專題02因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題(解析版)

1、備戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)之解密壓軸解答題命題規(guī)律專題02因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題【類型綜述】解直角三角形的存在性問(wèn)題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根. 一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股泄理列方程.有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡(jiǎn)便.解直角三角形的問(wèn)題，常常和相似三角形、三角比的問(wèn)題聯(lián)系在一起.如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形, 這樣列比例方程比較簡(jiǎn)便.【方法揭秘】我們先看三個(gè)問(wèn)題：1. 已知線段以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是

2、什么？2. 已知線段AB,以線段AB'h斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3. 已知點(diǎn)A(4.0),如果AOAB是等腰宜角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).圖1圖2圖3如圖1,點(diǎn)C在垂線上，垂足除外.如圖2,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外.如圖3,以O(shè)A為邊畫(huà)兩個(gè)正方形，除了 0、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B,共6個(gè).如圖4,已知A(3, 0), B(l,4),如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)(7在$軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C.如果作丄y軸于D 那么AOCsCDB.m 1這個(gè)方程

3、有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).【典例分析】2【例2】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/別交x軸和丿軸于點(diǎn)A (3, 0), B (0, 3).il/1§1圖2(1) 如圖1,已知OP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與直線h相切于點(diǎn)B,求OP的直徑長(zhǎng)；(2) 如圖2,已知直線?2：別交x軸和丿軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D,點(diǎn)0是宜線“上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以。為圓心，20為半徑畫(huà)圓. 當(dāng)點(diǎn)0與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線h與OQ相切； 設(shè)O0與直線h相交于M, N兩點(diǎn)，連結(jié)QM, QN.問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)0,使得0WN是等腰直 角三角形，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例3】如圖1,在RtAABC中，

4、ZACB=90。，AB=13, CDAB,點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，聯(lián)結(jié)AE交邊于F, ZBAE的平分線交BC于點(diǎn)G.(1) 當(dāng)CE=3時(shí)，求Sg : Sm的值；(2) 設(shè)CE=x, AE=yt當(dāng)CG=2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng)AC=5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG,若ZUEG為宜角三角形，求BG的長(zhǎng).圖1【例4】綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過(guò)折紙，可能折過(guò)小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也 伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).在折紙過(guò)程中，我們可以通過(guò)研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借 助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程中，我們會(huì)初步建立幾何宜

5、觀，折紙往往從矩形紙片開(kāi)始，今天，就讓我們帶著數(shù) 學(xué)的眼光來(lái)玩一玩折紙，看看折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論實(shí)踐操作如圖1,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)B，落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，B，C和AD相交于點(diǎn)E,連接BD解決問(wèn)題在圖1中， B，D和AC的位置關(guān)系為_(kāi)； 將AAEC剪下后展開(kāi)，得到的圖形是_:(2) 若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(ABHBC),如圖2所示，結(jié)論和結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x 其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì) 稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的

6、長(zhǎng)寬之比為；拓展應(yīng)用(4) 在圖2中，若ZB=30°, AB=4V3 ,當(dāng) AB，D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長(zhǎng)度為.【例5】如圖，己知二次函數(shù)y=ax求此二次函數(shù)解析式； 點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷aBCD的形狀，并說(shuō)明理由； 將直線BC向上平移t(t>0)個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M, N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在y軸的右側(cè)),+bx+3的圖象與x軸分別交于A(1,O), B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C備用圖當(dāng)AAMN為直角三角形時(shí)，求t的值.【例6】如圖，拋物線y=mP+nx -3 (mO)與x軸交于A(3, 0), B(l, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直 線y=x與該拋物線交

7、于E, F兩點(diǎn).(1) 求點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式.(2) P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH丄EF于點(diǎn)H,求PH的最大值.(3) 以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，0C±是否存在點(diǎn)D,使得aBCD是以CD為直角邊的直角三角形？【變式訓(xùn)練】1. 如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N 軸上是否存在點(diǎn)P,使得AlVINP為等腰直角三角形，則符合條件的點(diǎn)P有(提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)()A. 2個(gè) B. 3個(gè) C4個(gè) D. 5個(gè)2. 如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(8, 0)、(0, 8),點(diǎn)C、F分別是直線x=5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，CF=

