2016全國2卷高考文科數學試卷及答案

1、2016 年普通高等學校招生全統一考試文科數學本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 24 題，共 150 分只有一項是符合題目要求的。第卷、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，1)已知集合 A 1,2,3 ， B x x2 9 ，則 A B2)3)4)5)6)7)A) 2, 1,0,1,2,3B) 1,0 ,1,2設復數 z滿足 z i 3 i，則 zA) 1 2iB) 1 2iC) 3 2i函數 y Asin( x ) 的部分圖像如圖所示，則A) y 2sin(2x 6)C) y 2 sin(2x )6B) y 2sin(2x 3 )3D) y

2、 2sin(2x )3體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A)12B) 323C) 8D)C)D)設F為拋物線 C：A) 12圓 x2 y 2A)31,2,33 2iD) 1,2y2 4x的焦點，曲線 y k (k 0)與C交于點xP， PF x軸，則kB)13C)32D) 22x 8y 13 0的圓心到直線 ax y 1 0 的距離為B) 34C) 3D)2右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A)20B)24C)28D)321，則 a8) 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為 40 秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至

3、少需要等待 15 秒才出現綠燈的概率為753(A)( B)(C)10889) 中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現該算法的程序框圖D)310.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 x 2 ，n 2 ,依次輸入的 a為 2，2，5，則輸出的 sA)7B)12C)17D)3410)下列函數中，其定義域和值域分別與函數y 10lg x 的定義域和值域相同的是A) y xB) y lgxC)xy2D)1yx11)函數 f(x)cos 2x 6cos(x)的最大值為2A)4B)5C)6D)712)已知函數 f (x)(x R) 滿足 f (x) f (2 x) ，若函數 y2 2x 3 與m y f (

4、x)圖像的交點為 (x1, y1),(x2,y2), ,(xm,ym) ，則i1xiA)0B) mC) 2mD) 4m第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13) (21) 題為必考題，每個試題都必須作答。(22) (24) 題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分。13)已知向量 a (m,4) ，b (3, 2) ，且 ab，則 mx y 1 0,14)若 x, y滿足約束條件 x y 3 0,則 z x 2y 的最小值為x 3 0,45(15) ABC 的內角 A, B, C的對邊分別為 a,b,c，若cosA ,cosC ,a 1，則 b5 13( 1

5、6)有三張卡片，分別寫有 1和 2，1和 3，2和3甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片 后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說： “我與丙的卡片上相同的數字不是 1 ”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17）（本小題滿分 12 分）等差數列 an 中，且 a3 a4 4 ， a5 a7 6 ）求 an 的通項公式；）記bn an ，求數列 bn 的前 10項和，其中 x 表示不超過 x的最大整數，如 0.9 0，2.6 218）（本小題滿分 12 分）某險種的基本保費為 a（單位：元）

6、 ，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下：上年度出險次數012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了設該險種的 200 名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：出險次數012345概數605030302010）記 A 為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費” 求 P（A） 的估計值；）記 B 為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”求 P（B） 的估計值；D）求續(xù)保人本年度平均保費的估計值19）（本小題滿分 12 分）如圖， 菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O，點

7、E,F 分別在 AD,CD 上，AE CF ，EF 交 BD 于點 H . 將 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 .）證明： AC HD ； ）若 AB 5， AC 6， AE 5 ，OD 2 2 ，求五棱錐 D ABCFE 的體積420）（本小題滿分 12 分）已知函數 f （x） （x 1）ln x a（x 1）當 a 4時，求曲線 y f（x）在（1,f （1）處的切線方程；）若當 x （1, ）時， f（x） 0，求 a的取值范圍21）（本小題滿分 12 分）22已知 A是橢圓 E： xy 1的左頂點，斜率為 k（k 0）的直線交 E于A,M兩點，點 N在E43上， MA NA

