 t=x3x-l則原方程為：t?+2t=3解得：t=l或者t=-3當(dāng) t=l 時(shí),x2+3x-1=1解得：x3 + g或一3一萬(wàn) 22當(dāng) t=-3 時(shí)，x2+3x-l=-3解得：x=l或x=-2方程的解為：x = 土正 或X =二3二* 或x=-l或x=-2 22（2）

13、解：根據(jù)楊輝三角形的特點(diǎn)得出：an=n-l_ 伽1）（-2）4=2（一 2）（ 一 3） c =2，4 （bn-an） cn+l= （n-1） （n-4） （n-2） （n-3） +1= （n2-5n+4） （n2-5n+6） +1=（n2-5n+4） 2+2 （n2-5n+4） +1= （n2-5n+5） 2【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用.解一些復(fù)雜的因式分解問(wèn)題，常用到換元法，即對(duì)結(jié)構(gòu)比 較復(fù)雜的多項(xiàng)式，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，用新字母代替（即換元），則能使復(fù) 雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，明朗化，在減少多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)，降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨(dú)到作 用.6.如圖，在ZiABC中，ZB=90

14、, AB=12 cm, BC=16cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以 lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q分 別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PBQ的面積等于35cm2?（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等8cm?（3）若點(diǎn)P, Q的速度保持不變，點(diǎn)P在到達(dá)點(diǎn)B后返回點(diǎn)A,點(diǎn)Q在到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn) B, 一個(gè)點(diǎn)停止，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止.問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，4PCQ的面積等于32cm2?4【答案】（l）t為5或7： （2） t為=或4： （3） t為4或16【解析】【分析】（1）分別用含/的代數(shù)式表示PB, BQ的長(zhǎng)，利用而積公式列方程求解即可.（2）分別用含/的代數(shù)式表示PB, BQ的長(zhǎng)，利用勾股定理列方程求解即可.（3）分段要清楚，0，48, P，Q都沒(méi)有返回，表示好PB, CQ的長(zhǎng)，用面積公式列方 程，81412, P不返回，Q返回，表示好PB, CQ的長(zhǎng)，用而積公式列方程，12/0,.*.0, .對(duì)任意實(shí)數(shù)m,方程總有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2)