8、10,點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交$軸于點(diǎn)E,當(dāng)'ABE面積取得最小值時(shí)，tanZBAD的值 是()173.如圖，在AABC中,7179D.AB=2, AO二BO. P是直線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAOC=60%當(dāng)ZkPAB是以BP為直角邊的直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為()A V5J.2 B. 、2廳,2 C 371 D vl0, 24. 如圖，43是0 0的直徑，弦BC = 2cm. F是弦BC的中點(diǎn)，lABC = 60&.若動(dòng)點(diǎn)E以的速度從4點(diǎn) 出發(fā)沿著ArBrH方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(O<i <3),連結(jié)EF,當(dāng)"EF是直角三角形時(shí)，t (s)

9、的值為B7 79c. a或1 d. 4或1或a125. 若。點(diǎn)坐標(biāo)(4, 3),點(diǎn)F是丫軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是反比例函數(shù)y = (x > 0)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若x刃0為等腰直角三角形，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.6. 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 中，zA=ABC=乙BCD=zD=90°, AB=CD=J AD=BC=10,點(diǎn) E 為射線 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與BE關(guān)于直線BE對(duì)稱，當(dāng)BC為直角三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為7. 如圖，AB為OO的宜徑，C為OO上一點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D, E為弦AC的中 點(diǎn)，AD = 10, BD = 6,若點(diǎn)P為直徑的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP,當(dāng)AAEP是直

10、角三角形時(shí)，4P的&如圖.RtA ABC中，ZC=90°, AC=2, BC=5,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1,點(diǎn)P是線段DB ±一動(dòng) 點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtA AOP.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的 運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 9. 如圖，AB是00的直徑，弦BC=6cm, AC=8cm.若動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B(niǎo)-A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以lcnVs的速度從A點(diǎn)岀發(fā)沿著A-C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ms),當(dāng)aAPQ是直角三角形時(shí)，t的值為10. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A (

11、71;, b), B (c, d),若點(diǎn)T (x, j)滿足二，J = 斗那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A, B的融合點(diǎn).一 1 + 48 + (-2)例如：A (-1, 8), B (4, -2),當(dāng)點(diǎn) T (x, j)滿足 x=l9 y=2 時(shí)，則點(diǎn) T (1, 2)是點(diǎn)A, B的融合點(diǎn).(1) 已知點(diǎn)A (1, 5), B (7, 7), C (2, 4),請(qǐng)說(shuō)明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).(2) 如圖，點(diǎn)D (3, 0),點(diǎn)E (/, 2/+3)是直線/上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T (x, >)是點(diǎn)D, E的融合點(diǎn). 試確定丿與x的關(guān)系式. 若直線ET交x軸于點(diǎn)當(dāng)AD77/為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

12、411. 如圖，在矩形ABCO中，AO=3, tanZACB=-,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為兀軸，OA為)'軸建立平 面直角坐標(biāo)系.設(shè)D, E分別是線段AC, OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn) A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.(1) 求直線AC的解析式；(2) 用含的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3) 當(dāng)/為何值時(shí)，AODE為宜角三角形？(4) 在什么條件下，以RtAODE的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于)'軸的拋物線？并請(qǐng)選擇一種情況, 求出所確定拋物線的解析式.12. 如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y = ax2+bx + 3

13、與"軸交于4(3,0), B(-1,0)兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C.備用團(tuán)(1) 求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2) 問(wèn)在)'軸上是否存在一點(diǎn)P,使得心M為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō) 明理由.(3) 若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D,滿足D4 = OA,過(guò)D作DG丄兀軸于點(diǎn)G,設(shè)AADG的 內(nèi)心為試求C/的最小值.13. 如圖.在等腰R仏ABC中，ZACB = 90AB = 14>/2.點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，將線段ED繞點(diǎn)團(tuán)1圖2(1) 如圖1,若AD = ED,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O.求證：BD = 2DO.(2) 已知點(diǎn)G為

14、AF的中點(diǎn). 如圖2,若AD = BD、CE = 2,求DG的長(zhǎng). 若AD = 6BD,是否存在點(diǎn)E,使得是宜角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理 由14. 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線人分別交兀軸和軸于點(diǎn)A(-3,0)、B(0,3).如圖1,已知0P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與直線厶相切于點(diǎn)求0P的直徑長(zhǎng);如圖2,已知直線/2： y = 3x-3分別交x軸和)'軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D,點(diǎn)0是直線厶上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為圓心，2JI為半徑畫(huà)圓. 當(dāng)點(diǎn)0與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線厶與O0相切； 設(shè)O0與直線人相交于兩點(diǎn)，連結(jié)0AA0N.問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)0,使得0MN是等腰直角三角形，若存在，