8、.）當 AM AN時，求 AMN 的面積；）當 2AM AN 時，證明： 3 k 2.請考生在第（ 22）（ 24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 （22）（本小題滿分 10 分）選修 4-1 ：幾何證明選講如圖，在正方形 ABCD 中， E,G分別在邊 DA,DC 上（不與端點重 D G 合），且 DE DG ,過D點作DF CE ,垂足為 F .EF（）證明： B,C,G,F 四點共圓；）若 AB 1， E為DA的中點，求四邊形 BCGF 的面積 .23）（本小題滿分 10 分）選修 4-4 ：坐標系與參數方程22 在直角坐標系 xOy中，圓 C 的方程為 （x 6）

9、y25.）以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C 的極坐標方程；x tcos ,）直線 l的參數方程是（ t為參數）， l與C交于 A, B兩點， AB10，求 l的斜率.y tsin ,24）（本小題滿分 10 分）選修 4-5 ：不等式選講已知函數f(x)11xx22M 為不等式（x） 2 的解集）求 M ；）證明：當 a,b M 時， a b 1 ab .2016 年全國卷高考數學（文科）答案選擇題（1）D（2）C（3） A（4 ） A（5） D（ 6） A（ 7） C（ 8） B（9）C（10）D( 11) B( 12) B填空題(13) 6(14) 515)2113

10、（16）1和3三、解答題（17） （本小題滿分 12 分 ）2 （ ） 設數列an的公差為d，由題意有2a15d 4,a15d3 ，解得a11,d ，5 2n 3所以 an 的通項公式為 an.)由 () 知bn2n 3當 n=1,2,3 時， 1 2n 3 2,bn 1；5當 n=4,5 時， 2 2n 3 3,bn 2 ；5當 n=6,7,8 時，3 2n5 3 4,bn 3 ；5當 n=9,10 時，4 2n 35,bn4 ，5n所以數列 bn 的前 10 項和為 1 3 2 2 3 3 4 2 24 .18）（本小題滿分 12 分 ）（） 事件 A 發(fā)生當且僅當一年內出險次數小于2.

11、由所給數據知，一年內險次數小于 2 的頻率為60 502000.55故 P（A）的估計值為 0.55.（）事件 B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于 1且小于 4.由是給數據知， 一年內出險次數大于 1 且30 30小于 4 的頻率為 30 30 0.3，200故 P（B） 的估計值為 0.3.（ ） 由題所求分布列為：保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調查 200 名續(xù)保人的平均保費為0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a ， 因此，續(xù)保人

12、本年度平均保費估計值為 1.1925a.19) (本小題滿分 12 分)( I)由已知得， AC BD,AD CD.AE CF又由 AE CF 得 ，故 AC / /EF.AD CD由此得 EF HD,EF HD ，所以 AC/HD .OH AE 1(II)由 EF / /AC 得.DO AD 4由 AB 5,AC 6 得 DO BO AB2 AO2 4.所以 OH 1,D H DH 3.于是 OD 2 OH 2 (2 2)2 12 9 DH2,故OD OH. 由( I)知 AC HD ，又 AC BD,BD HD H ，所以 AC 平面 BHD , 于是 AC OD .又由 OD OH,AC

13、 OH O ，所以， OD 平面 ABC.EF DH9又由 得 EF .AC DO21 1 969五邊形 ABCFE 的面積 S 6 8 32 2 241 69 23 2所以五棱錐 D' ABCEF 體積 V 1 69 2 2 23 23 4 220）（本小題滿分 12 分）(I) f ( x)的定義域為 (0, ).當 a 4時，1f(x) (x 1)lnx 4(x 1),f (x) lnx 3，f (1) 2, f (1) 0.曲線 y f ( x)在(1, f (1)處 x的切線方程為 2x y 2 0.(II)當 x (1, )時， f(x) 0等價于 ln x a(x 1)