15、求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)C.(1) 求出直線BC的解析式.(2) M為線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交BC于H,過(guò)M作M0丄BC于0求出厶血。 周長(zhǎng)最大值并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；當(dāng)4應(yīng)0的周長(zhǎng)最大時(shí)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)使AR - MR最大，求出 此時(shí)R的坐標(biāo).(3) T為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將"CT沿邊OT翻折得到公OC7,是否存在點(diǎn)7'使AOCT與"BC的重疊 部分為直角三角形，若存在請(qǐng)求出BT的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16. 在平面宜角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+ (k-l) x-k與直線y=kx+l交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左 側(cè).(1

16、) 如圖1，當(dāng)k=l時(shí)，直接寫(xiě)出A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 在(1)的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在宜線AB下方，試求出AABP面積的最大值及 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 如圖2,拋物線y=x2+ (k1) x-k (k>0)與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，在宜 線y=kx+l上是否存在唯一一點(diǎn)Q,使得ZOQC=90°?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由17. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = /2x + 3與x軸交于A, B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.(1) 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A, C, D的坐標(biāo)；(2) 如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)

17、E,使得ACDE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3) 如圖(2), F為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得AAFP為等腰直角三角形？若存 在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18. 如圖，已知拋物線y = ax2+bx + c(aO)的對(duì)稱軸為直線x = -l9且拋物線與x軸交于A. B兩點(diǎn), 與y軸交于c點(diǎn)，其中a(lo), c(o,3).(1) 若直線y = nn+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線3C和拋物線的解析式；(2) 在拋物線的對(duì)稱軸尤=-1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；(3) 設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x = -l±的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

18、，求使為宜角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).19. 已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A (0, 6), B (6, 0), C ( - 2, 0),點(diǎn)P是線 段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APAB的面積有最大值？(3) 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D,再過(guò)點(diǎn)P做PE/軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使APDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.20. 如圖，己知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (0, 3)、B (1, 0),其對(duì)稱軸為直線1： x=2,過(guò)點(diǎn)A 作AC/X軸

19、交拋物線于點(diǎn)C, ZAOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫圖圖(1) 求拋物線的解析式；(2) 若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并 求出其最大值；(3) 如圖，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸I上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使APOF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn) 的等腰直角三角形？若存在，宜接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、B的 拋物線的一部分G與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲

20、線稱 為“蛋線”.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,看)，點(diǎn)M是拋物線C2： y = mx2-2mx-3m ( m vo)的頂點(diǎn).(1) 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) “蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得APBC的面積最大？若存在，求出APBC面積的最大值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 當(dāng)ABDM為直角三角形時(shí)，求m的值.22. 如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y = -討 +hx + c 經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D.(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP,連接PQ,設(shè)

21、CP=m, ACPQ的面積為S. 求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出m為何值時(shí)，S取得最大值；4 當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y = -X2+bx + c的對(duì)稱軸1上若存在點(diǎn)F,使AFDQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě) 出所有符合條件的F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2備戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)之解密壓軸解答題命題規(guī)律專題02因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)【類型綜述】解直角三角形的存在性問(wèn)題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根. 一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡(jiǎn)便.解直角三角形的問(wèn)題，常常和相似三角形、

22、三角比的問(wèn)題聯(lián)系在一起.如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形, 這樣列比例方程比較簡(jiǎn)便.【方法揭秘】我們先看三個(gè)問(wèn)題:1. 已知線段AB,以線段為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2. 已知線段以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3. 已知點(diǎn)A(4.0),如果是等腰直角三角形.求符合條件的點(diǎn)3的坐標(biāo)如圖1,如圖2,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外.如圖3,以O(shè)A為邊畫(huà)兩個(gè)正方形，除了 0、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B,共6個(gè).如圖4,已知A(3,0), B

23、(l,4),如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C.如果作BDLy軸于D 那么AOCsCDB.m 1這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).【典例分析】1. 判斷點(diǎn)P是線段0P的中點(diǎn)是解決問(wèn)題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn)幾P的坐標(biāo).2. 分別求線段: BB點(diǎn)P到心'的距離：點(diǎn)P到的距離，就可以比較刊川與P'BB的而枳之比.滿分解答(1) 當(dāng) x=l 時(shí).卩=/ = 1,所以 (1,1), m = l.物線b的表達(dá)式為 尸OX2.代入點(diǎn)B2),可得0=1所以y =丄乂2 2(2) 點(diǎn)

24、Q在第一象限內(nèi)的拋物線&上，宜角三角形Q8F存在兩種情況： 如圖3.過(guò)點(diǎn)B作B3'的垂線交拋物線&于a那么0(2, 4) 如圖4, VXBB'為直徑的圓D仃棚嘰Ei交于點(diǎn)a那么QD= -BB9 =2.2設(shè)Q(x*2),因?yàn)?(0, 2).根據(jù)QD2=4列方程” +僅2 2尸=4解得x=±羽.此時(shí)Q(JJ、3) 如圖因?yàn)辄c(diǎn)P2分別在拋物線弘 心設(shè)P(b占卜P© i?).2、-c2 因?yàn)閛、p、p三點(diǎn)在同一條直線上，所以 空=竺，即M=2_.Of ON b c所以c=2b.所以P(2b,2b2).如團(tuán) 6,由 4(1,1), 6(2,2)；可得

25、A4f=2, BB'=A.由A1)、P(b,砒 可得點(diǎn)P到直線朋的距離PMH由8(2,2)x Pf(2b, 2b2),可得點(diǎn)P到直線陽(yáng)的距離 啲=22-2所以 PA/V與ZkPW的面積比=2(夕一1)： 4(2夕一2) = 1： 4考點(diǎn)伸展 第(2)中當(dāng)ZBQB'=90°時(shí)，求點(diǎn)Q(x,F)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股立理，得BQ如圖1,已知OP經(jīng)過(guò)點(diǎn)0 且與直線h相切于點(diǎn)B,求OP的直徑長(zhǎng)； 如圖2,已知直線?2： J=3x一別交x軸和丿軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D,點(diǎn)0是宜線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為 圓心，2血為半徑畫(huà)圓. 當(dāng)點(diǎn)0與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線h與OQ相切； 設(shè)

26、O0與直線人相交于M, N兩點(diǎn)，連結(jié)QM, QN.問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)0,使得AOMN是等腰直 角三角形，若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】1)3運(yùn)：2)見(jiàn)解析；(3-2，6-3x/2)或(3 +邁，6 + 3血)+B'Q2=B'B2.所以(x-2)2+(W2)2+(兀+2)2+(兀22)2=42 方法三，作QH丄B'B于H,那么QH2 = BfH BH.所以(x2 2)2=(x+2) (2-x)【例2】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/別交x軸和丿軸于點(diǎn)A (-3, 0), B (0, 3).（1）證明aABC為等腰直角三角形，則0P的直徑長(zhǎng)=B

27、C=AB,即可求解：（2）證明CM = AC-sin45° = 4x= 2>/2 =圓的半徑，即可求解：2（3）分點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方、點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方兩種情況，分別求解即可.1V ZBOC=90°, 點(diǎn) P 在 BC 上，V0P與直線相切于點(diǎn)B,ZABC=90°9 而 OA = OB, .ABC為等腰直角三角形， 則OP的直徑長(zhǎng)=BC=AB= 3近:（2）過(guò)點(diǎn)作CM丄AB.由直線 b： y=3x-3 得：點(diǎn) C (1, 0),則 CM = ACsin45° = 4x2>/I =圓的Y故點(diǎn)M是圓與直線/i的切點(diǎn),即：直線h

28、與OQ相切：當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方時(shí)，由題總得：MQ=NQ, ZMQN=90。，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為("?，3/h3),則點(diǎn)N (m,加+3,則NQ = m + 3-3m + 3 = 2y/2 , 解得：m = 3 - y/2 :當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方時(shí)，同理可得：m = 3 + 2 -故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3-血，6-3血)或(3 + 0, 6 + 3>/2)忌煉點(diǎn)撥解決第(3)問(wèn)，要分點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方、點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方兩種情況求解.【例3】 如圖1,在RtAAJ?C中，ZACB=90。, AB=13, CD/ABt點(diǎn)E為射線3 上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)

29、C重合)，聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F, ZBAE的平分線交BC于點(diǎn)G.(1) 當(dāng) CE=3 時(shí)，求 Sg : Sacaf 的值；(2) 設(shè)CE=x, AE=yt當(dāng)CG=2GB時(shí)，求，與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng)AC=5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG,若ZV1EG為直角三角形，求G的長(zhǎng).1. 第(1)題中的ACEF和CAF是冋高三角形，面積比等于底邊的比.2. 第(2)題中的AABC是斜邊為宦值的形狀不確左的宜角三角形.3第(3)題中的直角三角形A£G分兩種情況討論.(1) 如圖 2,由 CEhAB?得蘭= AF BA 13由于妙與AG!尸是同高三角形,所以 Smef： SgF=3 ： 13,如圖3,延長(zhǎng)