14、0.x1令 g(x) ln x a(x 1) ，則x12x(x 1)g (x) 1x (x2a1)2 x2 2(1 a)2x 1,g(1) 0， x (x 1)i)當 a 2， x (1, )時， x2 2(1 a)x 1 x2 2x 1 0，故 g (x) 0, g( x) 在 x (1, )上單調遞增，因此 g(x) 0 ；(ii)當 a 2 時，令 g (x) 0得x1 a 1 (a 1) 1,x2 a 1 (a 1) 1 ，由 x2 1和x1x2 1得 x1 1，故當 x (1, x2)時， g(x) 0， g(x)在 x (1, x2)單調遞減，因此g(x) 0.綜上， a的取值范圍

15、是,2 .21) (本小題滿分 12 分)()設 M(x1,y1) ，則由題意知 y1 0.由已知及橢圓的對稱性知，直線 AM 的傾斜角為 ， 4又 A( 2,0) ，因此直線 AM 的方程為 y x 2.22將 x y 2代入 x y 1得 7y2 12y 0，43解得因此12 12y 0 或 y 7 ，所以 y1 7 .1 12 12 144 的面積 S AMN 2AMN 2 7 7 49AMNII)將直線22AM 的方程 y k(x 2)(k 0) 代入 x y 1 得4322(3 4k2)x22216k2x 16k2 12 0 .3 4k2由x1 ( 2)163k24k122得x12(

16、3344kk22) ，故| AM| 1 k2 |x12| 12314kk223 4k2 34k2 34k21 12k 1 k2由題設，直線 AN的方程為 yk1(x 2)，故同理可得 |AN| 124k 13k2k2 k 3 2 由2|AM | |AN|得3 24k2 4 k3k2 ，即4k3 6k2 3k 8 0.設 f(t) 4t3 6t2 3t 8，則 k是 f (t)的零點， f '(t) 12t2 12t 3 3(2t 1)2 0，所以 f(t)在(0, )單調遞增，又 f( 3) 15 3 26 0, f(2) 6 0，因此 f(t) 在(0, )有唯一的零點，且零點 k

17、在( 3,2) 內，所以 3 k 2.22) (本小題滿分 10 分)(I)因為 DF EC ,所以 DEF CDF,則有 GDF DEFFCB, DCFF CDDE DCGB所以 DGF CBF ,由此可得 DGF CBF ,由此 CGF CBF 1800 ,所以 B,C,G,F 四點共圓(II)由B,C,G,F 四點共圓， CG CB知FG FB，連結 GB ，由 G 為 Rt DFC 斜 邊 CD 的 中 點 ， 知 GF GC , 故S 是 GCB 面積 S GCB 的 2 倍，即1.2.Rt BCG Rt BFG,因此四邊形 BCGF 的面積S 2S GCB 2 12 21 123)

18、 (本小題滿分 10 分)I)由 xcos ,y sin 可得 C 的極坐標方程 2 12 cos 11 0.II)在( I)中建立的極坐標系中，直線l 的極坐標方程為 ( R)由 A, B所對應的極徑分別為1, 2,將l 的極坐標方程代入 C的極坐標方程得2 12 cos 11 0.于是 1 2 12cos , 1 2 11,| AB | | 1 2 | ( 1 2)2 4 1 2144cos244,由|AB| 10得 cos23,tan 15 ，83所以 l 的斜率為 15 或324) (本小題滿分 10 分)11 1 1(I)先去掉絕對值，再分x 2，2x 2和x 2三種情況解不等式，即可得；(II )采用平方作差法，再進行因式分解，進而可證當a，b時， a b 1 ab 2x,x1 ,211試題解析：( I) f (x) 1, 1 x 1,222x,x 1.21當 x 時，由 f (x) 2 得 2x 2,解得 x1 ；11當 x 時， f (x) 2 ；221當 x 時，由 f (x) 2得 2x 2,解得 x 1.所以 f(x) 2的解集 M x| 1 x 1 .( II)由( I)知，當 a,b M 時， 1 a 1, 1 b 1 ，從而2 2 2 2 2 2 2 2(a b