30、"G交射線仞于由 CMi.AB,得竺=£2 = 2 所以 CM=Z4B=26.AB BG由 CWAB，得Z£.V£4 = Z5-Vf又因?yàn)樾l(wèi)M平分乙恥E,所以ZB/= ZZ.4.W.所以ZEMA = ZEAM所以 y=EA=EM=26-x.圖4(3】在 RtZUBC 中'AC=5,所以BU=12. 如圖4, Z-4GZ=90°時(shí)'延長(zhǎng)EG交 朋于嘉 那么所以G是的中點(diǎn).所咲G是BC的中點(diǎn)，BG=6. 如團(tuán) X 當(dāng)ZEG=90° 時(shí)，由厶CAFsHEGF,得 ££ = £!.FE FG 由

31、CE.AB,得 ££ =蘭.FE FA所以£1 =竺又因?yàn)?厶FG= Z刃2、所以疔GS必1 FG FA所以,/E1G=乙 B 所以 ZGN_S Z0 所以 G/ GB.11作GH丄旳那么BH=AH- 2在 RtAG方刃中，由 cosZ5=,得 BG= = .BG21324考點(diǎn)伸畏第(3)題的第種情況，當(dāng)ZAEG=90°時(shí)的核心問(wèn)題是說(shuō)理G4=GB.如果用四點(diǎn)共圓，那么很容易.如圖6,由A、C、E、G四點(diǎn)共圓，直接得到Z2=Z4.上海版教材不學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，比較麻煩一點(diǎn)的思路還有：如圖7,當(dāng)ZAEG=90°時(shí)，設(shè)AG的中點(diǎn)為P,那么PC和PE分別

32、是RtAACG和Rt/VIEG斜邊上的中線,所以 PC=PE=PA=PG.所以Z1=2Z2, Z3=2Z5.如圖 8,在等腰APCE 中，ZCPE= 180° -2(Z4+Z5),又因?yàn)閆CPE= 180° -(Z1 + Z3),所以Z1 + Z3=2(Z4+Z5)所以Z1=2Z4.所以Z2=Z4=ZB.所以ZGAB=ZB所以 GA = GB.【例4】綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過(guò)折紙，可能折過(guò)小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也 伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).在折紙過(guò)程中，我們可以通過(guò)研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借 助

33、圖形思考問(wèn)題的過(guò)程中，我們會(huì)初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開(kāi)始，今天，就讓我們帶著數(shù) 學(xué)的眼光來(lái)玩一玩折紙，看看折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論.實(shí)踐操作如圖1,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)B，落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，B，C和AD相交于點(diǎn)E,連接BD解決問(wèn)題(1) 在圖1中， B，D和AC的位置關(guān)系為_(kāi)； 將AAEC剪下后展開(kāi)，得到的圖形是_；若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(ABMBC),如圖2所示，結(jié)論和結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x 其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸再次折疊后，得

34、到的仍是軸對(duì) 稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為;拓展應(yīng)用(4) 在圖2中，若ZB=30°,當(dāng) AB，D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長(zhǎng)度為_(kāi).B1【答案】BD7/AC,菱形：見(jiàn)解析;(3)1： 1或JJ：1： (4)4 或 6 或 8 或 12.思煉點(diǎn)撥(1)根據(jù)折疊的相關(guān)性質(zhì)即可解答，可得到展開(kāi)的圖形為菱形.(2) 根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得到ADAC = ZACB,再根據(jù)翻折的定義即可得到MEC是等腰 三角形，隨之可解答.求岀AD = BC，根據(jù)翻折得到ZCB'D = ZADB',即可解答.(3) 分類討論不同長(zhǎng)寬比下的情況進(jìn)行解答即可.求出四邊形AC

35、B D是等腰梯形，再根據(jù)題意設(shè)ZADB =ZCB'D = y，解岀y,求出BC的長(zhǎng)再分類討 論即可.滿分解礬()®BD7/AC.將AAEC剪卜后展開(kāi)，得到的圖形是菱形：故答案為BD7/AC,菱形：選擇證明如下：四邊形ABCD是T：行四邊形，:.ADHBC、:.ZDAC = ZACB,將AABC沿AC翻折至 AB'C.:.ZACB，= ZACB，:.ZDAC = ZACB:.AE = CE,:.MEC是等腰三角形：二將AAEC剪卜后展開(kāi)，得到的圖形四邊相等，將MEC剪下后展開(kāi)，得到的圖形四邊是菱形.選擇證明如下，四邊形ABCD是平行四邊形，AD = BC .將AABC沿

36、AC翻折至 AB'C,.B，C = BC,:.B'C = AD,:.B'E = DE,.ZCB,D = ZADBZAEC = 3 ED, ZACB' = ZCAD:.ZADB' = ZDAC,:.B'DUAC.(3) 當(dāng)矩形的長(zhǎng)寬相等時(shí)，滿足條件，此時(shí)矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為1:1； .ZAB'D+ZADB' = 90。，.y_30° + y = 90。，當(dāng)矩形的長(zhǎng)寬之比為石：1時(shí)，滿足條件，此時(shí)可以證明四邊形ACDB'是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形; 綜卜所述，滿足條件的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為1:1或0 ： 1 ：(4)

37、v AD = BC, BC = BC:.AD = BC,.ACIIB'D、四邊形ACB'D是等腰梯形，vZB = 30% :.ZAB,C = ACDA = 30°, AB'D是直角三角形，當(dāng) ZB'AD = 90°. AB>BC時(shí)，如圖 3 中，3B'-T畫(huà)寸 Hua.A C寸£寸xUQy . T 寸 MW HCQy . OOTOOEIrQEVZ. 009Hi s OOTr Q.gvz r QgulHQQV7$<zs 要慕匸=UCQV0P 006HQ5£T7TT。寸Hgy OOHN .O06H&

38、V7 。06"曾.舉眾眾QEOP星勻SI O06H-QQV7 Qm二uv U/Havu空 Hua U0HGVBr5/AD = BC, BC = B'C,:.AD = BCr:ACHB'D、ZB'AD = 90°.Z5 = 30°,個(gè)=4苗，:.ZAB'C = 30°:.AE = 4, BE' = 2AE = 8,:.AE = EC = 4,.CB = 12,: AD = BC BC = B C:.AD = B'C.ACHB'D,二四邊形ACDBT申腰梯形,vZAB'£> =

39、90%二四邊形ACDB'是矩形，:.ABAC = 90°,.*= 30° , AB = 4/J,bc = ab'T=8: 已知當(dāng)BC的長(zhǎng)為4或6或8或12時(shí), AB'D是直角12角形.故答案為平行，菱形，1:1或JT:14或6或8或12：解決第(4)問(wèn)， ABD恰好為直角三角形時(shí)，可得ZBFD=90°( AB>BC)時(shí)，如圖3；當(dāng)ZADB' = 90° (AB>BC)時(shí)，如圖 4：當(dāng) ZB'A£> = 90。( AB v BC )時(shí)，如圖 5：當(dāng) ZAB'D = 90。時(shí)，如圖

40、6：根 據(jù)這幾種情況求得BC的長(zhǎng).45【例5】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸分別交于A(1,O), B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C備用圖（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）將直線BC向上平移t（t>0）個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M, N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)）， 當(dāng)AAMN為直角三角形時(shí)，求t的值.【答案】（1）y = r-4x + 3：（2） A BCD為直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng) AMN為直角三角形時(shí)， t的值為1或4.（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待泄系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式：（2）利用配

41、方法及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求岀 CD、BD、BC的長(zhǎng)，由勾股定理的逆泄理可證出BCD為宜角三角形；（3）根搦點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待泄系數(shù)法可求岀直線BC的解析式，進(jìn)而可找出平移后直線的解析式， 聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組可找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出 AN2、MM的值，分別令三個(gè)角為直角，利用勾股左理可得出關(guān)于f的無(wú)理方程，解之即可得出結(jié)論.満分解蓉(1) 將4(1,0)、B(3,0)代入)，=俶2+應(yīng)+ 3,得:a + b + 3 = 0( a = f ,解得：仁 ，9d + 3b + 3 = 0b = -4此

42、二次函數(shù)解析式為y = x2-4x+3.(2) 淹仞為直角三角形，理由如下：/ y = x2 -4x + 3 = (x-2)-1,二頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,-1）.當(dāng) x = 0時(shí)，y = x2 一4x + 3 = 3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(o,3)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0), BC = (3-0)2+(0-3)2 = 3>/2 BD = >/(2-3)2+(-1-o/ = >/2 , CD = J(2_0)，+(_1_3) = 2 躬.BC2 + BD2 =20 = CD2，.ZCBD = 90。,:.ABCD為直角三角形.(3) 設(shè)直線BC的解析弍為y = kx+c(k豐0) 將 B(3

43、,0), C(0,3)代入 y = kx+c9 得:解得:2直線BC的解析式為y = -兀+ 3,將門(mén)線BC向上平移r個(gè)單位得到的直線的解析式為y = -x+3+t.聯(lián)立新直線與拋物線的解析式成方程組，得:y = x2 -4x + 3解得：X=3 + 2f-J9 + 4/3 j9 + 4t _ 23 + 2/ +J9 + 4/2點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3 +豊+ 4/廿m二回衛(wèi))，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3 J9 + 4/ , 3 + 2Z + 4/).2 2 2點(diǎn)A的坐標(biāo)為(匕0),2 3 + J9 + 4f 3 + 2f J9 + 4,、/AM=1+0 =廠 + 5/ + 7-(l + /)>/9 +

44、4f ,Vz/MN2 =3 -(9 + 4/3 +j9 + 4f '3 + 2/ + J9 + 4/ 3 + 2/ - 丁9 + 4/= 18 + 8/.分三種情況考慮： 當(dāng) ZM4N = 90。時(shí)，有 AM2+AN2 =MN2,即r2+5r+7-(l+r)/9+47+r24-5r+74-(l+r)/9+47 = 18+& ,解得：右=1, 一=一2 (不合題意，舍去)； '3ZAMN = 90。時(shí)，有 AM2+MN2=AN2,即 r+5t+7-(+t)9+4i+S+St=t2+5t + 7+(+t)y/9+4i , 整理，得：*一2一8 = 0，解得：“=4. r2=

45、-2 (不合題意，舍去)； 當(dāng)ZANM=90。時(shí)，有AN2+MN2=AN2, H卩 r+5r+7+(l+r)>/9+47+18 + 8r=/2+5/ + 7-(14-/)x/9+4r , 整理，得：j9 + 4/(l+f + j9 + 4/) = 0.v/>0,該方程無(wú)解(或解均為增解).綜卜所述：當(dāng)MA/N為直角三角形時(shí)，的值為1或4.考點(diǎn)伸鐵(1) 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求岀二次函數(shù)解析式：(2) 利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股泄理的逆泄理找出BC2+BDCDS (3>分ZMAN=90。、ZAMN=90° 及ZANM=90。三種情況考慮.【例6】如圖，拋物線

46、y=mx2+nx3 (m#0)與x軸交于A(3, 0), B(l, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直 線y =x與該拋物線交于E, F兩點(diǎn).(1) 求點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式.(2) P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PHIEF于點(diǎn)H,求PH的最大值.(3) 以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，OC±是否存在點(diǎn)D,使得aBCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(l)y=x2+2x-3： (2)經(jīng)2：點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(迺，-3-西)、(-迺，-3+匹)、8 10 10 10 10(1, -3)息煉點(diǎn)撥(1) 設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y = d(x

47、+ 3)(x-l) = d(x+2x-3)=tu，+2or-3d ,解出"的值即可：(2) 設(shè)點(diǎn) P(X, x2+2x-3).點(diǎn) M(x, -x),則 PH=2PM=2(-x-x2-2x + 3),將表達(dá)式配成頂點(diǎn)式即可得岀答案；(3) 分ZBCD=90。、ZCDB=90°兩種情況，作出圖形分別求解即可.解:(1) V拋物線與x軸交于A(3, 0), B(l, 0)兩點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：y =+ 3)(%-1) = «(x2 +2x-3)=ov +2ov-3d ,即3a=3,解得：a= 1»故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x - 3：(2) 過(guò)點(diǎn)P作P

48、My軸交直線EF于點(diǎn)設(shè)點(diǎn) P(X, x2+2x - 3).點(diǎn) M(x, -x),則 PH 呼 PM= #(_ j _2+)= 一乳+|J+挈,當(dāng)"時(shí),PH的最大值為攀當(dāng)點(diǎn)D在BC右側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)D作DM丄y軸于點(diǎn)M,則CD=L OB=L OC = 3,lanZBCO - tanZCDM tana,13cosa=7io:故點(diǎn)D(轡,"c。沖響同理當(dāng)點(diǎn)D (DJ在BC的左側(cè)時(shí),同理普同理可得：點(diǎn)D'(冬巴，-3+迥)：10 10當(dāng)ZCDB=90°時(shí)，如右側(cè)圖，CD=OB = 1,則點(diǎn)D(l,3)：綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(迺，-3-迥)、(-迺，-3+遁)、(1, -

49、3).10 10 10 10【變式訓(xùn)練】1. 如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N °軸上是否存在點(diǎn)P，使得AlVINP為等腰直角三角形，則符合條件的點(diǎn)P有(提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)()【答案】C【詳解】MN丄x軸，所以由ON=MN可知，(0, 0)和(0, 1)就是符合條件的P點(diǎn)：又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí),要MN=MP,且PM丄MN,設(shè)點(diǎn)M(x, 2x+3),則有一x=-(2x+3)解得x=-3,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(0, 3)如若MN為斜邊時(shí)，則ZONP=45。，所以O(shè)N=OP,設(shè)點(diǎn)21(x, 2x+3),則有一x=-|(2x+3),化簡(jiǎn)

50、得一2x=2x-3,這方程無(wú)解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；又當(dāng)點(diǎn)M在第二象限,MN為斜邊時(shí),這時(shí)NEMP ZMNP=45。，設(shè)點(diǎn)Mg 2x+3),則OP=ON而OP三MNS 有一x2x+3),解得x=-p這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, 因此，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是(0, 0), (0, 一扌)，(0, -3), (0. 1).2. 如圖，已知乩B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(& 0)、(0, 8),點(diǎn)C、F分別是直線x =-5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，CF=1(),點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接4D交y軸于點(diǎn)E,當(dāng)A ABE面積取得最小值時(shí)，tanZAD的值【答案】B【詳解】解：如圖.i殳直線x=-5交x軸于K由題意

51、FD = CF = 5,J、 r電/ I rK* Jokjc=5點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為岡心，5為半徑的圓, 當(dāng)直線AD與OK相切時(shí)，ABE的而積最小， TAD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，AD 丄 KD,AK=13, DK=5,:.AD=2,OA AD OE 58 12作丄AB于H.7 72：.lanZBAD= =3故選：B.3. 如圖，在AABC中，AB=2, AO=BO, P是直線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAOC=60%當(dāng)APAB是以BP為直角邊的直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）A. v5J,2 B.說(shuō)C VJ.JZl D 2【答案】c【詳解】當(dāng) ZAPB=90° 時(shí)，P0二BO,I ZAOC=60

52、°, ZBOP=60%.BOP為等邊三角形，.BP=L在 RtAAPB 中，AP=AB2 BP2 = V2- I- = 3 ；情況二：如圖2,oAO二BO, ZAPB=90°,.PO=AO,V ZAOC=60°,.AOP為等邊三角形，.AP=AO=1；當(dāng)ZABP=90°時(shí)（如圖3）,J ZAOC=ZBOP=60°, ZBPO=30°,OP=2OA=2,BP=VOP二 一0 曠=V22 - l2 =莎在直角三角形ABP中，AP=v*4B= + BP- = J2=+(V3)= =：故選：C.4. 如圖，是©0的宜徑，弦BC =

53、2cm. F是弦BC的中點(diǎn)，cABC = 60".若動(dòng)點(diǎn)E以2cm's的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(O<t <3),連結(jié)EF,當(dāng)"EF是直角三角形時(shí)，t (s)的值為()7A. 4B17C. 4 或 179d. a或1或a【答案】【詳解】:解：TAB是OO的直徑,.zACB=90o；.-.AB=2BC=4cm： 當(dāng)ZBFE=9O°時(shí)：RBEF 中，ZABC=6O% 貝ij BE=2BF=2cm；故此時(shí) AE=AB BE=2cm：E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：2cim故t=ls：所以當(dāng)ZBFE=9O。時(shí),t=ls： 當(dāng)ZBEF=9O&#

54、176;時(shí)；同可求得 BE=0.5cm,此時(shí) AE=AB-BE=3.5cm：E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：3.5cm,故t= 1.75s： 當(dāng)E從B回到0的過(guò)程中，在運(yùn)動(dòng)的距離是：2 (4-3.5) =lcm,則時(shí)間是：1.75芳卜綜上所述，當(dāng)t的值為Is或l75s和殳時(shí),ABEF是直角三角形.故選D125. 若。點(diǎn)坐標(biāo)(4, 3),點(diǎn)尸是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是反比例函數(shù)y = (x > 0)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若x丹0為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是【答案】(5,0),0易證得 QPAAQDB,則 BQ二QA,12點(diǎn)D在反比例尸蘭(00)圖象匕12設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,午),在 RtADPH 中，DH二3,【詳解】73X4=12,作QA丄x軸于A, DH丄x軸與H. QB丄DH于B,QA=, BQ二x-4,12:=x-4| 解得 x=6 (x=2 舍去),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(6, 2),QA二2, PA二BD二32二1,0P 二5,P點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 0)：當(dāng)DP=DQ, ZPDQ=90° ,如圖2,作QA丄x軸于A, DH丄x軸與H, QB丄DH于B,易證得 DPH竺QDB,則 BQ二DH=3, BD二PH,12Q點(diǎn)坐標(biāo)為 712